云南省第二次省统测数学试卷.doc

云南省第二次高中毕业生复习统一检测一卷. 选择题（共60分）一. 选择题（12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合，集合，则的值是（D ）. A. B. 1 C. 2 D. 1或22.在的二项展开式中，常数项是（ D）.A.504 B. 84 C. -84 D. -504解：因为二项式展开式的通项公式.所以由，得：，选D.3.一个由实数组成的等比数列，它的前六和是前三项和的9倍，则此数列的公比为（）.A. 2 B. 3 C. D. 解：因为，得：. 选A.4. 已知是平面向量，若，则与的夹角是（ ）.A. B. C. D. 解：由，. 选B.5. 如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是半径为2的半圆俯视图是半径为2的圆，则该几何体的体积等于（ ）.俯视图侧视图正视图A. B. C. D. 解：几何体是一个半球，所以. 选C（讲）6.已知常数都是实数，的导函数为 的解集为：，若的极小值等于-115，则（ ）A. B. C. 2 D. 5 解：因为的解集是，所以抛物线的开口向上，所以，由，且是函数的极小值. ， 解得. 选C.注：本题综合考察了：（1）应用导函数符号判别极值的方法；（2）抛物线图像及一元二次不等式解集的概念；（3）三元一次方程组的解法. （4）数形结合思想.是一个灵活度较大的题目.7. 已知复数的共轭复数是，如果，则（D ）.A. B. C. D. 解：设，由题意知（4个选项知），所以，所以，选D（讲）8. 已知的半径等于6，圆心是抛物线的焦点，经过点的直线将分成两段弧，当优弧与劣弧之差最大时，直线的方程为（ ）.A. B. C. D. 解：应用数形结合：因为抛物线的焦点是：，所以圆心为，要使两段弧之差最大，则劣弧 ，. 所以选A.（讲）9. 在数列中，若，则（ ）.A. B. C. D. 解：由得：， ， ，. 选C.（讲）10. 已知函数是定义域为实数集上的偶函数，若，则，如果，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 解：设，则，所以函数是减函数，由，因为函数是偶函数. 选B11.两位同学一起参加某单位的招聘面试，单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，假设每位参加面试的人被招聘的概率相等，你们俩同时被招聘的概率是”.根据这位负责人的话可以推断出这次参加该单位招聘面试的人数是（ ）.A. 44 B.42 C. 22 D. 21解：设应聘的人数是人，则两人被同时招聘的方法数：，总的招聘的方法数，所以. 选D.（讲）12.在三棱锥中，,底面是正三角形，分别是侧棱的中点.若平面，则平面与平面所成的二面角（锐角）O的余弦值等于（ ）.A. B. C. D. 解：由已知得三棱锥是正四棱锥. 作斜高交余，连. 因为是垂直平分线. 所以. 设，则, ., , 所以平面的法向量, 的法向量，设两平面的夹角为，则，即：注1：定理：若两个互相垂直的平面中，在一个平面中垂直于交线的直线，垂直于另一个平面；定理：若棱锥的底面是正多边形，而每一条侧棱都相等，则此棱锥是正棱锥.注2：本题是一个难度较大的综合性题目.二卷（共90分）二. 填空题（4小题，每小题5分，共20分）13（略）14. 一次射击训练某小组的成绩只有7环，8环，9环三种情况.该小组的平均成绩是8.15环，设该小组7环的人有人，8环，9环的人数见下表：则 环数89人数78解：（讲）15. 已知分别是三角形三内角的对边，若，则 .解：可化为所以由正弦定理：16. 已知是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，,如果点到轴的距离等于，则离心率 .解：如图：因为, ，所以，由的面积得：， ，三，（解答题6小题，共70分）17（12分）.已知.（1）写出函数的最小正周期；（2）求由 围成的面积.解：（1）因为：，（2）因为函数图像为：解: 在区间上图形的面积是由对称性，在区间上图形的面积是，所以.18.一次高中数学期末考试，选择题共有12个，每个选择题给出的四个选项中只有一个正确.评分标准规定：对于每个选择题：不选，多选或错选得0分，选对得5分.在这次考试的选择题部分，某考生比较熟悉其中的8个题.其余4个题，有一个题，因为全然不理解题意，该考生在4个选项中随机的选一个；有一个题，可以判断4个选项中的一个是错误的，该考生在剩余的三个选项中随机的选一个；还要2个题，该考生可以判断每题中有2个选项是错误的，并在剩余的2个选项中随机的选一个.