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第十二章 恒定磁场 (Steady Magnetic Field)一、选择题12.1 均匀磁场的磁感强度垂直于半径为r的圆面今以该圆周为边线，作一半球面S，则通过S面的磁通量的大小为 (A) (B) p (C) 0 (D) 无法确定的量 B 12.2 载流的圆形线圈(半径a1 )与正方形线圈(边长a2 )通有相同电流I若两个线圈的中心O1 、O2处的磁感强度大小相同，则半径a1与边长a2之比a1a2为 (A) 11 (B) 1 (C) 4 (D) 8 D 12.3 如题图12.1，两根直导线ab和cd沿半径方向被接到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流I从a端流入而从d端流出，则磁感强度沿图中闭合路径L的积分等于 (A) (B) (C) (D) D 12.4 如题图12.2，在一固定的载流大平板附近有一载流小线框能自由转动或平动线框平面与大平板垂直。大平板的电流与线框中电流方向如图所示。则在同一侧且对着大平板看，通电线框的运动情况是： (A) 靠近大平板 (B) 顺时针转动 (C) 逆时针转动 (D) 离开大平板向外运动 B 12.5 在匀强磁场中，有两个平面线圈，其面积A1 = 2 A2，通有电流I1 = 2 I2，它们所受的最大磁力矩之比M1 / M2等于 (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 1/4 C 12.6 如题图12.3所示，无限长直导线在P处弯成半径为R的圆，当通以电流I时，则在圆心O点的磁感强度大小等于 (A) ； (B) ； (C) ； (D) ； (E) 。 D 12.7如图所示，处在某匀强磁场中的载流金属导体块中出现霍耳效应，测得两底面、的电势差为，则图中所加匀强磁场的方向为：（A）、竖直向上； （B）、竖直向下； （C）、水平向前； （D）、水平向后。 C二、计算题12.8 如题图12.4所示，一无限长直导线通有电流I =10 A，在一处折成夹角的折线。求角平分线上与导线的垂直距离均为的P点处的磁感强度(已知)。解：P处的可以看作是两载流直导线所产生的，与的方向相同 3.7310-3 T方向垂直纸面向上 12.9 如题图12.5所示，半径为R，线电荷密度为（的均匀带电的圆线圈，绕过圆心与圆平面垂直的轴以角速度 转动，求轴线上任一点的的大小及其方向 解：因为 ，所以，（的方向与y轴正向一致） 12.10 一根很长的圆柱形铜导线均匀载有10 A电流，在导线内部作一平面S，S的一个边是导线的中心轴线，另一边是S平面与导线表面的交线，如图题图12.6所示试计算通过沿导线长度方向长为1m的一段S平面的磁通量(真空的磁导率，铜的相对磁导率)。 解：如题图12.6a，在距离导线中心轴线为x与处，作一个单位长窄条，其面积为 窄条处的磁感强度 所以通过dS的磁通量为：通过m长的一段S平面的磁通量为 Wb 12.11如题图12.7所示，一半径为R的均匀带电无限长直圆筒，面电荷密度为该筒以角速度绕其轴线匀速旋转试求圆筒内部的磁感强度 解：如题图12.7a图所示，圆筒旋转时相当于圆筒上具有同向的面电流，面电流密度大小为：作矩形有向闭合环路如图中所示从电流分布的对称性分析可知，在上各点的大小和方向均相同，而且的方向平行于，在和上各点的方向与线元垂直，在, 上各点应用安培环路定理 可得圆筒内部为均匀磁场，当时，磁感强度的大小为，方向平行于轴线朝右 12.12如题图12.8所示，一半径为R的带电塑料圆盘，其中半径为r的阴影部分均匀带正电荷，面电荷密度为 ，其余部分均匀带负电荷，面电荷密度为。 当圆盘以角速度 旋转时，测得圆盘中心O点的磁感强度为零，问R与r满足什么关系？ 