佳一数学2013年秋季教案 八年级-1 三角形的边角关系.doc

第一讲 三角形的边角关系 教学内容佳一动态数学思维秋季版，八年级第一讲“三角形的边角关系”。教学目标知识技能： 1、使学生了解三角形边角关系；并了解三角形的高、中线、角平分线以及外角等概念及性质。2、使学生在学习三角形的过程中，进一步培养观察、比较、分析和抽象概括能力。 数学思考：1、通过合作探索理解并掌握三角形边角关系的一些性质，培养学生抽象概括与观察类推的能力。2、以学生为课堂的主体，让学生以自主探究、合作交流、分析讨论、概括总结等来调动其学习积极性和主动性。问题解决： 能从实际生活中发现有关三角形边角关系的数学问题，并利用所学的知识加以解决；体会与他人合作交流的快乐。情感态度：在三角形问题的学习与解题中，锻炼学生的耐心、细心。增强学生运用知识解决问题和独立克服困难的能力。树立学好数学的自信心。 教学重点和难点:教学重点：三角形边角的关系、三角形的重要线段以及三角形的各角的关系教学难点：三角形的重要线段的掌握教学准备:动画多媒体语言课件第一课时教学过程：教学路径 学生活动方案说明一、课前谈话：师：同学们，欢迎大家来到佳一的数学课堂，我是你们的新老师，我姓王，大家以后可以称呼我为王老师。经过这一个暑期的调整，今天我们就来开始学习这学期所要学习的新的知识，三角形大家都非常的熟悉，那么今天我们就来研究一下三角形的边角之间存在什么样的关系。(课件出示)小颖的妈妈是富士康的一名工程师，设计了一个零件的形状如图，按规定BAC=90，B=21，C=20，检查工人量得BDC=130，就断定这个零件不合格，你能运用所学的知识说出其中的道理吗？小颖：（头像）作射线AD，如图（1）所示，因为1=3+C，2=4+B，所以1+2=3+C+4+B=（3+4）+C+B=BAC+B+C.所以1+2=90+21+20=131，即BDC=131由于零件中BDC=130，故可以断定这个零件不合格。小萍：（头像）延长CD交AB于E，如图（2）所示，因为1=C+A，CDB=1+B，所以BDC=C+A+B=20+90+21=131。由于零件中BDC=130，故可以断定这个零件不合格。二、自主探究，合作交流在我们开始今天的课程之前，我们先来回顾一下以前所学习的内容：1、三角形的概念定义：由_直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。2、三角形的分类按角分：按边分：3、三角形的重要线段在三角形中，最重要的三种线段是三角形的中线、三角形的角平分线、三角形的高。说明：（1）三角形的三条中线的交点在三角形的_部。 （2）三角形的三条角平分线的交点在三角形的_部。（3）_三角形的三条高的交点在三角形的内部；_三角形的三条高的交点是直角顶点；_三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部。4、三角形三边的关系定理：三角形任意两边的和_第三边；推论：三角形任意两边的差_第三边；说明：运用“三角形中任意两边的和大于第三边”可以判断三条线段能否组成三角形，也可以检验较小的两边的和是否大于第三边。5、三角形各角的关系定理：三角形的内角和是_度；推论：（1）当有一个角是90时，其余的两个角的和为90；（2）三角形的任意一个外角_和它不相邻的两个内角的和。（3）三角形的任意一个外角_任意一个和它不相邻的内角。说明：任一三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角。那么回顾完这些基本的知识，我们就来开始今天的课程吧！探究类型之一 三角形的计数例1 如图，平面上有A、B、C、D、E五个点，其中B、C、D及A、E、C分别在同一条直线上，那么以这五个点中的三个点为顶点的三角形有（ ）A、4个 B、6个 C、8个 D、10个 找学生读题，看看能得到哪些有用的信息。小组交流讨论，老师巡视，找学生老说一下自己的做法。课件出示解析：动画：连接AB、AD、BE、DE。课件出示答案： C。师小结：分类讨论是三角形的计数中常见的思路方法。解决完这个题目，我们来看看类似性问题1.类似性问题1、已知ABC是直角三角形，且BAC=30，直线EF与ABC的两边AC，AB分别交于点M，N，那么CME+BNF=（ ）A、150 B、180 C、135 D、不能确定课件出示解析：因为A=30，所以NMA+MNA=180-30=150，所以CME+BNF=NMA+MNA=150.故选A.探究类型值二 三角形的三边关系例2 边长为整数，周长为20的等腰三角形的个数是 。师：三角形的周长等于三边的长，所以周长固定，那么能做成三角形的组合有哪几种呢？生：分小组讨论一下，然后完成本题。课件出示解析：根据三角形的周长及三角形的三边关系建立不等式和方程，求出其中一边长的范围，再求其正整数解.