第1讲-锐角三角函数--提高班.doc

第1讲 锐角三角函数知识点1 正弦、余弦、正切锐角三角函数相关概念正弦：在直角三角形中，任意一锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作：sinA。余弦：在直角三角形中，任意一锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作：cosA。正切：在直角三角形中，任意一锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作：tanA。锐角A的正弦，余弦，正切，都叫做的锐角三角函数。（1） 三角函数的实质是一些比，这些比只与角的大小有关，当角的大小确定时，它的三角函数值就确定了，也就是说，三角函数值随角度的变化而变化。（2）由定义可知，0sinA1，0cosA0。令y=sinA，y=cosA，y=tanA，则函数中自变量的取值范围均为：0函数的增减性分别为：y=sinA 在自变量的取值范围内，y随的增大而增大y=cosA 在自变量的取值范围内，y随的增大而减小y=tanA 在自变量的取值范围内，y随的增大而增大.【典例】1.在RtABC中，C=90，AB=5，AC=3，则BC= ，sinA= 【答案】4；【解析】解：C=90，AB=5，AC=3，BC=4，sinA=，2.正方形网格中，AOB如图放置，则cosAOB的值为 【答案】【解析】解：如图，C为OB边上的格点，连接AC，根据勾股定理，AO=2，AC=，OC=，所以，AO2=AC2+OC2=20，所以，AOC是直角三角形，cosAOB=3.如图，在半径为3的O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD= 【答案】2【解析】解：如图，连接BC，AB是O的直径，ACB=90，AB=6，AC=2，BC=4，又D=A，tanD=tanA=2【方法总结】1、利用某个锐角的三角函数值时，一定要把这个角放在直角三角形中。2、相等的角相对应的三角函数值相等。3、注意在等腰三角形或圆中利用等角转换后，再利用某角的三角函数值进行求解。4、注意在直角三角形中，可利用相应边比求某角的三角函数值，也可利用某角的三角函数值转换成直角三角形的相应边的长度之比.【随堂练习】1（2017秋东莞市校级月考）三角函数sin45，cos16，cos43之间的大小关系是（）Acos43cos16sin45Bcos16cos43sin45Ccos16sin45cos43Dcos43sin45cos16【解答】解：sin45=cos645，又164345，余弦值随着角的增大而减小，cos16cos43sin45故选：B2（2018绥化模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tan的值是_【解答】解：如图，tan=故答案为：3（2018南沙区一模）如图，在RtABC中，C=90，BC=12，tanA=，则sinB=_【解答】解：由在RtABC中，C=90，BC=12，tanA=，得=，即=，AC=5由勾股定理，得AB=13sinB=，故答案为：知识点2 特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值主要是指这三个角的三角函数值，如下表： 【典例】1.已知为锐角，且sin（10）=，则等于 度【答案】70【解析】解：为锐角，sin（10）=，sin60=，10=60，=702.4cos30+|2|=【答案】3【解析】解：原式=3【方法总结】1、由特殊角度可知其对应的三角函数值，由三角函数值可知道相关直角三角形中的对应边之比。2、由角的三角函数值可逆向知道其相对应的锐角度数。【随堂练习】1（2018绥化模拟）计算：sin30cos45+tan260【解答】解：原式=+（）2=+3=12（2018黄浦区一模）计算：2cos230+sin60【解答】解：原式=2（）2+，=+，=33（2018绥化模拟）计算：3tan30+cos245sin60【解答】解：3tan30+cos245sin60=知识点3 解直角三角形在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。【典例】1.在ABC中，ADBC于点D，若tanCAD=，AB=5，AD=3，则BC长为 【答案】5或3【解析】解：当高AD在ABC内部时，在RtABD中，BD=4，在RtADC中，tanCAD=，CD=1，BC=BD+CD=4+1=5当高AD在ABC外部时，易知BC=BDDC=41=3，综上：BC长为5或3。2.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），其中m0，点B的坐标为（0，5），若AB=3，记|=a，则a的取值范围为 【答案】a【解析】解：依照题意画出图象，如图所示当OAAB时，a取最小值在RtOAB中，OB=5，AB=3，OA=4，tanOBA=a=|=tanAOC=tanOBA=故：a3.四边形ABCD中，BD是对角线，ABC=90，tanABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD= 【答案】17或【解析】解：如图，当四边形ABCD是凸多边形时，作AHBD于H，CGBD于G，tanABD=，=，设AH=3x，则BH=4x，由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，解得，x=4，则AH=12，BH=16，在RtAHD中，HD=5，BD=BH+HD=21，ABD+CBD=90，BCH+CBD=90，ABD=CBH，=，又BC=10，BG=6，CG=8，DG=BDBG=15，CD=17，当四边形ABCD是凹多边形时，CD=，故CD长为：17或【方法总结】1、解有关坡角，坡度的问题时，要注意坡度与坡角的区别，坡度是坡角的正切值。2、解有关方向角，方位角的问题时常利用正南，正北，正西，正东方向线构造直角三角形。3、在构造直角三角形后，要注意平行线间角与角的关系，进行角度转换。4、要学会在直角三角形中运用已知的边和角，选择合适的三角函数表示出所需的边长。