作业运用数理统计方法分析考试成绩.doc

运用数理统计方法分析考试成绩摘要：本文以一次考试成绩为例,给出了数理统计方法在教学评估中的一个应用,通过编制频数分布表,计算均值、方差、标准差,进行正态分布的拟合度检验等过程，得出了一些结论。 关键词: 数理统计;频数分布;标准差;拟事度检验学生考试结束后，为了了解学生对所学知识与技能的掌握情况，发现教与学中存在的不足，使考试真正为素质教育服务，我们需要对考试成绩进行一次较为深入细致的定量分析。数理统计对教育及教学工作进行评估、定量分析起到重要的作用。本文以陕西延安实验中学高一（1）（2）两个班数学期末考试成绩为例，综合运用多种统计方法对成绩（数据)进行分析研究，做出决断，并分析产生的原因。从两组数据（附表）中，只能看出成绩分布在60-90和60-85之间，不能看出其他信息。首先要对这些数据进行分组，编制出成绩的频数分布表。1 编制成绩频数分布表 就是把成绩（数据）分成若干组（小区间），编制出每个组内数据出现的频数的表格。通过求极差、确定组距i与组数r、确定分组区间、计算频数f等步骤、编制出频数分布表（表1）： 表1 频数分布表 组别分组区间组中值频数 1（59.5,62.5）61122（62.5,65.5）64413（65.5,68.5）67254（68.5,71.5）70495.（71.5,74.5）736176（74.5,77.5）7613127（77.5,80.5）79928（80.5,83.5）82719（83.5,86.5）852110(86.5,89.5)88111(89.5,92.5)911合计 频数分布表将一堆杂乱无序的数据排列成序，从表1中可以看出：（1）班成绩在74.5-77.5一组人数最多；（2）班成绩在71.5-74.5一组人数最多。还能看出各班分数的集中及差异大致情况。这时，我们已对分数的分布特征有了较直观的认识。要进一步发现和表示成绩的规律性，还需计算能够反映该组数据统计特征的数字-统计量。最常用的有两种：一是表现数据集中趋势的量算术平均数（平均分数）；二是表现数据分散程度的量方差或标准差，有时也用变异系数。2 算术平均数 经过计算，（1）班和（2）班数学的平均分数为：=75.9，=72.4 它表明，（1）班成绩集中在75.9分，二班成绩集中在72.4分.说明：（1）班学生学习数学的整体水平高于（2）班。 我们也可算出两班全体学生的总平均分数：3 离中趋势的度量3.1 方差或标准差 n个数据称 为这n个数据的方差。其中x是n个数据的算术平均数. 用S2来衡量一组数据波动大小, 即数据偏离平 均分数的大小. 当平均分数一定时 S 2 越大,说明这组数据波动越大,即这组数越分散或称离散程度大,反之亦然. 由于S2的单位是原数据单位的平方, 故常用方差的算术平方根:S=S 2并称 S 为标准差. S 与原 数据单位一致, 用 S 来刻画数据的散程度比 S 2 更 方便.我们先算出两个班成绩的方差, 再算出标准差. 因数据已分组，可用公式 其中：为估计平均数。 为第k组的组中值 为第k组的实际频数 为总频数经计算，（1）班成绩的方差为,标准差；（2）班成绩的方差，标准差。3.2 由两个班成绩标准差计算全体学生成绩的标准差用公式：式中： 为第i个班的人数 为第i个班学生成绩的标准差 为第i个班学生成绩的平均分数 为全体学生成绩的总平均分数 为全体学生人数经过计算，两个班全体学生成绩的标准差3.3 变异系数比较两组数据时，若平均分数不相等，要用变异系数来比较。一组数据的标准差与平均数的百分比称为改组数据的变异系数，记为。公式为：CV=计算两个班成绩的变异系数分别为：=，。由此可见，（1）班成绩的差异程度略高于（2）班。考试成绩的频数分布大多数是正态分布或近似正态分布，有时也出现偏态分布，这时需对分布进行正态化转换。为了进一步对成绩进行分析，我们要检验分布是否为正态分布4.成绩频数分布为正态的拟合度检验拟合度就是吻合度，拟合度检验是指理论曲线与实际观察曲线相吻合的程度，常用方法是检验。我们对（1）班成绩的频数分布进行检验。设其中为未知参数，的极大似然估计分别为。由前文资料，在成立的条件下，查标准正态分布函数值表得： 同理： 再有可算出及值(表2)： 表2 拟合度检验值组别实际频数理论频数1、21+42394.5323-110.33446-240.67569-39161310390.90799000876110.17923-110.3310、111+11111合计 =8.9给，查自由度为的分布临界值表,，.由，故接受,即可以认为该班成绩的频数分布服从正态分布。用同样的办法可检验（2）班成绩的频数分布亦服从正态分布。 两个班成绩的频数分布与理论频数分布（正态分布）差异不显著（），或认为吻合度很好。这样，我们就可以用正态分布的性质来研究两个班成绩的规律。5 用正态分布的性质分析两个班的成绩正态分布有中间高、两头低、左右对称的直观特征。已经知道，两个班成绩的频数可以认为是正态分布，（1）班成绩，（2）班成绩。5.1 密度函数 5.2 分布函数 5.3 在区间上的概率 我们计算出分数高于75的概率： （1）班: (2)班：。就是说，成绩高于75分的人数，（1）班约占全班的，而（2）班约占全班的。参考文献：1杨培恒，刘新平.应用数理统计方法M.西安：陕西师范大学出版社.1993.2张厚粲.心理与数学统计学M.北京：北京师范大学出版社.1988.3赵觐周，杨培恒.概率与数理统计M.西安：陕西师范大学出版社，1988.4冯立.统计学实验M.大连：东北财经大学出版社，2008.5王孝玲.教育统计学M.上海：华东师范大学出版社，2007.m附表：高一（1）（2）两个班数学期末考试成绩一班二班徐茜63.5何正平64 张怀宇71王冰49罗昊74.5黄文韬79 夏臻74.5王杰73.5石枫92谭如海74 汪洲73程志强75张文璇82.5成泽79 唐浩68乐凯67.5张威73柯子聪76 黄景59.5陈逸东79刘昌源85.5黄佳瑜74 王光华79吕俊67柯云菲84黄思宇80 石章威70刘昶73梅丽叶78.5 杨颖79 江前佰81祝佳贝29周晓维83.5王尚威63 余淙伟69.5程晨34黄心远77 陈家炜54 肖阳60程思遥66.5何敏83 董顺56 龚成昊34李思儒58往清84 杜煜84 杨敏85张本轩74.5徐伟81 曹亚东 87 赵庆海69.5刘康77王友炼61 徐鑫56 张绪财79叶润超69曹策84 毛泽治 67 程佑71熊壮61罗康73 丁玲77 陈冲81贾志豪74明俊80 孙熠 67 张碧茜62郭文琛78张伟康69 戴拯73 徐宇74李清涛64杨远哲72 姜萌88 舒晓榕80田庆隆74.5江穹峰88 汪逸豪63 陈曦70.5柯研42