(a)将分解成部分分式.doc

2001-AL-P1P.3甲部1. (a)將分解成部分分式。(b)證明 。(5分)2. (a)證明 。(b) 一序列 an 定義如下： a1=6，ak+1=ak，k=1,2,3.求ak，答案以n表示。(5分)3.(a) 設。證明對所有 x0，。(b) 設a、b、p、q為正數，且 。證明 。 (5分)4.設A、B、C依次為點(a,0,0)、(0,b,0)、(0,0,c)，而O為原點。(a) 求。(b) 設以 X、Y、Z為頂點的三角形的面積記為 。證明 2=2+2+2 。(5分)5.設二項式 (1+x)2n依x的升冪序展開的第k項記作 TK。即 。(a) 若 x=，求k值的範圍使 。(b) 若 x=及n=15，求展開式中最大項。(5分)6.設 f(x)=ax2+bx+c，其中a,b,c為實數，且 a0。證明對所有實數x,，則f(x)=x2。(4分)7.某22矩陣M是R2中某變數T的矩陣表示，T將(1,0)及(0,1)依次轉換為(1,1)及(-1,1)。(a) 求M。 (5分)(b) 求0使M可分解成 ，其中。由此描述T的幾何意義。8.設 (L) 為直線， (C )為圓 。(a) 在阿根圖上描繪 L。(b) 設P、Q依次為 (L)及(C)上的點使PQ等於(L)及(C)間的最短距離。求PQ及代表P及Q的複數。(6分)乙部9.考慮線性方程組 (S)： , 其中。(a) 證明 (S) 有唯一解的充分及必耍條件是 及。(2分)(b) 對以下各情況，求使 (S)有解的 k 值，並求(S)的解。(8分)(i) 及 (ii) =0， (iii) =2。(c) 若 有解 (x,y,z)滿足 (x-p)2+y2+z2 =1，求p值的範圍。(5分)10. 設 及 ,=2,3,4.。(a)證明對任意正整數n，(i) an,bn0 及， (ii) (b)對 n=1,2,3,.。定義 (i)證明 。 (ii) 證明 (iii)證明 。由此證明序列 u1,u3,u5,.嚴格遞增及u2,u4,u6,.嚴格遞減。(iv) 證明序列 u1,u3,u5,.及u2,u4,u6,.收歛至同一極限。 求此極限。 (4分+11分)11.(a)證明。(b)設n為一整數。證明方程 .(*) 的所有根可寫成 ik。其中k，k=0,1,.,n-1。(c) 若ik 為數(b)中 (*)的根，利用根與係數關係，證明。(d) 設P0,P1,.,Pn-1 為阿根平面上的個點，代表 (b)中(*)的根，而為原點。Q為化代表的點。其中。若dk至Q的距離，證明無關。(3+4+5+3分)12.A、B、C、D四點的位置向量依次為 a=7i+8j+3k、b=2i7j+13k、c=17i6j+3k及d=r(2i4j5k)。其中r為一非零實數。(a) 證明 a、b及c 線性無關。(b) 若 v=a+b，其中,R及,，且v同時是向量c及d的線性組合。證明：=(bcd)：(acd)。由此計算：。(c) 假設A、B、C、D、四點共面。 (i) 求r。 (ii) 設E為AB及CD的交點。利用(b)或其他方法，求BE：EA及E的位置向量。(3+5+7分)13.(a)設 P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d，其中a,b,c,dR。(i) 證明若是P(x)的複數根，則亦為P(x)的根。(ii) 對任意實C，證明 是x的實係數二次多項式。由此證明P(x)可因式分解成兩個實係數二次多項式的積。(b)設 f(x)=x4+8x3+23x2+26x+7及g(x)=f(x+k)，其中kR及 g(x)中的x3係數為零。(i) 求k及g(x)的各係數。(ii) 假設 g(x)=(x2+px+q)(x2+rx+s)，其中p,q,r,sR。籍比較係數或其他方法，證明p62p4+5p24=0。(iii) 求f(x)=0的所有根。(6+9分)14.(a)若a、b為兩實數使，證明及等式成立的充分及必要條件為a=1或b=1(b)運用數學歸納法，證明x1,x2,.xn為n(n2)個正實數使x1x2xn=1，則x1+x2+.+xnn 及等式成立的充分及必要條件為x1=x2=.=xn=1。(c) 設a1,a2,.an為n(n2) 個正實數。利用(b)或其