【数学】2010高考二轮复习数学学案(20)选考部分.pdf

淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 1 页 共 97 页 选考部分选考部分选考部分选考部分 知识体系知识体系 1 1 几何证明选讲几何证明选讲 2 2 2 2 曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程 3 3 参数方程参数方程 4 4 坐标系与坐标变换坐标系与坐标变换 5 5 框图框图 6 6 特征值与特征向量特征值与特征向量 矩阵的简单应用矩阵的简单应用 7 7 逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵 8 8 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法 9 9 几种常见的平面变换几种常见的平面变换 10 10 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量 11 11 微积分基本定理与应用微积分基本定理与应用 12 12 曲边梯形的面积与定积分曲边梯形的面积与定积分 1 1 几何证明选讲几何证明选讲 第一节第一节 三角形三角形 一 考纲要求一 考纲要求 了解平行线等分线段定理和平行截割定理 掌握相似三角形的判定定理及性质定理 理解直角三角形射影定理 二 知识梳理二 知识梳理 1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在其他直线上 截得的线段 推论 1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 推论 2 经过梯形一腰的中点 且与底边平行的直线 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于 并且等于 2 平行线分线段成比例定理 两条直线与一组平行线相交 它们被这组平行线截得的对应 线段 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段 结论 1 平行于三角形的一边 并且和其他两边相交的直线 所截得的三角形的三边与 原三角形的三边 结论 2 三角形的一个内角平分线分对边所成的两条线断于这个角的两边 结论 3 若一条直线截三角形的两边 或其延长线 所得对应线段成比例 则此直线与 三角形的第三边 3 相似三角形的判定定理 1 SAS 2 SSS 3 AA 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 2 页 共 97 页 推论 如果一条直线与三角形的一边平行 且与三角形的另两条边相交 则 相似三角形的性质定理 相似三角形的对应线段的比等于 面积比等 于 4 直 角 三 角 形 的 射 影 定 理 直 角 三 角 形 一 条 直 角 边 的 平 方 等 于 斜边上的高等于 三 诊断练习三 诊断练习 1 如图 1 321 lll AM 3 BM 5 CM 4 5 EF 16 则 DM EK FK 2 如图 2 AB 是斜靠在墙壁上的长梯 梯脚 B 距墙 80cm 梯上点 D 距墙 70cm BD 长 55cm 则梯子的长为cm 3 如图 3 ABC 中 1 B 则 此时若 AD 3 BD 2 则 AC 4 如图 4 CD 是 Rt ABC 的斜边上的高 1 若 AD 9 CD 6 则 BD 2 若 AB 25 BC 15 则 BD 四 范例导析四 范例导析 例例 1 1 如图 5 等边 DEF内接于 ABC 且DE BC 已知BCAH 于点H BC 4 AH 3 求 DEF的边长 图 5 A M C E K F B D l1 l2 l3 图 1 A D B 图 2 A C B D 1 图 3 AB C D 图 4 BC A D FH E 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 3 页 共 97 页 例例 2 2 如图 6 在 ABC 中 作直线 DN 平行于中线 AM 设这条直线交边 AB 与点 D 交边 CA 的延长线于点 E 交边 BC 于点 N 求证 AD AB AE AC 例例 3 3 如图 7 E F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 AD 上的点 且 3 1 AD AF AB EB 求证 AEF