三角形五心的证明.doc

三角形五心内心：内切圆的圆心，即三条角平分线的交点。外心：外切圆的圆心，即三条中垂线的交点。旁心：旁切圆的圆心，即三条角平分线的交点。（类似、但不同于内心）垂心：三条高的交点。重心：三条中线的交点。注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。内心：三条角平分线的交点证：过点O作三边的垂线，垂足分别为D、E、F。由角平分线定理（角平分线上一点到两边的距离相等）得：OD=OF，OF=OE OD=OEAO为角BAC的平分线外心：三条中垂线的交点证：连结OA、OB、OC，并过O点作OFBC于点F。由线段中垂线定理（线段中垂线上一点到两端点的距离相等），得：OA=OB，OA=OC.OB=OC点O在线段BC的中垂线上OF为线段BC的中垂线旁心：证：过点O作三边的垂线，垂足分别为D、E、F。由角平分线定理（角平分线上一点到两边的距离相等）得：OD=OF，OD=OE OF=OEBO为角ABC的平分线垂心：三条高的交点证：连结DE，连结AO交BC于F点。角BDC=角BEC=90B、D、E、C四点共圆（以BC为直径的圆）。角FBO=角CDE （同弦(弧)所对圆周角相等）又角ODA=角AEO=90O、D、A、E四点共圆（以AO为直径的圆）。角AOE=角ADE （同弦(弧)所对圆周角相等）且 角AOE=角BOF角ADE=角BOF 由可知，角OFB=角ODA=90AF为BC边上的高。重心：三条中线的交点方法一：证：连结AO交BC于点F。D为AB的中点SACD=SBCD （S表示三角形的面积） （底相等(AD=BD),高相同(都为点C到AB的距离)） SAOD=SBODSAOC=SBOC 同理可得： SBOC=SAOB 由得，SAOC=SAOB又AOC与AOB底都为AO它们高相等，即：点B和点C到AF的距离相等。对于AFB和AFC，底相同（为AF），高相等（分别为点B和点C到AF的距离）。SAFB=SAFC又对于AFB和AFC，高相同（为点A到BC的距离）。它们底相等，即：BF=CFAF为三角形的中线。方法二：证：连AO交BC于点F，连DE交AF于点N，G，H分别为OB、OC的中点，连DG，EH。连GH交AF于点M。DE为ABC的中位线DE#1/2BC （#表示平行且等于）同理，可得：GH#1/2BCDE#GH 即：四边形DEHG为平行四边形。易证，ODNOHM，得HM=DNDG为ABO的中位线DGNM,即四边形DGMN为平行四边形DN=GMHM=GM,再由三角形中位线定理得，BF=CF。AF为三角形的中线。三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混重 心三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好外 心三角形有六元素，三个内角有三边 作三边的中垂线，三线相交共一点此点定义为外心，用它可作外接圆 内心外心莫记混，内切外接是关键垂 心三角形上作三高，三高必于垂心交 高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.内 心三角对应三顶点，角角都有平分线，