解：带电圆盘转动时，可看作无数的电流圆环的磁场在O点的叠加 某一半径为r 的圆环的磁场为而 正电部分产生的磁感强度为负电部分产生的磁感强度为今 ，得 12.13有一闭合回路由半径为a和b的两个同心共面半圆连接而成，如题图12.8所示其上均匀分布线密度为 的电荷，当回路以匀角速度 绕过O点垂直于回路平面的轴转动时，求圆心O点处的磁感强度的大小 解： B1、B2分别为带电的大半圆线圈和小半圆线圈转动产生的磁感强度，B3为沿直径的带电线段转动产生的磁感强度 ， ， 又由于，。所以12.14 如题图12.9所示，一无限长圆柱形直导体，横截面半径为R，在导体内有一半径为a的圆柱形孔，它的轴平行于导体轴并与它相距为b，设导体载有均匀分布的电流I，求孔内任意一点P的磁感强度B的表达式。 解电流密度P点场强为充满圆柱并与I同向的电流I10，及充满孔并与I反向的电流I20的场叠加而成取垂直于圆柱轴并包含P点的平面，令柱轴与孔轴所在处分别为O与O，P点与两轴的距离分别为r1与 r2，并建立坐标如图利用安培环路定理可知P点场强为与I同向的I1和与I反向的I2的场的叠加，且有 ， ；，方向如图所示P点总场 B与r1， r2无关，可知圆柱孔内为匀强场，即磁场方向与两轴组成的平面垂直，方向沿y轴正向。 12.15在一平面内有三根平行的载流直长导线，已知导线1和导线2中的电流I1 = I2流向相同，两者相距d，并且在导线1和导线2之间距导线1为a = d/3处B = 0，如题图12.10所示。求第三根导线放置的位置与所通电流I3之间的关系。 解：取x坐标如图（原点在I1处）设第三根导线放在与I1相距为x处，电流流向同于I1，则有 0即当I3与I1同方向时，第三根导线在B = 0处的右侧，当I2与I1反方向时，第三根导线在B = 0处的左侧 12.16 一圆线圈的半径为R，载有电流I，置于均匀外磁场中(如题图12.12所示)在不考虑载流圆线圈本身所激发的磁场的情况下，求线圈导线上的张力(载流线圈的法线方向规定与的方向相同) 解：考虑半圆形载流弧导线CD所受的安培力 。列出力的平衡方程式 故： 12.17 如题图12.13所示，半径为R的半圆线圈ACD通有电流I2，置于电流为I1的无限长直线电流的磁场中，直线电流I1恰过半圆的直径，两导线相互绝缘求半圆线圈受到长直线电流I1的磁力 解：长直导线在周围空间产生的磁场分布为 取xOy坐标系如图，则在半圆线圈所在处各点产生的磁感强度大小为：， 方向垂直纸面向里 式中q 为场点至圆心的联线与y轴的夹角半圆线圈上dl段线电流所受的力为： ，根据对称性知：Fy = 。，则： 。半圆线圈受I1的磁力的大小为： ， 方向：垂直I1向右 12.18 已知半径之比为21的两载流圆线圈各自在其中心处产生的磁感强度相等，求当两线圈平行放在均匀外场中时，两圆线圈所受力矩大小之比 解：设两圆线圈半径分别为R1，R2，分别通以电流I1，I2则其中心处磁感强度分别为： ，因为，所以 。设外磁场磁感强度为，两线圈磁矩和与夹角均为a ，则两线圈所受力矩大小 ； 12.19 在垂直于长直电流的平面内放置扇形载流线圈，线圈电流为，半径分别为和，张角为，如题图12.14所示。求：（1）线圈各边所受的磁力；（2）线圈所受的磁力矩。 解：（1）如图，以扇形载流线圈所在的平面与载流长直导线的垂直交点为坐标原点，沿经向在ab边上半径为处取电流元，该电流元在产生的磁场中所受的安培力为，因此载流线圈的ab所受的安培力为。的方向垂直纸面向外、大小为同理可得出：，方向垂直纸面向里。另外，由于上各电流元的方向与其所在处磁感应强度的方向相同，所以。同理。（2）分析可知，在题图12.14所示的情况下，和的作用效果是使得扇形载流线圈绕轴转动。电流元所受的安培力对O点的力矩。