FBD 五 当堂反馈五 当堂反馈 1 如图 8 ABC 中 点 D 为 BC 中点 点 E 在 CA 上 且 CE 2 1 EA AD BE 交于点 F 则 AF FD 2 一个等腰梯形的周长是 80cm 如果它的中位线长与腰长相等 它的高是 12cm 则这个梯 形的面积为cm 2 3 两个三角形相似 它们的周长分别是 12 和 18 周长较小的三角形的最短边长为 3 则另 一个三角形的最短边长为 4 如图 9 已知 1 2 请补充条件 写一个即可 使得 ABC ADE A BC D M E 图 6 N A BCD F E 图 8 A C B 图 9 E 1 2 A B C D M F E 图 7 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 4 页 共 97 页 第二节第二节直线和圆直线和圆 一 考纲要求一 考纲要求 1 理解圆周角定理及其推论 掌握圆的切线的判定定理及性质定理 理解弦切角定理及其 推论 2 掌握相交弦定理 割线定理 切割线定理 理解圆内接四边形的性质定理与判定定理 二 知识梳理二 知识梳理 1 圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于 圆心角定理 圆心角的度数等于的度数 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧 推论 2 半圆 或直径 所对的圆周角是 90的圆周角所对的弦是 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的 2 圆内接四边形的性质与判定定理 圆的内接四边形的对角 圆内接四边形的外角等于它的内角的 如果一个四边形的对角互补 那么这个四边形的四个顶点 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角 那么这个四边形的四个顶点 3 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的 推论 经过圆心且垂直于切线的直线必经过 经过切点且垂直于切线的直 线必经过 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 4 相交弦定理 圆内两条相交弦 的积相等 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 的两条线段长的积相等 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是的比例中项 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长 圆心和这点的 连线平分的夹角 三 诊断练习三 诊断练习 1 如图 10 点 P 是 O 的直径 BA 延长线上一点 PC 与 O 相切于点 C CD AB 垂足为 D 连结 AC BC OC 那么下列结论中正确结论的个数有个 PC 2 PA PB PC OC OP CD OA2 OD OP OA CP CD AP CD 2 AB是 O的直径 弦CD AB 垂足为P 若AP PB 1 4 CD 8 则直径AB的长是 AOD P C B 图 10 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 5 页 共 97 页 3 如图 11 AB 是 O 的直径 P 是 AB 延长线上一点 PC 切 O 于点 C PC 3 PB 1 则 O 的半径为 4 如图 12 圆O上的一点C在直径AB上的射影为D CD 4 BD 8 则圆O的直径 为 四 范例导析四 范例导析 例例 1 1 如图 13 AB是 O的直径 C是 O外一点 且AC AB BC交 O于点D 已知BC 4 AD 6 AC交 O于点E 求四边形ABDE的周长 例例 2 2 如图 14 已知AD是 ABC的外角 EAC的平分线 交BC的延长线于点D 延长DA交 ABC的外接圆于点F 连接FB FC 1 求证 FB FC 2 若AB是 ABC的外接圆的直径 EAC 120 BC 6 求AD的长 例例 3 3 如图 15 1和 O2都经过 A B 两点 经过点 A 的直线 CD 与 O1交于点 C 与 O2交于 点 D 经过点 B 的直线 EF 与 O1交于点 E 与 O2交于点 F 求证 CE DF A B P C 图 11 O O 2 O1 F E D C B A 图 15 A DO C