密度算符的微扰级数解、线性极化率张量表达式 3.doc

1.3.3密度算符的微扰级数解（相互作用表象） 在许多情况中，相互作用表象下考虑问题会很简便。一、 演化算符1. 演化算符定义 (1.3.3-1) (1.3.3-2) 是未微扰哈密顿算符。2. 演化算符性质 i） (1.3.3-3)ii） (1.3.3-4) 由是厄米算符和(泰勒展开)证明： 即 (1.3.3-5) 二、 相互作用表象下的态矢量和力学量1、态矢量 (1.3.3-6)是薛定谔表象下的态矢，是相互作用表象态矢 (1.3.3-7)1、 力学量 (1.3.3-8) (1.3.3-9) (1.3.3-10)相互作用表象下的密度算符 (1.3.3-11)相应的微扰项为 (1.3.3-12)相互作用表象系统哈密顿 (1.3.3-13)三、 相互作用表象下密度算符的运动方程 (1.3.3-14).证明：证明用到了和，可对易性 和从运动方程可见，相互作用表象下密度算符随时间的变化只与微扰算符有关对(1.3.3-14)式积分得： (1.3.3-15)式中 (1.3.3-16)利用了热平衡状态下的密度算符与演化算符的可对易性：式(1.3.3-16)表明，相互作用表象的热平衡密度算符与薛定谔表象热平衡密度算符相等.四、 相互作用表象下密度算符的微扰级数解 相互作用表象下密度算符的微扰级数 (1.3.3-17)式中： ，热平衡状态下密度算符，与成线性关系的项，与成平方关系的项，微扰算符成次方关系的项 (1.3.3-17)代入(1.3.3-15)式=+ (1.3.3-18) 列出等式两边对应的的齐次项 (1.3.3-19) (1.3.3-20) (1.3.3-21) (1.3.3-22)一般地 (1.3.3-23) 1-3-4 线性极化率的表达式一、 线性极化率的算符表达式宏观电极化强度是单位体积电偶极矩算符的期望值 (1.3.4-1)式中 n是材料的电荷密度 (1.3.4-1)用相互作用表象密度算符表示 (1.3.4-2)是相互作用表象中的电偶极矩算符 (1.3.4-3)将(1.3.3-17)式代入(1.3.4-2),在外电场作用下宏观电极化强度的幂级数与密度算符的微扰级数存在以下对应关系， (1.3.4-4) (1.3.4-5) (1.3.4-6)一般地 (1.3.4-7)写成标量形式 (1.3.4-8)从(1.3.4-7)式得出的结论是，如果我们找到外场作用下特定级数的密度算符，就可以找到特定级数的极化强度值；利用极化强度和外场关系式，最终可得到该阶极化率的表达式。在相互作用表象下，系统微扰哈密顿算符 (1.3.4-9)分量形式 (1.3.4-10)由式(1.3.3-20)和(1.3.4-5)，线性电极化强度分量为 (1.3.4-11)根据宏观电场强度矢量与电偶极矩算符、热平衡状态下密度算符可对易性，和展开式的表达式 (1.3.4-12) (1.3.4-13)分量形式 (1.3.4-14)根据线性极化强度和线性极化率的关系 (1.3.4-15)分量形式 (1.3.4-16)对比(1.3.4-14)和(1.3.4-16)，一阶极化率张量为 一阶极化率张量元素为 (1.3.4-17)不失一般性，时(1.3.4-19)为 (1.3.4-18)注意(1.3.4-18)中初始时刻相互作用表象下的电偶极矩算符等于薛定谔表象下的电偶极矩算符。(1.3.4-18)式中的迹又可表示为 (1.3.4-19)(1.3.4-21)式用到了迹的循环对易规则和迹的线性规则因此线性极化率张量元素的算符表达式为 (1.3.4-20)二、线性极化率元素中的迹 1、 线性极化率元素中算符的矩阵元(1) 热平衡状态下密度算符的矩阵 (1.3.4-21)热平衡状态下密度算符对应的矩阵是对角矩阵。2、 相互作用表象下电偶极矩的矩阵元 (1.3.4-22)3. 线性极化率元素中的迹 (1.3.4-23)三、 线性极化率张量元素的矩阵元表达式 (1.3.4-24)对(1.3.4-26)式右边积分，最终得 (1.3.4-25)从上式中可以看出：若，是实数，则积分式中含有项不为零，不收敛。是分子在两个能级间跃迁的频率差，考虑到分子间弱相互作用导致分子能级位置有一个不确定量，这个不确定量的大小与分子间相互作用能量的量级相同。设