该力矩在z轴上的分量为：故线圈所受的磁力矩为12.19 如题图12.15所示,均匀带电刚性细杆AB，线电荷密度为，绕垂直于直线的轴O以w 角速度匀速转动(O点在细杆AB延长线上)求： (1) O点的磁感强度； (2) 系统的磁矩； (3) 若a b，求B0及pm 解：(1) 对rr+dr段，电荷 dq = l dr，旋转形成圆电流则 它在O点的磁感强度 方向垂直纸面向内 (2) 方向垂直纸面向内 (1) 若a b，则 ，有：，过渡到点电荷的情况 同理在a b时， ，则 ：，也与点电荷运动时的磁矩相同 12.20 如题图12.16所示，放在水平面内的圆形导线，半径为。圆导线上某点A与中心之间经一电阻接到电动势为的电池两端。由中心到圆周有一能绕经过点的铅直轴旋转的活动金属半径，其质量为。旋转时，半径与圆形导线之间有一摩擦力，该摩擦力正比于D点的速度，比例系数为。（已知地磁场的铅直分量为）（1）不计电磁感应，求旋转的角速度增加的规律；（2）应以多大的力在垂直于半径的方向作用于点，而使半径不至转动。题图12.16解：（1）、载流线段OD在磁场中转动时受到的磁力矩大小和摩擦力矩大小分别为，根据转动定律，对OD可列方程其中为的转动惯量。则有：（2）、根据平衡条件，在垂直于半径的方向作用于点的力对O点的力矩应与OD所受的磁力矩大小相等，且作用效果相反，即12.21 如题图12.17所示，半径为a，带正电荷且线密度是(常量)的半圆，以角速度 绕轴OO匀速旋转。求： (1) O点的； (2) 旋转的带电半圆的磁矩。 (提示：积分公式) 解：(1) 对qq +dq 弧元，旋转形成圆电流 它在O点的磁感强度dB为： 的方向向上 (2) 的方向向上 12.22 如题图12.18所示，有一无限大平面导体薄板，自下而上均匀通有电流，已知其面电流密度为i (即单位宽度上通有的电流强度) (1) 试求板外空间任一点磁感强度的大小和方向 (2) 有一质量为m，带正电荷q的粒子，以速度v沿平板法线方向向外运动求： (a) 带电粒子最初至少在距板什么位置处才不与大平板碰撞？ (b) 需经多长时间，才能回到初始位置(不计粒子重力)？ 解：(1) 由安培环路定理： (大小) ， 方向：在板右侧垂直纸面向里 (2) 由洛伦兹力公式可求 (至少从距板R处开始向外运动)返回时间为：12.23如题图12.19所示，有一电子以初速v 0沿与均匀磁场成a 角度的方向射入磁场空间试证明当图中的距离时，(其中me为电子质量，e为电子电荷的绝对值，n = 1，2)，电子经过一段飞行后恰好打在图中的O点 证： 设电子飞行时间为t，其作螺旋运动的周期为T，则： 当t = nT时，电子能恰好打在O点 12.24在一顶点为45的扇形区域，有磁感强度为方向垂直指向纸面内的均匀磁场，如题图12.20所示今有一电子(质量为m，电荷为-e)在底边距顶点O为l的地方，以垂直底边的速度 射入该磁场区域，若要使电子不从上面边界跑出，电子的速度最大不应超过多少？ 解：电子进入磁场作圆周运动，圆心在底边上当电子轨迹 与上面边界相切时，对应最大速度，此时有如图所示情形 由 ，求出v最大值为三、小论文写作练习1、霍耳元器件在电磁测量中的应用。2、了解生物磁学（包括生物磁现象、磁生物效应、生物磁学的现代应用等）。3、探讨如何利用Mathematica软件画带电粒子在磁场中作螺旋运动的轨迹曲线。第十三章 磁介质(magnetic medium)一、 选择题13.1 关于稳恒电流磁场的磁场强度，下列几种说法中哪个是正确的？ (A) 仅与传导电流有关 (B) 若闭合曲线内没有包围传导电流，则曲线上各点的必为零 (C) 若闭合曲线上各点均为零，则该曲线所包围传导电流的代数和为零 (D) 以闭合曲线为边缘的任意曲面的通量均相等 C 13.2 磁介质有三种，用相对磁导率表征它们各自的特性时： (A) 顺磁质，抗磁质，铁磁质； (B) 顺磁质，抗磁质，铁磁质 ； (C) 顺磁质，抗磁质，铁磁质 ； (D) 顺磁质，抗磁质，铁磁质。 C 13.3 如题图13.1所示,图中、线分别表示不同磁介质的关系曲线，虚线是关系曲线，那么表示顺磁质的是： B (A) ； (B) ； (C) ； (D) 没有画出。