B 图 12 A B O E C D 图 13 A B F CD E 图 14 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 6 页 共 97 页 五 当堂反馈五 当堂反馈 1 下列命题中错误的是 1 过一个圆的直径两端点的两条切线互相平行 2 直线 AB 与 O 相切于点 A 过 O 作 AB 的垂线 垂足必是 A 3 若同一个圆的两条切线互相平行 则连结切点所得的线段是该圆的直径 4 圆的切线垂直于半径 2 如图 17 已知 AB 是 O 的弦 AC 切 O 于点 A BAC 60 则 ADB 的度数为 3 如图 18 PA 与圆切于点 A 割线 PBC 交圆于点 B C 若 PA 6 PB 4 AB 的度数为 60 则 BC PCA PAB 4 如图 19 ABC是 O的内接三角形 PA是 O的切线 PB交AC于点E 交 O于点D 若PE PA 60ABC PD 1 BD 8 则线段BC 参考答案参考答案 第一节第一节 三角形三角形 三 诊断练习三 诊断练习 1 DM 7 5 EK 6 FK 102 440 3 ACD ABC 154 4 9 四 范例导析四 范例导析 例 1 解 设等边DEF 的边长为x 则它的高为x 2 3 因为DE BC 所以 3 2 3 3 4 x x 解得x 3 4 例 2 证明 AM EN AD AB NM MB NM MC AE AC MB MC AD AB AE AC 例 3 证明 过点 F 作 FM BD 于点 M 设正方形的边长为 a 则 BD 2a B A D C O 图 17 B C A P 图 18 A P CB ED 图 19 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 7 页 共 97 页 3 1 AD AF AB EB EB AF 3 1 a AE DF 3 2 a 在 Rt DMF 中 EM DM 2 2 DF 3 2 a BM 2a 3 2 a 3 22 a 在 Rt AEF 和 Rt MBF 中 2 1 3 2 3 1 a a AE AF 2 1 a2 3 2 a 3 2 BM FM A BMF 90 AEF MBF AEF FBD 五 当堂反馈五 当堂反馈 1 AF FD 4 12 2403 2 9 4 B D 或 C E 或 AB AD AC AE 第二节第二节直线和圆直线和圆 三 诊断练习三 诊断练习 1 42 103 44 10 四 范例导析四 范例导析 例 1 解 因为AB是 O的直径 所以BCAD 所以AD是 ABC的中线 所以AB AC 102 BD DC 2 由CBDEC 所以DE DC 2 由CE CA CD CB 得CE 5 102 所以10 5 8 5 102 102 AE 例 2 证明 1 因为AD平分 EAC 所以 EAD DAC 因为四边形AFBC内接于圆 所以FBCDAC 所以FCBFABEAD 所以FCBFBC 所以FB FC 2 因为AB是 ABC的外接圆的直径 所以 90ACD 因为EAC 120 所以 1 60 2 DACEAC 30D 在 RT ACB中 因为BC 6 60BAC 所以2 3AC 又在 RT ACD中 30D 2 3AC 所以4 3AD 例 3 证明 连结 AB ABEC 是 O1的内接四边形 BAD E ADFB 是 O2的内接四边形 BAD F 180 E F 180 CE DF 五 当堂反馈五 当堂反馈 1 4 2 120 3 5 30 30 4 72 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 8 页 共 97 页 随堂巩固练习 随堂巩固练习 1 1 1 如图 1 已知 AC AB BD AB AO 78cm BO 42cm CD 159cm 则 CO cm DO cm 2 已知 如图 2 AA EE AB BC CD DE A B B C C D D E 若 AA 28mm EE 36mm 则 BB CC DD 3 如图 3 EF BC FD AB AE 1 8cm BE 1 2cm CD 1 4cm 则 BD 4 已知 如图 4 在平行四边形 ABCD 中 DB 是对角线 E 是 AB 上一点 连结 CE 且延长和 DA 的延长线交于 F 则图中相似三角形 的对数是 5 如图 5 在ABC 中 AD是角BAC的平分线 AB 5cm AC 4cm BC 7cm 则BD cm 6 如图 6 ED FG BC 且 DE FG 把 ABC 