课件出示答案：解：设三角形三边分别为a、b、c且abc，a+b+c=20，则a7，又由b+ca，得a10，因此，可求出（a，b，c）为（9，9，2），（9，8，3），（9，7，4），（9，6，5），（8，8，4），（8，7，5），（8，6，6），（7，7，6），其中等腰三角形有（9，9，2），（8，8，4），（8，6，6），（7，7，6），所以填4.师小结：利用已知的等量关系及三角形的三边关系，建立不等式与方程，进而组成不等式与方程的混合组，求其正整数解.现在大家再来检验一下自己的所学：类似性问题2、现有3 cm，4 cm，7 cm，9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（ ）。A.1 B.2 C.3 D.4找学生读题，独立完成本题，最后老师来讲解一下。师：解决完这两类简单的问题，下面我们来研究一下三角形的内角和定理。探究类型之三 三角形的内角和定理例3 已知三角形三个内角的度数之比是x：y：z，且x+ yz，则这个三角形是（ ）A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形师：找学生读题，根据三角形的内角和定理和题目当中的条件我们只能得到哪些信息呢？生：师：根据x+ yz，利用不等式的性质进行判断，就能顺利的解决这个题目，现在大家相互讨论一下，然后找找学生来说一下自己的思路。课件出示解析：设三角形三个内角为x,y,z.根据三角形内角和定理，得x+y+z=180，结合x+yz，利用不等式的性质进行判断.课件出示答案：解：三角形的内角和为180，设三角形三个内角为x，y，z，则x+y+z=180，又x+yz，即180-z90，故这个三角形是钝角三角形。故选C。师小结：利用三角形内角和为180建立等量关系是常用的解题方法。例4 如图（1），有一个五角星形ABCDE图案，（1）你能说明A+B+C+D+E=180吗？（下一步出示：）（2）当A点向下移动到BE上如图（2），上述结论是否仍然成立？（3）当A点移到BE的另一侧如图（3），上述结论是否仍然成立？请说明理由。师：从题目中你能发现那些信息呢？你有什么思路吗？学生先独立思考，找学生说一下自己的想法。根据学生汇报情况分小组来讨论，然后找学生来说一下自己的思路和方法，最后老师讲解一下。课件出示解析：（1）连接CD，设BD与EC相交于F，分别在ACD及BEF、CDF中运用三角形内角和定理.课件出示答案：（1）解：设BD与CE相交于F点在BEF中，B+E+1=180又A+C=2有1=2+D=A+C+D所以 A+B+C+D +E=180第二种解法（课件不出示）：解：（1）以题图（1）为例，说明如下：如图，连接CD，设BD与EC相交于F，在BEF中，B+E+3=180在CDF中，1+2+4=180，所以B+E+3=1+2+4所以B+E=1+2在ACD中，A+ACD+ADF=180，即A+ACF+1+ADF+2=180，所以A+ACF+ADF+B+E=180下一步（2）（3）：师带领大家根据（1）的解答方法独立完成（2）和（3）的探索。师小结：在解决新问题时，往往将其转化为比较熟悉的问题，再加以解决.（2）本例中出现的“对顶三角形”（如图），有如下结论：1+23+4. 类似性问题4如图，BDC=98，C=38，B=23，A的度数是（ ）A、61 B、60 C、37 D、39解析：解析：连接AD并延长，可证明BDC=A+B+C,所以A=98-38-23=98-61=37.故选C.学生自主完成本题。三、课堂小结通过这节课的学习，我相信大家都有了不小的收获，下节课我们继续来学习有关三角形的知识。学生相互探讨一起回顾已学基本概念自己独立完成分类讨论小组讨论探究多种解法运用生活的实际问题来激起学习的兴趣第二课时教学过程：教学路径 学生活动方案说明一、课前谈话通过上节课的学习我们学习了三角形的计数和三角形三边关系等知识，现在我们继续来学习三角形的外角的性质。二、自主探究、合作交流探究类型之四 三角形的外角和例5 如图3-7，ABC中，A、B、C的外角分别记为，若：=3：4：5，则A：B：C =（ ）A、3：2：1 B、1：2：3C、3：4：5 D、5：4：3找学生读题，然后分小组来讨论，老师巡视，帮助有困难的学生，最后找学生来说一下自己的思路和方法。课件出示解析：设=3x,=4x,=5x,根据三角形的外角和等于360列方程，再求A、B、C.课件出示答案：解：设=3x，=4x，=5x，则3x+4x+5x=360解得 x=30即：=90，=120，=150，所以A=180-=180-90=90，B=180-=180-120=60，C=180-=180-150=30所以A：B：C=90：60：30=3：2：1师小结：（1）三角形的外角和等于360；（2）方程思想是解决几何计算的常用方法.