请你根据以上信息解决下面问题：(1)在这次考试中，求该生在选择题部分得60分的概率；（2）在这次考试中，该生在选择题部分得分为，求的数学期望.解：（1）设事件A：选对“全然不理解”的选项，则; 设事件B：选对“可判断一个选项错”的选项，则;设事件C：选对“可判断二个选项错”的选项，则;设：事件D：该考生得60分，则. 由独立事件概率公式得：该考生得60分的概率是：（2）随机变量可能取值为：40，45，50，55，60.所以（全部选错 ），； ：“选对全然不理解，且其它三题全错” ；或选对“可判断一个选项错的题目，且其它三题全错” ；或选对“可判断二个选项错的题目，且其它三题全错”，或 选对“可判断二个选项错的题目，且其它三题全错” .概率同理：；所以的数学期望：19（12分）. 如图在长方体是线段的中点. （1）证明：；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.证明：(1)在长方体体所以建立如图所示的坐标系，取中点，连则，, ，,线段的中点为，线段的中点为.（1）因为, . (2)作，则的法向量，且是直线与平面所成的角. 因为：，. 令：，得：则, 因为, 所以：，所以，（注：）.20.（12分）已知. （1）求函数的单调增加区间；（2）若函数在闭区间上只有一个零点.求实数的取值范围.解：（1）函数单调增加的区间是；（2）因为，.当时，；当时，所以是函数的极小值点. 也是函数在区间的最小值，若，则；若时，函数在闭区间上只有一个零点的充要条件是：（曲线各一个端点在轴上下方）则（A），或（B） ； （B）无解. 所以：或（注： ）21（12分）. 已知是椭圆的左右焦点. 点在直线上，线段的垂直平分线经过.直线与椭圆,：,其中是坐标原点，. （1）求的取值范围；（2）当取何值时，的面积最大？最大面积是多少？注1：二次曲线的弦长公式：.注2：直线与椭圆交于不同两点， ，解：（1）由由已知得：解得，所以椭圆.（解题思路：求出的坐标，代入椭圆方程就可以得出一个关于的不等式. 而的坐标可由条件求之-？）又由，得：，因为椭圆与直线有两个交点，所以方程有两个不同的实根，所以：，化简得：. 设，则：所以: （）当时由知：点关于原点对称，所以值可为；（）当时点关于原点不对称，所以：由得：，因为点在椭圆上，所以：. 化简得：因为.所以：. 的取值范围： （2）当时，此时不构成，所以要使有最大面积因为，又原点到直线的距离，所以的面积：.因为，所以，所以当时的面积最大值为.（请考生在2224三题中任选一题作答.22（10分选修41：几何选讲）.如图四边形的外接圆为，是的切线，的延长线与相交于，证明：.证明：连,是的切线，所以而，所以：又因为四边形是的内接四边形.，., .23(10分选修44：极坐标与参数方程选讲). 已知曲线的参数方程为：（是参数），是曲线与轴正半轴的交点. 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求经过 点且与曲线只有一个交点的直线的极坐标方程. 解：把曲线的参数方程 化为普通方程得：，因为是曲线与轴正半轴的交点，所以.因为直线是圆的曲线，而是切点. 所以直线的方程是.又因为，所以直线的极坐标方程是：.24（10分，选修45：不等式选讲）已知，关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.解：设则所以：当时，；当时，；当时，. 所以.因为的解集非空，得：.东北三省四市高三第二次联合考试（四A）一 . 1：B 2: C 3: A 4.：B 5: A 6: B 7: A 8: C9: D 10:A 11:B 12: C6题：已知函数的图像关于直线对称.则( B ).A. B . C . D. 解: 因为与关于对称，由，得：.注：若关于直线对称，则.7. 一个棱长都为的直三棱柱的六个定点都在同一个球面上. 则该球的表面积为（A ）.A. B . C . D. 解： 设为柱体两底面的中心，球心O必是的中点，所以，CBA.，8. 已知数列满足，则（ ）.A.143 B .156 C .168 D. 195解：由得：所以，令，则数列是以为首项，为公比的等比数列. 所以，所以，选C.10. 已知抛物线的焦点为，直线与此抛物线相交于两点，则( ).A. B . 1 C . 2 D. 4解：设，因为，得：， 选A.注：由抛物线的定义：到准线的距离.12. 已知量直线：（其中，与函数的图像从左至右相交与. 与函数的图像从左至右相交与. 记线段在轴上的投影长度分别为.当变化时的最小值为（ ） 解：设, 则： ，又因为：，且当时取等号. 所以当时最小. 