的面积分为相等的三部分 若 BC 15 则 FG 的 长为 7 如图 7 已知矩形 ABCD 中 AEF 90 则下列结论一定正确的是 1 ABF AEF 2 ABF CEF 3 CEF DAE 4 ADE AEF 8 如图 8 在 Rt ABC 中 C 90 D 是 BC 中点 DE AB 垂足为 E B 30 AE 7 AB CDE F 图 7 D A CB E 图 8 A B C D EE D C B A 图 2 A BCD F E 图 3 A F E B C G D 图 4 A DE CB FG 图 6 AO C B D 图 1 图 5 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 9 页 共 97 页 则 DE 的长为 9 若一个梯形的中位线长为 15 一条对角线把中位线分成两条线段 这两条线段的比是 3 2 则梯形的上 下底长分别是 10 如图 9 BD CE是ABC 的中线 P Q分别是BD CE的中点 则 PQ BC 11 如图 10 在ABC 中 AD BC于D DE AB于E DF AC于F 求证 ACAFABAE 12 如图 11 在梯形 ABCD 中 AD BC E F 分别是 AB CD 的中点 求证 GH 2 1 BC AD 13 已知 如图 12 ABC 中 ABAC 90BAC D E F分别在AB AC BC 上 ACAE 3 1 1 3 BDAB 且 1 3 CFBC 求证 1 EFBC 2 ADEEBC 图 11 B C DA E F GH 图 9 图 10 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 10 页 共 97 页 随堂巩固练习 随堂巩固练习 2 2 1 如图 1 AB BC CD E 40 则 ACD 2 如图 2 已知 O 的切线 PC 与直径 BA 的延长线相交于点 P C 是切点 过 A 的切线交 PC 于 D 如果 CD PD 1 2 DA 2 那么 O 的半径 OC 3 如图 3 ABC 内接于 O AD 切 O 于 A BAD 60 则 ACB 4 如图 4 已知 AD AB ADB 35 0 则 BOC 等于 5 如图 5 ABCD 是 O 的内接四边形 AC 平分 BAD 并与 BD 交于 E 点 CF 切 O 于 C 交 AD 延长线于 F 图中四个三角形 ACF ABC ABD BEC 其中与 CDF 一定 相似的是 6 O 中 弦 AB 平分弦 CD 于点 E 若 CD 16 AE BE 3 1 则 AB 7 AB 是 O 的直径 OA 2 5 C 是圆上一点 CD AB 垂足为 D 且 CD 2 则 AC 8 如图 6 PAB 是 O 的割线 AB 4 AP 5 O 的半径为 6 则 PO 9 半径为 5 的 O 内有一点 A OA 2 过点 A 的弦 CD 被 A 分成两部分 则 AC CD 10 如图7 已知 O的半径OB 5cm 弦AB 6cm D是的中点 则弦BD的长度是 A B C D E 图 1 AP D C O B 图 2 D B A C 图 3 B A C O D 图 4 O A B C D F 图 5 A B P O 图 6 图 7 图 12 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 11 页 共 97 页 11 设圆 1 O与圆 2 O的半径分别为 3 和 2 12 4OO A B为两圆的交点 试求两圆的公 共弦AB的长度 12 如图 8 已知AP是 O的切线 P为切点 AC是 O的割线 与 O交于BC 两点 圆心O在PAC 的内部 点M是BC的中点 1 证明APOM 四点共圆 2 求OAMAPM 的大小 13 如图 9 已知 C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点 CH AB 于点 H 直线 AC 与过 B 点的切线相交于点 D E 为 CH 中点 连接 AE 并延长交 BD 于点 F 直 线 CF 交直线 AB 于点 G 1 求证 点 F 是 BD 中点 2 求证 CG 是 O 的切线 3 若 FB FE 2 求 O 的半径 参考答案参考答案 随堂巩固练习 随堂巩固练习 1 1 1 103 35 55 65 2 30mm 32mm 34mm 3 2 1cm 4 55 35 9 cm6 56 图 8 图 9 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 