类似性问题5、将一副直角三角板如图3-11放置，使含30角的三角板的短直角边和含45角的三角板的一条直角边重合，则1的度数为（ ）学生分小组来解决这道题目，老师给予适当的指导，最后来讲解一下。课件出示解析：145+3075.类似性问题6、如图3-12所示，求A+B+C+D+E+F的度数。分小组讨论，老师给予适当的指导，最后老师对本题进行讲解。课件出示解析：设BE、CF、AD相互交于G、H、K.因为在AFK中，A+F+4=180,在BCG中，B+C+5=180,在EDH中，D+E+6=180,所以A+F+4+B+C+5+D+E+6=1803540.又因为1+3+2180，14，25，36，所以A+F+B+C+D+E=360.探究类型之五 三角形与平行线的综合运用例6 如图，直线ACBD，连接AB，直线AC,BD及线段AB把平面分成、四部分，规定：线上各点不属于任何部分。当动点P落在某个部分时，连接PA,PB，构成PAC，APB，PBD三个角。（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0角。） （1）当动点P落在第部分时，求证：APB=PAC+PBD； （2）当动点P落在第部分时，APB=PAC+PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点P在第部分时，全面探究PAC，APB，PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论。选择其中一种结论加以证明。课件出示解析： （1）延长BP交AC于点E，运用平行线的性质和三角形内角和定理及推论；课件出示答案:（1）解法一：如图（1），延长BP交直线AC于点E。 ACBD， PEA=PBD APB=PAE+PEA APB=PAC+PBD解法二：如图（2），过点P作FPAC， PAC=APF， ACBD ， FPBD FPB=PBDAPB=APF+FPB=PAC+PBD（2）课件出示解析：动画画图课件出示答案:由观察可知：不成立（3）课件出示解析: 运用平行线的性质或三角形内角和定理的推论解决.（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是PBD=PAC+APB（证明）按钮：如图（3），连接PA、PB，设PB交AC于M， ACBD， PMC=PBD。又 PMC=PAM+APM， PBD=PAC+APB （b）当动点P在射线BA上时，结论是PBD=PAC+APB或PAC=PBD+APB或APB=0，PAC=PBD（任写一个即可）。（证明）按钮：证明：如图（4） 点P在射线BA上，APB=0 ACBD ，PBD=PAC，PBD=PAC+APB或PAC=PBD+APB或APB=0，PAC=PBD。（c）当动点P在射线BA的左侧时，结论是PAC=APB+PBD。（证明）按钮：证明：如图（5），连接PA、PB，设PB交AC于F， ACBD ， PFC=PBD， PAC=APF+PFA， PAC=APB+PBD。师小结：解此类探索性命题的关键是由图形提供的信息，探索、猜想、归纳出点在不同位置上有关角之间的变化规律.类似性问题3：如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将ABC沿着DE折叠压平，A与A重合，若A=75，则1+2=（ ）A.150 B.210 C.105 D.75学生独立完成本题，师找学生讲解。三、课堂总结通过今天这节课的学习，我们对三角形的有关性质有了初步的了解和掌握，希望在以后的学习中能继续和老师一起学习，一起探讨。独立完成分类探讨教后反思：本讲教材及练习册答案：教材：例题：略类似性问题：1. A解析：因为A=30，所以NMA+MNA=180-A=150，所以CME+BNF=NMA+MNA=150.故选A.2.B3.A解析：ADE是由ABC沿DE翻折变换而成，AED=AED，ADE=ADE，A=A=75，AED+ADE=AED+ADE=180-75=105，1+2=360-2105=150故选A4. C解析：连接AD并延长，可证明BDC=BAC+B+C,所以BAC=98-38-23=37.故选C.5. 75解析：145+3075.6. 解析：设BE，CF，AD相互交于G，H，K，如图所示，分别在图中的四个三角形中运用内角和定理，再运用对顶角转换.第6题答图解：设BE，CF，AD相互交于G，H，K.因为在AFK中，A+F+4=180,在BCG中，B+C+5=180,在EDH中，D+E+6=180,所以A+F+4+B+C+5+D+E+6=1803540.又因为1+3+2180，14，25