二、计算题13.4 一均匀磁化的磁棒，直径为d25 mm，长L75 mm，磁矩为。求磁棒表面磁化电流密度。解： ， A/m 13.5 螺绕环中心周长，环上均匀密绕线圈N = 200匝，线圈中通有电流I = 0.1 A管内充满相对磁导率的磁介质，求管内磁场强度和磁感强度的大小。 解： 200 A/m ，1.06 T13.5 一根沿轴向均匀磁化的细长永磁棒，磁化强度为。求题图13.2中所标出的各点上的和。解：把磁棒看作（其中为磁化面电流密度）的无限长螺线管，则 ，因螺线管无限长，所以和螺线管一样，在端面附近有介质棒内：， ， 介质棒外： ， 13.6 一铁环的中心线周长，横截面。环上紧密地绕有N = 300 匝线圈。当导线中通有电流 时，通过环截面的磁通量。试求铁芯的磁化率。解： 49613.7在磁化强度为的均匀磁化的无限大磁介质中，挖出一个半径为R的球形腔求此腔表面的磁化面电流密度和磁化电流产生的磁矩 解：磁化面电流密度为：。式中是磁介质表面法线方向单位矢量，方向指向球心如下图，设M的方向与z轴重合，则，方向如图所示选择一宽度为的圆环，它产生的磁矩为： 总磁矩为：方向与z轴方向相反，即与反向，写成矢量式为： 13.8 一根同轴线由半径为的长导线和套在它外面的内半径为、外半径为的同轴导体圆筒组成中间充满磁导率为的各向同性均匀非铁磁绝缘材料，如图传导电流I沿导线向上流去，由圆筒向下流回，在它们的截面上电流都是均匀分布的求同轴线内外的磁场强度和磁感应强度的分布解：由安培环路定理 ，可求得 0 r R1区域：， R1 r R2区域：， R2 r R3区域：H = 0，B = 0三、小论文写作练习1、物质抗磁性的起因。2、铁磁质的特性及其应用。第十四章 电磁感应（Electromagnetic inductor）一、选择题14.1半径为a的圆线圈置于磁感强度为的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，线圈电阻为R；当把线圈转动使其法向与的夹角时，线圈中通过的电荷与线圈面积及转动所用的时间的关系是 (A) 与线圈面积成正比，与时间无关 (B) 与线圈面积成正比，与时间成正比 (C) 与线圈面积成反比，与时间成正比 (D) 与线圈面积成反比，与时间无关 A 14.2 如题图14.1，长度为l的直导线ab在均匀磁场中以速度移动，直导线ab中的电动势为 (A) Blv (B) (C) (D) 0 D 14.3 如题图14.2所示，在均匀磁场中，导体棒AB饶通过O点并且垂直于棒的轴线MN转动，MN与磁感应强度平行，角速度与反向，BO的长度为棒长的三分之一。则：A）、A点比B点的电势高；B）、A点比B点的电势低；C）、A点与B点的电势相等；D）、有稳恒电流从A点流向B点. B 14.4 圆铜盘水平放置在均匀磁场中，的方向垂直盘面向上当铜盘绕通过中心垂直于盘面的轴沿题图14.3所示方向转动时： (A) 铜盘上有感应电流产生，沿着铜盘转动的相反方向流动 (B) 铜盘上有感应电流产生，沿着铜盘转动的方向流动 (C) 铜盘上产生涡流 (D) 铜盘上有感应电动势产生，铜盘边缘处电势最高 (E) 铜盘上有感应电动势产生，铜盘中心处电势最高 D 14.5一矩形线框长为a宽为b，置于均匀磁场中，线框绕OO轴，以匀角速度w旋转(如题图14.4所示)设t =0时，线框平面处于纸面内，则任一时刻感应电动势的大小为 (A) 2abB | cosw t | (B) w abB (C) (D) w abB | cosw t | (E) w abB | sinw t | D 14.6 如题图15.5所示，在半径为R的无限长螺线管内部，磁场的方向垂直纸面向里，设磁场按一定的速率在减小。