12 页 共 97 页 7 CEF DAE8 3 5 7 9 12 1810 1 4 11 证明 AD BC ADB 为直角三角形 又DE AB 由射影定理知 ABAEAD 2 同理可得ACAFAD 2 ACAFABAE 12 证明 由条件得 EF 是梯形 ABCD 的中位线 则有 EF AD BC 由平行线等分线段定理 得 AH HC BG GD FH 2 1 AD FG 2 1 BC GH FG FH 2 1 BC AD 13 证明 设3ABACa 则AEBDa 2CFa 1 3 2 3 2 3 2 23 2 a a CA CF a a CB CE 又C 为公共角 故 BAC EFC 由 90BAC 得90EFC EFBC 2 由 1 得 222 2 2222 2 AEaADa EFa EFBFaa 故 AEAD EFBF DAE BFE 90 ADE FBE ADE EBC 随堂巩固练习 随堂巩固练习 2 2 1 15 2 233 120 4 0 1405 6 3 3 32 7 5或 25 8 9 9 2110 10cm 11 解 连AB交 12 OO于C 如图 则 12 OOAB 且C为AB的中点 设ACx 则 22 12 9 4 OCxO Cx 22 12 944OOxx 解得 3 15 8 x 故弦AB 的长为 3 15 2 4 x 12 1 连结OPOM 如图 因为AP与 O相切于点P 所以OPAP 因为M是 O的弦BC的中点 所以OMBC 于是180OPAOMA 由圆心O在PAC 的内部 可知四边形APOM的对角互补 所以APOM 四点共圆 2 连接OA 如图 由 1 得APOM 四点共圆 所以OAMOPM 由 1 得OPAP 由 圆 心O在PAC 的 内 部 可 知90OPMAPM 所 以 90OAMAPM 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 13 页 共 97 页 13 解 1 证明 CH AB DB AB AEH AFB ACE ADF FD CE AF AE BF EH HE EC BF FD 2 方法一 连接 CB OC AB 是直径 ACB 90 F 是 BD 中点 BCF CBF 90 CBA CAB ACO OCF 90 CG 是 O 的切线 方法二 可证明 OCF OBF 略 3 解 由 FC FB FE 得 FCE FEC 可证得 FA FG 且 AB BG 由切割线定理得 2 FG 2 BG AG 2BG2 在 Rt BGF 中 由勾股定理得 BG 2 FG2 BF2 由 得 FG 2 4FG 12 0 解之得 FG 1 6 FG2 2 舍去 AB BG 24 O 半径为 2 曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程 知识网络 1 曲线的极坐标方程的意义 2 直线 圆和圆锥曲线的极坐标方程 典型例题 例 1 1 化极坐标方程 2 cos0 为直角坐标方程为 C A 2 0y 2 x或1y B 1x C 2 0y 2 x或1x D 1y 提示 22 cos1 0 0 cos1xyx 或 2 在平面直角坐标系中 以点 1 1 为圆心 2为半径的圆在以直角坐标系的原点 为极点 以Ox轴为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为 A A 2 2cos 4 B 2 2sin 4 C 2 2cos 1 D 2 2sin 1 提示 圆的直角坐标方程为 22 1 1 2xy 化为 极坐标方程为 22 cos1 sin1 2 2 2cos 0 4 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 14 页 共 97 页 曲线2 2cos 0 4 也过极点 2 2cos 0 4 与2 2cos 0 4 等价 对应的极坐标方程为2 2cos 4 3 极坐标方程cos2sin2 表示的曲线为 C A 一条射线和一个圆B 两条直线 C 一条直线和一个圆D 一个圆 提示 2 cos4sincos cos0 4sin 4 sin 或即 则 2 k 或 22 4xyy 4 极坐标方程分别为cos 与sin 的两个圆的圆心距为 2 2 提示 圆心分别为 1 0 2 和 1 0 2 5 极坐标方程 3 24cos 表示的曲线是 双曲线 提示 3 24cos 等价于 3 2 12cos 2e 例 2 设过原点O的直线与圆 22 1 1xy 的一个交点为P 