选C.二. 13. 14. （第1步）把两个奇数作为一个整体有种排法；（第2步）任取一个偶数插入其中有种方法；（第3步）剩余的一个偶数有两个位置可排，有，所以共有 本题目也可以间接计算：不加条件，共有种排法；不合条件的排法有：把两个偶数作为一个整体有种；两个偶数排在两端的排法有，所以符合条件的排法有：15. 双曲线，的左右焦点和左右顶点分别是；。过垂直的直线交双曲线交于点.是的比例中项. 求离心率 .解：把的坐标代入双曲线方程有, 由得所以，化简得：，所以.16. 设，,若,则事实的取值范围是 .解：因为集合分别表示以点为中心的圆和菱形.，因此把中心平移至原点的值不变.由得：5，从图形可知：直线的截距：交集才可能非空. 所以，所以.三. （6大题，每小题10分，共70分）17（12分）. 在斜三角形中，.（1）求角；（2）若，且,求的面积.解：（1）由化得：（2）因为：，所以：，所以：, 由正弦定理：. 因为：，所以：18（12分）. 2012年第三季度国家电网决定对城镇居民用电计费标准作出调整，并根据用电情况将居民分为三类：第一类的用电在区间，第二类的用电在区间，第三类的用电在区间（单位：千小时）. 某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得频率分步直方图如下：0.020（1）求该小区用电的中位数与平均数；0.015（2）利用分分层抽样的方法从该小区0.005选出10为居民，若从这10为居民中任0.0020.003选两户居民，求这两户居民用电费属于230210190170150130110不同类型的概率；（3）若该小区长期保持着这一用电消耗水平，电力部门为鼓励节约用电，连续10个月，每个月从该小区居民中随机抽取1户，若取到第类居民，则发放一份礼品，设为获奖用户，求的数学期望与方差. 解：（1）在直方图中，中位数的两边面积相等，可得中位数是155 ；平均数；（2）由直方图知，用分层抽样取10户用户，其中8户为第一类用户，2户为第二类用户.从这10居民中抽取2户居民，这2户居民用电资费，属于同一类型的概率为：；（3）由题可知，该小区第一类用户占80，则每月从该小区随机抽取1户居民，第一类居民的概率是，连续10个月抽取，获奖人数服从二项分布：，, 方差19（12分）如图，是矩形边上的点，为的中点，,现将沿边折至位置，且平面. （1）证明：平面 （2）求二面角的大小.解：（1）证明：由已知：，, 所以，所以平面.（2）以为原点，所在直线为轴，过垂直平面 . (注1), 所以,设平面和平面的法向量分别是和，则：，（注2）.所以，所以求二面角是.注1 过作所以是高，而，注2 设由 , 得，令，；也可以应用矢量积计算，取.20（12分）. 如图曲线M：与曲线相交于四点. （1）求的取值范围；（2）求四边形的面积的最大值及此时对角线交点的坐标.解：联立曲线M与曲线的方程：消去得：，由已知条件得：（2）设，根据图形的对称性得：，因为四边形是以为上，下底的梯形.所以令， （因为）， 则，设，得稳定点：，所以当时，这时当时最大. 把代入方程得：，解得，所以，所以直线方程：，与轴的交点是; 另一方面，因为梯形是等腰梯形，所以两对角线的交点在轴上，即点.21（12分）已知函数. （1）求函数的单调区间；（2）若对于任意总成立，求实数的范围；（3）设函数，过点作函数图像的所有切线，令各切点的横坐标构成数列，求该数列的全体项之和.解：（1），当，即时，；当，即时，.所以分别是函数的单调增加区间和单调减少区间.（2）令 要使总成立只需时. 因为，而单调增加且，下面对值分类讨论：（）当时，这时恒成立；（）当时，方程在有实根，且在是增函数，所以：当是，所以：不合题意.所以；（）当时，所以在区间恒成立，所以，也不合题意.综上所证，得：.（3）设切点，而斜率切线方程为：，把，即：令，则这两个函数图像交点的横坐标就是，且它们关于点对称（注3），它们交点的横坐标也关于对称，且成对出现. 所以：方程在区间的根构成的数列就是数列，其项是关于对称，且成对出现的. 总共有1006对根（注：4），且每对根之和为（注5），注3 若点关于点的对称点是，则.因为点的对称点是：，所以：，即点和关于点，所以函数的图像关于点对称.注4 由图像知：在内每一个长度为的子区间内都有唯一的一个根，所以在此区间内共有个根，所以在有1006对根.注5 因为与是一对关于对称的根，所以：一对对称根之和等于 下面三题任选一题：22（10分.4-1选几何证明选讲）如图是的直径，弦与垂直且相交于点，点 为弦上异于点的任意一点，连并延长交于点. （1） 证明：四点共园；（2）证明：证明：(1)连，因为所以四点共园. （2）由射影定理,由得：, 则，即：.23(10. 