则P点处涡旋电场的方向为：（A） 垂直纸面向内； （B）顺时针； （C）逆时针； （D）沿径向向外 B 14.7 自感为 0.25 H的线圈中，当电流在(1/16) s内由2 A均匀减小到零时，线圈中自感电动势的大小为： (A) 7.8 10-3 V (B) 3.1 10-2 V (C) 8.0 V (D) 12.0 V C 14.8 两个相距不太远的平面圆线圈，怎样可使其互感系数近似为零？设其中一线圈的轴线恰通过另一线圈的圆心 (A) 两线圈的轴线互相平行放置 (B) 两线圈并联(C) 两线圈的轴线互相垂直放置 (D) 两线圈串联 C 14.9 面积为S和2 S的两圆线圈1、2，如题图14.6放置，通有相同的电流。线圈1的电流所产生的通过线圈2的磁通用表示，线圈2的电流所产生的通过线圈1的磁通用表示，则和的大小关系为： (A) ； (B) ；C） ； （D） 。 C 14.10 用线圈的自感系数L来表示载流线圈磁场能量的公式： (A) 只适用于无限长密绕螺线管 (B) 只适用于单匝圆线圈 (C) 只适用于一个匝数很多，且密绕的螺绕环 (D) 适用于自感系数一定的任意线圈 D 14.11 有两个长直密绕螺线管，长度及线圈匝数均相同，半径分别为r1和r2管内充满均匀介质，其磁导率分别为和设r1r2=12，当将两只螺线管串联在电路中通电稳定后，其自感系数之比L1L2与磁能之比Wm1Wm2分别为： (A) L1L2=11，Wm1Wm2 =11；(B) L1L2=12，Wm1Wm2 =11； (C) L1L2=12，Wm1Wm2 =12；(D) L1L2=21，Wm1Wm2 =21； C 14.12真空中一根无限长直细导线上通电流I，则距导线垂直距离为a的空间某点处的磁能密度为 ： (A) (B) (C) (D) B 14.13 一忽略内阻的电源接到阻值R10的电阻和自感系数L0.52 H的线圈所组成的串联电路上，从电路接通计时，当电路中的电流达到最大值的90%倍时，经历的时间是： (A) 46 s； (B) 0.46s； (C) 0.12 s； (D) 5.2610-3 s。 C 二、计算题14.14 .如题图14.7所示，有一根长直导线，载有直流电流I，近旁有一个两条对边与它平行并与它共面的矩形线圈，以匀速度沿垂直于导线的方向离开导线设t =0时，线圈位于图示位置，求 ： (1) 在任意时刻t通过矩形线圈的磁通量；（2）、在图示位置时矩形线圈中的电动势。 解：(1) (2) 依据法拉第电磁感应定律得 14.15 如题图14.8所示，长直导线AB中的电流I沿导线向上，并以dI /dt =2 A/s的变化率均匀增长导线附近放一个与之同面的直角三角形线框，其一边与导线平行，位置及线框尺寸如图所示求此线框中产生的感应电动势的大小和方向（） 解：建立坐标如图所示，则直角三角形线框斜边方程y =-2x + 0.2 (SI) 取瞬时针方向为线框的绕行方向，则在直角三角形线框所围平面上的磁通量为 2.5910-8 I (SI) 三角形线框中的感应电动势为 即电动势的大小为，方向为逆时针 14.16 如题图14.9所示,载有电流的I长直导线附近，放一导体半圆环MeN与长直导线共面，且端点MN的连线与长直导线垂直半圆环的半径为b，环心O与导线相距a设半圆环以速度 平行导线平移，求半圆环内感应电动势的大小和方向以及MN两端的电压。 解：动生电动势为计算简单，可引入一条辅助线MN，构成闭合回路MeNM, 闭合回路总电动势 负号表示的方向与x轴相反 所以， 方向NeM 14.17 求长度为L的金属杆在均匀磁场中绕平行于磁场方向的定轴OO转动时的动生电动势已知杆相对于均匀磁场的方位角为，杆的角速度为，转向如题图14.10(a)所示。