点M为线段OP的中点 当点P在圆上移动一周时 求点M轨迹的极坐标方程 并说明它是什么曲线 解 圆 22 1 1xy 的极坐标方程为2cos 22 设点P的极坐标为 11 点M的极坐标为 点M为线段OP的中点 11 2 将 11 2 代入圆的极坐标方程 得cos 点M轨迹的极坐标方程为cos 22 它表示原心在点 1 0 2 半径为 1 2 的圆 例 3 过抛物线 2 8yx 的焦点F作倾斜角为 4 的直线 交抛物线于 A B两点 求线段AB 的长度 解 对此抛物线有1 4ep 所以抛物线的极坐标方程为 4 1 cos 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 15 页 共 97 页 A B两点的极坐标分别为 4 和 5 4 4 4 22 1 cos 4 FA 4 4 22 5 1 cos 4 FB 16ABFAFB 线段AB的长度为16 例 4 长为2a的线段 其端点在Ox轴和Oy轴正方向上滑动 从原点作这条线段的垂线 垂足 为M 求点M的轨迹的极坐标方程 Ox轴为极轴 再化为直角坐标方程 解 设线段的端点分别为 A B且A在Ox轴正方向上 B在Oy轴的正方向上 设点M的极坐标为 则OBMAOM 且 2 sinOAa cos2 sincossin2OAaa 点M的轨迹的极坐标方程为sin2 0 2 a 课内练习 1 将极坐标方程 2 cos216 化为直角坐标方程是 C A 2 16x B 2 16y C 22 16xy D 22 16yx 提示 222222 cos216 cossin 1616xy 2 极坐标方程cos20 表示的曲线为 D A 极点B 极轴C 一条直线D 两条相交直线 提示 cos20 cos20 4 k 为两条相交直线 3 圆5cos5 3sin 的圆心坐标是 A A 4 5 3 B 5 3 C 5 3 D 5 5 3 提示 圆的普通方程为 22 55 3 25 22 xy 圆心为 55 3 22 半径为5 55 3 cos sin 22 4 两直线 和cos a 的位置关系是 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 16 页 共 97 页 A 平行B 相交但不垂直C 垂直D 重合 提示 的直角坐标方程为tanyx cos a 化为直角坐标方程为 cossin0 xya 其斜率为cot 直线tanyx 的斜率为tan 两直线互相垂直 2 时也成立 5 设曲线的普通方程为 222 xyR 则它的极坐标方程为 R 提示 用cos sinxy 代入即得 6 直线cossin0 xy 的极坐标方程为 2 k 提示 直线的极坐标方程为cos 0 7 设 直 线 过 极 坐 标 系 中 的 点 2 2 M 且 平 行 于 极 轴 则 它 的 极 坐 标 方 程 为 sin2 提示 在相应的直角坐标系中 直线的方程为2y 8 从极点作圆2 cosa 的弦 求各弦中点的轨迹方程 解 设所求曲线上的动点M的极坐标为 圆2 cosa 上的动点的极坐标为 11 由题设可知 1 1 2 将其代入圆的方程得 cos 22 a 所求的轨迹方程为cos 22 ra 9 已知曲线的极坐标方程为 1cos ep e 求此曲线的直角坐标方程 并讨论e在不 同范围内取值时 方程表示的曲线的类型 其中e和p为正的实常数 解 方程写成coseep 将 22 xy 和cosx 代入 得 22 xyexep 即 22 xyexep 两边平方 得 2222222 2xye xe pxe p 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 17 页 共 97 页 整理得 222222 1 20exype xe p 由上述方程可知 当1e 时 方程表示双曲线 当1e 时 方程表示抛物线 当01e 则它表示的曲线是 D A 圆心在点 0 a直径为a的圆B 圆心在点 0 a直径为a的圆 C 圆心在点 0 a直径为2a的圆D 圆心在点 0 a直径为2a的圆 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 18 页 共 97 页 提示 曲线的直角坐标方程为 22 20 xyay 即 222 xyaa 3 在极坐标系中与圆4sin 相切的一条直线的方程为 A A cos2 B sin2 C 4sin 3 D 4sin 3 提示 4sin 的普通方程为 22 2 4xy cos2 的普通方程为2x 圆 22 2 4xy 与直线2x 显然相切 4 