【随堂练习】1（2018自贡）如图，在ABC中，BC=12，tanA=，B=30；求AC和AB的长【解答】解：如图作CHAB于H在RtBCH中，BC=12，B=30，CH=BC=6，BH=6，在RtACH中，tanA=，AH=8，AC=10，AB=AH+BH=8+62（2018沙湾区模拟）阅读下列材料：题目：如图1，在ABC中，已知A（A45），C=90，AB=1，请用sinA、cosA表示sin2A解：如图2，作AB边上的中线CE，CDAB于D，则CE=AB=，CED=2A，CD=ACsinA，AC=ABcosA=cosA在RtCED中，sin2A=sinCED=2ACsinA=2cosAsinA根据以上阅读，请解决下列问题：（1）如图3，在ABC中，C=90，BC=1，AB=3，求sinA，sin2A的值；（2）上面阅读材料中，题目条件不变，请用sinA或cosA表示cos2A【解答】解：（1）如图3中，在RtABC中，AB=3，BC=1，C=90，AC=2，sinA=，cosA=，sinA=2cosAsinA=（2）如图2中，cos2A=cosCED=2ACcosA1=2（cosA）21知识点4 解直角三角形应用坡度，坡角 如图：AB表示水平面，BC表示坡面，我们把水平面AB与坡面BC所形成的称为坡角.一般地，线段BE的长度称为斜坡BC的水平宽度，线段CE的长度称为斜坡BC的铅垂高度。如图；坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），用表示，记作h:l,坡度通常写成1：m的形式（m可为小数）。坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作。于是，显然，坡度越大，越大，坡面就越陡。方位角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90得角叫方位角.如图；都是方位角.如图；目标方向OA表示的方位角为北偏东35；目标方向OB表示的方位角为南偏东75；目标方向OC表示的方位角为南偏西45，也称西南方向；目标方向OD表示的方位角为北偏西40.仰角、俯角如图：OC为水平线，OD为铅垂线，OA,OB为视线，我们把视线OA与水平线OC所形成的把视线 OB与水平线OC所形成的称为俯角.在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角，当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角.【典例】1.某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架AB的长为1.74m，后拉杆AE的倾斜角EAB=53，篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74m，在篮板MN另一侧，与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐，已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为3.05m则篮球架横伸臂DG的长约为m（结果保留一位小数，参考数据：sin53，cos53，tan53）【答案】1.2【解析】解：作DKAH于K四边形DKHG是矩形，DK=GH=3.05m，在RtADK中AK=2.29（m），DG=HK=AHAK=AB+BHAK=1.74+1.742.291.2（m）2.如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60方向为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行 小时即可到达（结果保留根号）【答案】【解析】解：如图，过点P作PQAB交AB延长线于点Q，过点M作MNAB交AB延长线于点N，在直角AQP中，PAQ=45，则AQ=PQ=601.5+BQ=90+BQ（海里），所以 BQ=PQ90在直角BPQ中，BPQ=30，则BQ=PQtan30=PQ（海里），所以 PQ90=PQ，所以 PQ=45（3+）（海里）所以 MN=PQ=45（3+）（海里）在直角BMN中，MBN=30，所以 BM=2MN=90（3+）（海里）所以 =（小时）3.重庆市是著名的山城，重庆建筑多因地制宜，某中学依山而建，校门A处，有一斜坡AB，斜坡AB的坡度i=5：12，从A点沿斜坡行走了19.5米到达坡顶B处，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角CBF=53，离B点5米远的E处有一花台，在花台E处仰望C的仰角CEF=63.4，CF的延长线交校门处的水平面于点D，则DC的长_（参考数据：tan53，cos53，tan63.42，sin63.4）【答案】27.5【解析】解：如图，过B作BGAD于G，则四边形BGDF是矩形，在RtABG中，AB=13米，BG=DF=AB=19.5=7.5米，在RtBCF中，BF=，在RtCEF中，EF=，BE=4，BFEF=5，解得：CF=20教学楼CF的高度=20+7.5=27.5米【方法总结】1、 解有关方向角，方位角的问题时常利用正南，正北，正西，正东方向线构造直角三角形。2、 在构造直角三角形后，要注意平行线间角与角的关系，进行角度转换。【随堂练习】1（2018连云港）如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，ABC=37，坝顶DC=3m，背水坡AD的坡度i（即tanDAB）为1：0.5，坝底AB=14m（1）求坝高；（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE=2DF，EFBF，求DF的长（参考数据：sin37，cos37，tan37）【解答】解：（1）作DMAB于M，CNAN于N由题意：tanDAB=2，设AM=x，则DM=2x，四边形DMNC是矩形，DM=CN=2x，在RtNBC中，tan37=，BN=x，x+3+x=14，x=3，DM=6，答：坝高为6m（2）作FHAB于H设DF=y，设DF=y，则AE=2y，EH=3+2yy=3+y，BH=14+2y（3+y）=11+y，由EFHFBH，可得=，即=，解得y=7+2或72（舍弃），DF=27，答：DF的长为（27）m2（2018梧州）随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上D点处测得瀑布顶端A点的仰角是30，测得瀑布底端B点的俯角是10，AB与水平面垂直又在瀑布下的水平面测得CG=27m，GF=17.6m（注：C、G、F三点在同一直线上，CFAB于点F）斜坡CD=20m，坡角ECD=40求瀑布AB的高度（参考数据：1.73，sin400.64，cos400.77，tan400.84，sin100.17，cos100.98，tan100.18）【解答】解：过点D作DMCE，交CE于点M，作DNAB，交AB于点N，如图所示在RtCMD中，CD=20m，DCM=40，CMD=90，CM=CDcos4015.4m，DM=CDsin4012.8m，DN=MF=CM+CG+GF=60m在RtBDN中，BDN=10，BND=90，DN=60m，BN=DNtan1010.8m在RtADN中，ADN=30，AND=90，DN=60m，AN=DNtan3034.6mAB=AN+BN=45.4m答：瀑布AB的高度约为45.4米3（2018眉山）知识改变世界，科技改变生活导航装备的不断更新极大方便了人们的出行如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60方向行驶至B地，再沿北偏西37方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离（参考数据：sin53，cos53，tan53）【解答】解：如图，作BDAC于点D，则BAD=60、DBC=53，设AD=x，在RtABD中，BD=ADtanBAD=x，在RtBCD中，CD=BDtanDBC=x=x，由AC=AD+CD可得x+x=13，解得：x=3，则BC=x=（43）=205，即BC两地的距离为（205）千米 综合运用：锐角三角函数1.如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sinECM的值【解析】解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，EC=5x，EM=x，CM=2x，EM2+CM2=CE2，CEM是直角三角形，sinECM=2.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，求tanAOD【解析】解：如图，连接BE，四边形BCEK是正方形，KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BECK，BF=CF，根据题意得：ACBK，ACOBKO，KO：CO=BK：AC=1：3，KO：KF=1：2，KO=OF=CF=BF，在RtPBF中，tanBOF=2，AOD=BOF，tanAOD=23.已知ABC中，AB=10，AC=2，B=30，求ABC的面积。【解析】解：作ADBC交BC（或BC延长线）于点D，如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在RtABD中，B=30，AB=10，AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，在RtACD中，AC=2，CD=，则BC=BD+CD=6，SABC=BCAD=65=15；如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由知，BD=5，CD=，则BC=BDCD=4，SABC=BCAD=45=10综上，ABC的面积是15或10。4.如图，在ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DEBC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，DEF的面积为S，求S与x之间的函数关系式【解析】解：（1）在RtCDE中，tanC=，CD=xDE=x，CE=x，BE=10x，SBED=（10x）x=x2+3xDF=BF，S=SBED=x2，5.在ABC中，B、C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证：=【解析】证明：如图，过A作ADBC于D，在RtABD中，sinB=，AD=ABsinB，在RtADC中，sinC=，AD=ACsinC，ABsinB=ACsinC，而AB=c，AC=b，csinB=bsinC，=6.如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为6，ABC的顶点都在格点（1）求每个小矩形的长与宽；（2）在矩形网格中找一格点E，使ABE为直角三角形，求所有满足条件的线段AE的长度（3）求sinBAC的值【解析】解：（1）设每个小矩形的长为x，宽为y，依题意得：，解得，所以每个小矩形的长为3，宽为1.5；（2）如图所示：，AE=3或3或；（3）由图可计算AC=5，BC=4，AB=sinBAC=7.如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，ABC=37，坝顶DC=3m，背水坡AD的坡度i（即tanDAB）为1：0.5，坝底AB=14m（1）求坝高；（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE=2DF，EFBF，求DF的长（参考数据：sin37，cos37，tan37）【解析】解：（1）如图，作DMAB于M，CNAB于N由题意：tanDAB=2，设AM=x，则DM=2x，四边形DMNC是矩形，DM=CN=2x，在RtNBC中，tan37=，BN=x，x+3+x=14，x=3，DM=6，答：坝高为6m（2）如图，作FHAB于H，设DF=y，设DF=y，则AE=2y，EH=3+2yy=3+y，BH=14+2y（3+y）=11+y，由EFHFBH，可得=，即=，解得y=7+2或72（舍弃），DF=27，答：DF的长为（27）m8.如图，BC是路边坡角为30，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角DAN和DBN分别是37和60（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CMAN）（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）（参考数据：=1.73sin37060，cos370.80，tan370.75）【解析】解：（1）如图，延长DC交AN于HDBH=60，DH