4-4：极坐标系及极坐标方程选讲). 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（是参数，），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：.（1）求曲线的普通方程和，曲线的直角坐标方程；（2）当时曲线和曲线相交于两点，求线段为直径的圆的直角坐标方程.解：（1）消去中的参数：当时, :；当: 是直线.因为，：即.（2）当时: ；由，消去得：.，圆心坐标：所以圆的方程是：.24（10分.选4-5：不等式选讲）设函数（1）求不等式的解集；（2）如果关于的不等式在上恒成立，求实数.解：（1），所以不等式的解集是：当时；当时：；当时：，综上得不等式的解集：.（2）设由与的图像知，在时取最小值；在时取最大值. 若恒成立，则成都市高中毕业班第二次诊断性检测第一卷（选择题，共50分）一. （共10小题，每小题5分，共50分）1. 在复平面内复数对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限解：2. 已知全集，则( A )A. B. C. D. A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知直线和平面，若，则过点且平行于的直线（B）.A.只有一条，不在平面内 B. 只有一条，且在平面内 C.有无数一条，都都在平面内 D. 有无数一条，不一点在平面内D5. 一个几何体的三视图如图所示，正视图是一个正三角形则该几何体的体积为：11D1111府视图D侧视图正视图A. B. 1 C. D. 解：几何体是三棱锥，底面一边的长为2，这边上的高为1，椎体的高为，所以体积，选A.6. 函数的零点的个数为（ ）A.0 B. 1 C. 2 D. 3解：令（是双曲线的渐近线）两函数的图像如下：从图像知曲线只有一个交点，所以方程只有唯一一个实根.所以选B.（本题的解题思想：函数与方程思想；数形结合思想. 知识点是：函数图像的平移）7.已知双曲线的一条渐近线与曲线相切，则该双曲线的离心率为（ ）.A. B. C. 2 D. 解：因为双曲线的渐近线是：，联立由得，所以，. 选A.8. 若不等式当时恒成立，则实数的最大值为（ ）.A. 9 B. C. 5 D. ，因为当时，当时，所以是函数的最大值点，.选A.9. 已知数列满足，且.若函数 记，则数列的前9项之和为（ ）.A.0 B. C.9 D. 1注：等差数列的性质：设是以为等差的等差数列，则：（1）（若把“”换为“” 也成立.）特别地：是等差数列；（2）. 解：由已知得： 是等差数列. 而：（想一想怎样应用已知？），因为：，所以，同理：又，与上同法推得：，所以. 选C注：本题是一个难度很大的题目. 充分应用了等差数列的性质及三角函数的性质.10（略）第二卷（非选择题 共100分）二. 填空题（5小题，每小题5分，共25分）11. 已知，则的值为 .解：因为12. 若，则 .解：因为已知是一个恒等式，所以令得13. 设为的重心，若所在平面内一点满足,则的值等于 . 注：定理： 的三条中线的交点叫重心，重心分中线为.解：取中点为，由已知得：，所以三点共线. 即点在边的中线上. 故, 又.注：本题是一个难度较大的题目，用到的知识有：（1）向量的线性运算；（2）向量共线的充要条件；（3）有关三角形重心的定理.14. 已知集合表示的平面区域为，在若在区域内任取一点，则点满足不等式的概率为 .注：几何概型：在等概事件中：解：用阴影部分的面积表示不等式组表示的面积，而满足且区域内的点的面积是阴影部分且在圆内部的四分之一阴影部分三角形的面积是：，圆的四分之一的面积是，概率.15. 对于定义在区间上的非增函数，若满足对，且时都有，则称函数为区间上的“非增函数”.若为上的非增函数，且，又当时恒成立.下列命题正确的是 .(1); (2)存在;(3) ; (4).解：由，令得：所以，（1）正确； 由定义知（2）错； 因为得：，所以: , 所以当：时，所以，三解答题（共6小题，共75分）16（12分）. 在中，已知内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围.注：由正弦定理：于是：这是在三角形问题中“角”换“边” ；“边”换“角”的重要依据. 解：（1）由 ，所以，所以（2）因为. 当因为, 因为正弦函数在区间是增函数，所以： ，.18（12分）.如图，在直三棱柱（侧面与底面垂直的棱柱）中,点是侧棱上一点，是平面与平面的交线.（1）求证：; (2) 当平面与平面所成的二面角的余弦值为时，求的长.1）证明：在直三棱柱中