设曲线的极坐标方程为4cos 则它的直角方程为 22 40 xyx 提示 4cos 与 2 4cos 等价 5 设 直 线 过 极 坐 标 系 中 的 点 2 0 M 且 垂 直 于 极 轴 则 它 的 极 坐 标 方 程 为 cos2 6 过抛物线 2 4yx 的焦点F作倾斜角为 的直线 交抛物线于 A B两点 求 11 FAFB 的值 解 抛物线 2 4yx 中 2p 在以抛物线的焦点F为极点 Ox轴为极轴的极坐标系中 抛物线的极坐标方程为 2 1 cos 设A点的极坐标为 则点B的极坐标为 则 111 cos1 cos 1 22FAFB 11 FAFB 的值为1 7 一颗慧星的轨道是抛物线 太阳位于这条抛物线的焦点上 已知这慧星距太阳 8 1 6 10 千米时 极半径和轨道的轴成 3 角 求这颗慧星轨道的极坐标方程 并且求它的近日点离太阳的距离 解 以太阳的位置为极点 轨道的轴为极轴 建立极坐标系 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 19 页 共 97 页 设轨道的极坐标方程为 1 cos p 因为 3 时 8 1 6 10 8 1 6 102 1 cos 3 p p 7 8 10p 轨道的极坐标方程为 7 8 10 1 cos 当 时 7 4 10 这颗慧星轨道的极坐标方程为 7 8 10 1 cos 它的近日点离太阳的距离为 7 4 10 千 米 8 从极点O引一条直线和圆 222 2cos0aar 相交于一点Q 点P分线段 OQ 成比 m n 求点Q在圆上移动时 点P的轨迹方程 并指出它表示什么曲线 解 设点 P Q的极坐标分别为 和 11 由题设知 1 1 mn m 将其代入圆的方程 得 222 2 cos0 mnmn aar mm 整理得 22222 2 cos 0mnam mnm ar 点P的轨迹方程为 22222 2 cos 0mnam mnm ar 它表示一个 圆 参数方程参数方程 知识网络 1 参数方程的概念 2 曲线的参数方程与普通方程的互化 3 利用曲线的参数方程解决有关问题 典型例题 例 1 1 3 将 参 数 方 程 2 2 2sin sin x y 为 参 数 化 为 普 通 方 程 为 C A 2yx B 2yx C 2 23 yxx D 2 01 yxy 提示 将 2 siny 代入 2 2sinx 即可 但是 2 0sin1 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 20 页 共 97 页 2 参数方程为 1 2 xt tt y 为参数 表示的曲线是 D A 一条直线B 两条直线C 一条射线D 两条射线 提示 2y 表示一条平行于x轴的直线 而2 2xx 或 所以表示两条射线 3 直线 1 1 2 3 3 3 2 xt t yt 为参数 和圆 22 16xy 交于 A B两点 则AB的中 点坐 标为 D A 3 3 B 3 3 C 3 3 D 3 3 提示 22 13 1 3 3 16 22 tt 得 2 880tt 12 12 8 4 2 tt tt 中点为 1 14 3 2 33 3 34 2 x x y y 4 直线 34 45 xt t yt 为参数 的斜率为 5 4 提示 455 344 yt k xt 5 抛物线 2 4 14 xt yt t为参数 在x轴上截得的弦长为 提示 令0y 得 1 2 t 当 1 2 t 时 2x 当 1 2 t 时 2x 抛物线与x轴交于点 2 0 2 0 例 2 分别在下列两种情况下 把参数方程 1 cos 2 1 sin 2 tt tt xee yee 化为普通方程 1 为参数 t为常数 2 t为参数 为常数 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 21 页 共 97 页 解 1 当0t 时 0 cosyx 即 1 0 xy 且 当0t 时 cos sin 11 22 tttt xy eeee 而 22 sincos1 即 22 22 1 11 44 tttt xy eeee 2 当 kkZ 时 0y 1 2 tt xee 即 1 0 xy 且 当 2 kkZ 时 0 x 1 2 tt yee 即0 x 当 2 k kZ 时 得 2 cos 2 sin tt tt x ee y ee 即 22 2 cossin 22 2 cossin t t xy e xy e 得 2222 22 cossincossin tt xyxy ee 即 22 22 1 cossin