山东2013高中数学奥林匹克夏令营试题及答案.doc

山东省2013届高中数学奥林匹克夏令营试题参考答案一.填空题(本题共4道小题,每题10分,共50分)1.已知直线L过定点P(1,2)且与x轴y轴正半轴分别交于A,B两点.则ABC周长的最小值是_; (王泽阳 供题)OABP(1,2)xy解:令BAO=,则,(令),其中等号成立仅当.所以,Smin=10.2.设a,b为实数,且多项式p(x)=x3+ax2+bx-8的所有根均为实数.则a2-2b的最小值是_; (王林 供题)解:设p(x)的三个根x1,x2,x3,由韦达定理得:,(1)平方后,将(2)代入得:.且当x1=x2=x3=2,即a=-6,b=12时,等号成立.故a2-2b的最小值是12.3.使得每一个ai=0或1(i=1,2,8),且没有连续三项都是1的数列a1,a2,a8的个数是_; (王继忠 供题)解:设满足条件的数列a1,a2,an的个数un.则当a1=0时,有un-1个;当a1=1,a2=0时,有un-2个; 当a1=1,a2=1, a3=0时,有un-3个,故un=un-1+un-2+un-3,由u1=2, u2=4, u3=7,递推可得u8=149.4.将写在黑板上,一名学生选取任意两个数x,y,将他们擦去并写下数x+y+xy,这样一直操作下去,直到黑板上只剩一个数为止,那么,最后一个数是_; (龚红戈 供题)解:设原来黑板上数为,下面归纳证明最后剩下数为:当n=2时,显然成立.假设对n成立.则对n+1,将黑板上数一次操作后,不妨设擦去的数,并写下,由归纳假设,对于黑板上数进行上述操作,最后剩下数为:得证.故对于数,黑板上最后数为.5.已知凸四边形的四条边长分别为且对角线相交所成的锐角为，则凸四边形的面积等于_.(李跃文 供题)解:如图1，设ABCDOA图1则有 又因 ， ， ， . ,由-+-可得 . 所以, 二.解答题(本题共5道小题,每题20分,共100分)6.设0x1x2xn,且.求证:(1); (2) (李胜宏 供题)证明:(1)由知,由得.(2)由和及切比雪夫不等式得:,所以,.7.试求出满足21m-20n=1的所有正整数对(m,n). (陈永高 供题)解:当n=1时,21m=20+1=21,m=1, (m,n)=(1,1),下设n2.若存在正整数m,n使得21m-20n=1即21m=20n+1,则20n+11(mod8)(因n2).当m=2k+1时, 21m=21(21k)25(mod8),矛盾!当m=2k时, 20n=212k-1=(21k-1)(21k+1),由21k+12(mod20)知(20n,21k+1)=2,又21k+1|20n,所以, 21k+1=2,k=0,m=0, 20n=0,n=1,与n2矛盾! 所以,当n2时,不存在满足条件的m,n.故满足条件的所有正整数对(m,n)=(1,1).8.设ABC中,E,F是AC,AB边上的任意点,O,O/分别是ABC,AEF的外心，DRP,Q是BE,CF上的点,满足.求证:OO/PQ. (叶中豪 供题)证明:过点P做PRAC交BC于R点,连结QR.做ABC,AEF的外接圆O,O/,设它们交于另一点D,AD,BD,CD,ED,FD.由PRAC得,所以,由得QRAB,同理得,由,得,由ABD=ACD,AFD=AED得DFBDEC,所以,.由,得,且PRQ=BAC=BDC,所以,PQRDBC,得RPQ=DBC=DAC,且PRAC,PQAD,又AD是公共弦,所以OO/AD,故OO/PQ.9.设p为大于3的质数.证明:至少有一个不同于p的质因子q,且q2p+1. (邹明 供题)证明:由p为大于3的质数得:,及.故至少有一个不同于p的质因子q.由q是的不同于p的质因子知q2,(p-1,q)=1,且,所以,由费尔马小定理得,若()=2,则,矛盾!若()=p,则,与矛盾!又()2,所以,()=2p,从而,所以,.10.友谊排列:对于集合,若能将其元素适当划分,排成两个项的数列:,使得,则称为一个友谊集，而数列称为的一种友谊排列，例如和便是集合的一种友谊排列，或记为；(1)证明：若为一个友谊集，则存在偶数种友谊排列；(2)确定集合全体友谊排列 (陶平生 供题)(1)证明:设是的一种友谊排列，即有，且，称数列为甲型的，而数列为乙型的；作数列：.则，且，因此，数列也是的一种友谊排列；再证，事实上，假若，即，则由，得，而，相加得，矛盾！故甲型数列与甲型数列一一对应；并且当数列跑遍的所有甲型数列时，数列也跑遍的所有甲型数列.注意到数列的第二项与数列的第二项一奇一偶，现让取遍使其第二项为奇数的甲型数列，则取遍使其第二项为偶数的甲型数列，且二者一一对应，因此的甲型数列有偶数个；由于当甲型数列确定后，相应的乙型数列便唯一确定，因此的友谊排列有偶数种.(2)解：当时，设其友谊排列为，其中，则，所以,，即，所以 .显然有而,于是由得，只有三种情况：、若，则，由于，于是中的元素只能与中的元素搭