解：在距O点为l处的dl线元中的动生电动势为 的方向沿着杆指向上端 14.18 如题图14.11所示，一长直导线中通有电流I，有一垂直于导线、长度为l的金属棒AB在包含导线的平面内，以恒定的速度沿与棒成角的方向移动开始时，棒的A端到导线的距离为a，求任意时刻金属棒中的动生电动势，并指出棒哪端的电势高 解：如图建立坐标系，时刻在坐标为处取线元矢量元，则 式中： 所以： ，A端的电势高14.19 如题图14.12所示，长直导线中电流为i，矩形线框abcd与长直导线共面，且adAB，dc边固定，ab边沿da及cb以速度无摩擦地匀速平动t = 0时，ab边与cd边重合设线框自感忽略不计 (1) 如i =I0，求ab中的感应电动势ab两点哪点电势高？ (2)如，求ab边运动到图示位置时线框中的总感应电动势解：(1)所处的磁场不均匀，建立坐标ox，x沿ab方向，原点在长直导线处，则x处的磁感应强度为 ， （式中 i =I0）在在坐标为处取线元矢量元，则ab中的感应电动势为 由于ab中的感应电动势的实际方向为，因此有。 (2) 当时，以abcda作为回路正方向， 则：上式中， 于是： 14.20 如题图14.13所示，一根长为L的金属细杆ab绕竖直轴O1O2以角速度w在水平面内旋转，O1O2在离细杆a端L /5处，若已知地磁场在竖直方向的分量为。求ab两端间的电势差。 解：间的动生电动势和间的动生电动势分别为：，b点电势高于O点 ，a点电势高于O点 14.21长为L，质量为m的均匀金属细棒，以棒端O为中心在水平面内旋转，棒的另一端在半径为L的金属环上滑动棒端O和金属环之间接一电阻R，整个环面处于均匀磁场中，的方向垂直纸面向里，如题图14.14所示设t =0时，初角速度为忽略摩擦力及金属棒、导线和圆环的电阻求 (1) 当角速度为时金属棒内的动生电动势的大小； (2) 棒的角速度随时间变化的表达式。（提示：利用转动定律） 解(1) 对于金属棒OB，沿径向在半径为处取，利用公式，得 (2) 设磁力作用在金属棒OB上的力矩大小为，则根据转动定律得则：，其中 14.22 一面积为S的单匝平面线圈，以恒定角速度在磁感强度的均匀外磁场中转动，转轴与线圈共面且与垂直（为沿z轴的单位矢量）。设t =0时线圈的正法向与同方向，求线圈中的感应电动势。 解：时刻线圈的正法向与之间的夹角为，则时刻线圈中的磁通量为 时刻线圈中的感应电动势为 14.23 如题图14.15所示，一半径为r2电荷线密度为l的均匀带电圆环，里边有一半径为r1总电阻为R的导体环，两环共面同心(r2 r1)，当大环以变角速度绕垂直于环面的中心轴旋转时，求小环中的感应电流其方向如何？ 解：大环中相当于有电流 。这电流在O点处产生的磁感应强度大小 以逆时针方向为小环回路的正方向，则小环中的磁通量为 感应电流为的方向：当时，i为负值，即i为顺时针方向；：当时，i为正值，即i为逆时针方向 14.24 电荷Q均匀分布在半径为a、长为L ( L a)的绝缘薄壁长圆筒表面上，圆筒以角速度绕中心轴线旋转一半径为2a、电阻为R的单匝圆形线圈套在圆筒上，如题图14.16所示若圆筒转速按照的规律(和是已知常数)随时间线性地减小，求圆形线圈中感应电流的大小和流向。 解：筒以w旋转时，相当于表面单位长度上有环形电流，它和通电流螺线管的nI等效按长螺线管产生磁场的公式，筒内均匀磁场磁感强度为： (方向沿筒的轴向)筒外磁场为零穿过线圈的磁通量为： 在单匝线圈中产生感生电动势为 感应电流i为当时，的流向与圆筒转向一致否则， 的流向与圆筒转向相反。14.25 如题图14.17所示，两个半径分别为R和r的同轴圆形线圈相距x，且R r，x R若大线圈通有电流I而小线圈沿x轴方向以速率v运动，试求：（1）小线中感应电动势的大小；（2）x =NR时(N为正数)小线圈回路中产生的感应电动势的大小。 解：由题意，大线圈中的电流在小线圈回路处产生的磁场可视为均匀的 故穿过小回路的磁通量为 由于小线圈的运动，小线圈中的感应电动势为 当x =NR时，小线圈回路中的感应电动势为 14.26 如题图14.18所示，有一弯成 角的金属架COD放在磁场中，磁感强度的方向垂直于金属架COD所在平面一导体杆MN垂直于OD边，并在金属架上以恒定速度向右滑动，与MN垂直设t =0时，x = 0求下列两情形，框架内的感应电动势。 (1) 磁场分布均匀，且不随时间改变； (3) 非均匀的时变磁场。解：(1) 如题图18（a）,因为 所以，由法拉第电磁感应定律可得 在导体MN内的方向由M向N (2) 对于非均匀时变磁场。如题图18（b），取回路绕行的正向为ONMO，则 ， ，则方向与所设绕行正向一致；，则方向与所设绕行正向相反。 14.27 如题图14.19所示，真空中一长直导线通有电流(式中I0、为常量，t为时间)，有一带滑动边的矩形导线框与长直导线平行共面，二者相距a矩形线框的滑动边与长直导线垂直，它的长度为b，并且以匀速(方向平行长直导线)滑动若忽略线框中的自感电动势，并设开始时滑动边与对边重合，试求任意时刻t在矩形线框内的感电动势 并讨论的方向。解：线框内既有感生又有动生电动势设顺时针绕向为的正方向先求任意时刻t的F (t) 根据法拉第电磁感应定律可得： 。（计算中利用了条件）。的方向：l t 1时，顺时针 14.28 在半径为R的圆柱形空间内，存在磁感强度为的均匀磁场，的方向与圆柱的轴线平行有一无限长直导线在垂直圆柱中心轴线的平面内，两线相距为a，a R，如题图14.20所示已知磁感强度随时间的变化率为dB /dt，求长直导线中的感应电动势，并说明其方向。（提示： 选取过轴线而平行给定的无限长直导线的一条无限长直导线，与给定的无限长直导线构成闭合回路(在无限远闭合)。利用在过轴线的长直导线上，感生电场处处与之垂直的条件）解：由问题的轴对称性和轴向的无限长条件可知，感生涡漩电场的场强在垂直轴线的平面内，且与径向相垂直如如题图20（b）所示，选取过轴线且平行给定的无限长直导线的一条无限长辅助直导线，与给定的无限长直导线构成闭合回路(在无限远闭合)，则在过轴线的辅助长直导线上，因感生电场处处与之垂直，所以该辅助长直导线上电动势为零又在无限远处，故此回路中的电动势就是给定的无限长直导线中的电动势 该回路的磁通量由电磁感应定律有：的正方向如图所示当时，的方向从左到右；时，的正方向从右到左。 14.29 题图14.21所示为水平面内的两条平行长直裸导线LM与LM，其间距离为l，其左端与电动势为的电源连接匀强磁场垂直于图面向里一段直裸导线ab横嵌在平行导线间(并可保持在导线间无摩擦地滑动)把电路接通由于磁场力的作用, ab将从静止开始向右运动起来求 (1) ab能达到的最大速度v (2) ab达到最大速度时通过电源的电流I 解：(1) 导线ab运动起来时，切割磁感线，产生动生电动势设导线中电流为（假设从a到b），导线运动速度为v，则ab上的动生电动势 ， 由b指向a在由ab接通的电路中在磁场力作用下，v不断增大，则i不断减小。当v增大到某一值V时，总会出现此时，ab所受磁场力为零，其速度不再增加，导线作匀速运动，这也就是ab能达到的最大速度，即ab所能达到的最大速度为： (2) 这时电路中和电源中的电流都是： I =0 1430 如题图14.22所示，在圆柱形的匀强磁场中，同轴地放置一个半径为，厚度为的金属圆盘，今使磁场随时间变化，为一常数，已知金属盘的电导率为。试求：金属盘内的总的涡电流。解：如题图14.22，半径为的同轴圆柱面上各点的涡旋电场为：。涡旋电场的方向与的方向成左手螺旋关系。在半径（）间取高为的同轴柱壳。在该柱壳内，沿切向流动的涡电流大小为：故金属盘内总的涡电流为：由于金属盘内载流子为电子，所以当时，涡电流为反时针流动；当时，涡电流顺时针流动。14.31 两同轴长直螺线管，大管套着小管，半径分别为a和b，长为L (L a；a b)，匝数分别为N1和N2，求互感系数M。解：设半径为a的长螺线管中通入电流I，则管内的均匀磁场 通过半径为b的长螺线管的磁链为： 根据定义：14.32 真空中，一个半径r1 =1 cm，长度l1 =1 m的圈数为N1=1000的螺线管在它的中部与它同轴有一个半径r2 =0.5 cm，长度l2 =1.0 cm圈数N2 =10的小线圈计算两个线圈的互感系数。(真空的磁导率) 解：设外圈线圈通过电流I1，由于，所以它在线圈中间产生的磁感强度为： 由于内线圈的r2 r1，l2 l1，所以可以认为B1均匀通过内线圈，从而得到通过内线圈的磁通链数为： 所以得两线圈的互感为： H14.33 真空矩形截面螺绕环的总匝数为N，尺寸如题图14.23所示，求它的自感系数 解：设螺绕环中通电流I，在环内取以环中心为圆心，半径为r 的圆形回路（截面为矩形，如图），根据安培环路定理有 则 通过螺线管矩形截面的磁通链数为： 14.34 一无限长直导线通有电流。一矩形线圈与长直导线共面放置，其长边与导线平行，位置如题图14.24所示求： (1) 矩形线圈中感应电动势的大小及感应电流的方向；(2) 导线与线圈的互感系数 解：(1)如图建立坐标系，在坐标间取面元。取矩形线圈的饶行方向为顺时针，则面元的正法矢量方向垂直纸面向里，于是该面元上的磁通量为 ，其中 穿过矩形线框的磁通量为：根据法拉第电磁感应定律得： 由于感应电动势，所以此时感应电流方向为顺时针方向 (2) 根据互感系数的计算式可得：14.35 一边长为a的正方形线圈，在t = 0 时正好从如图所示的均匀磁场的区域上方由静止开始下落，设磁场的磁感强度为(如题图14.25所示)，线圈的自感为L，质量为m，电阻可忽略求线圈的上边进入磁场前，线圈的速度与时间的关系。 提示，其中；运动方程。联合求解解：线框在完全进入磁场前，电动势为，方向为逆时针。取线框中自感电动势的正方向同框内感应电流的方向，即逆时针方向，且此时。对线框列KVL方程（式中为线框的电阻，可忽略），则 在重力与磁力作用下线圈的运动方程为 式两边同时对t微分后把式带入，且令，可得： 这是一个简谐振动方程，其解为：根据初始条件时， ，可得积分常数分别为 。故 14.36 一螺绕环单位长度上的线圈匝数为n =10匝/cm环心材料的磁导率求在电流强度I为多大时，线圈中磁场的能量密度w =1 J/ m3？ ()。解： A14.37 一线圈的自感L1 H，电阻R3 在t0时突然在它两端加上U3 V的电压，此电压不再改变求(1) 时线圈中的电流强度；(2) 求时线圈磁场能量对时间的变化率 解：(1) 在t0时，线圈电流满足的微分方程为，即 利用初始条件t0 时i0 ，积分并化简，得当时，。 (2) 线圈储存的磁能为 , 所以当 时， W/s 14.38 在长为l、半径为b、匝数为N的细长螺线管的轴线中部，放置一个半径为a的导体圆环，圆环平面的法线与螺线管轴线之间的夹角固定成45(如题图14.26所示)已知螺线管电阻为R，圆环电阻为r，其自感不计，电源的电动势为 内电阻为零。设ab，螺线管与圆环的互感与螺线管的自感相比可不计。 (1) 求开关合上后通过螺线管的电流随时间的变化规律； (2) 求开关合上后小圆环内电流随时间的变化规律； (3) 证明圆环受到的最大磁力矩为 。解：(1) K接通后，长直螺线管与电源组成RL回路L为长直螺线管的自感系数，且 对回路列KVL方程 ，分离变量后得上式积分，且利用初始条件t0 时I0 得：(3) 穿过圆环的磁通量为： 圆环中感应电动势的大小为： 感应电流为： (3) 圆环受的力矩的大小为： 对上式求极值， 令 得，且此时有 ，说明时圆环所受到的力矩最大。最大力矩为三、小论文写作练习1、总结出互感系数的几种证明方法。2、根据电磁感应定律和简单的电子线路，设计电磁感应摆与电磁陀螺演示实验。第十五章 电磁场理论的基本概念(Fundamental concepts of electromagnetic field theory)一、选择题15.1 电位移矢量的时间变化率的单位是（A）库仑米2 （B）库仑秒（C）安培米2 （D）安培米2 C15.2 如题图15.1所示，平板电容器(忽略边缘效应)充电时，沿环路L1的磁场强度的环流与沿环路L2的磁场强度的