xy 例 3 求经过点 000 Mxy倾斜角为 的直线l的参数方程 解 设点 M x y为直线l上的任意一点 过点M作y轴的平行线 过点 0 M作x轴的平行 线 两直线相交于点Q 规定直线l向上的方向为正方向 当 0 M M与l同方向或 0 M M重合时 因 00 M MM M 由三角函数定义 有 000 cos sinM QM MQMM M 当 0 M M与l反方向时 00 M M M Q QM同时改变符号 上式依然成立 设 0 M Mt 取t为参数 000 M Qxx QMyy 00 cos sinxxtyyt 即 00 cos sinxxtyyt 直线l的参数方程为 0 0 cos sin xxt yyt 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 22 页 共 97 页 例 4 已知点 P x y是圆 22 2xyy 上的动点 1 求2xy 的取值范围 2 若0 xya 恒成立 求实数a的取值范围 解 1 设圆的参数方程为 cos 1 sin x y 22cossin15sin 1xy 515sin 151 51251xy 即2xy 的取值范围为 51 51 2 cossin10 xyaa cossin 12sin 121 4 a 实数a的取值范围为 21 课内练习 1 与参数方程为 2 1 xt t yt 为参数 等价的普通方程为 D A 2 1 4 y 2 xB 2 1 01 4 y x 2 x C 2 1 02 4 y y 2 xD 2 1 01 02 4 y xy 2 x 提示 22 222 11 1 44 yy xttxx 而0 011 tt 得02y 2 若曲线C的参数方程为 2 1cos2 sin x y 为参数 则曲线C上的点的轨迹是 D A 直线220 xy B 以 2 0 为端点的射线 C 圆 22 1 1xy D 以 2 0 和 0 1 为端点的线段 提示 将曲线的参数方程化为普通方程得220 02 01 xyxy 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 23 页 共 97 页 3 曲线 25 12 xt t yt 为参数 与坐标轴的交点是 B A 21 0 0 52 B 11 0 0 52 C 0 4 8 0 D 5 0 8 0 9 提示 令0 x 得 2 5 t 此时 1 12 5 yt 曲线与y轴的交点为 1 0 5 令0y 得 1 2 t 此时 1 25 2 xt 曲线与x轴的交点为 1 0 2 4 直线 2 1 xt t yt 为参数 被圆 22 3 1 25xy 所截得的弦长为 C A 98B 1 40 4 C 82D 934 3 提示 2 22 2 2 1 2 12 2 xt xt yt yt 把直线 2 1 xt yt 代入 22 3 1 25xy 得 222 5 2 25 720tttt 2 12121 2 441ttttt t 弦长为 12 282tt 5 直线 3 14 xat t yt 为参数 恒过定点 3 1 提示 将参数方程化为乭方程得4 3 1 0 xa y 当3x 且1y 时 此方程 对于任何a都成立 所以直线恒过定点 3 1 6 直线 1 2 2 1 1 2 xt t yt 为参数 被圆 22 4xy 截得的弦长为 14 提示 直线为10 xy 圆心到直线的距离 12 22 d 弦长的一半为 22 214 2 22 得弦长为14 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 24 页 共 97 页 7 已知曲线 2 2 2 xpt t ypt 为参数 p为正常数 上的两点 M N对应的参数分别为 1 t和 2 t 且 12 0tt 那么MN 1 4 p t 提示 参数方程 2 2 2 xpt ypt 表示的曲线为抛物线 2 2ypx 线段MN垂直于抛物线的 对称轴 121 2 2 2 MNp ttpt 8 选取适当参数 把直线方程23yx 化为参数方程 解 选tx 则23yt 由此得直线的参数方程为 23 xt yt 也可选1tx 则21yt 由此得直线的参数方程为 1 21 xt yt 可见 曲线的参数方程随参数选取的不同而不同 同一条曲线可以有多种不同形式的参 数方程 9 已知弹道曲线的参数方程为 0 2 0 cos 1 sin 2 xv t yv tgt 1 求发射角 3 时 弹道曲线的普通方程和射程 2 设 0 v是定值 可以变动 求证 当 4 时射程最大 解 1 发射角 3 时 弹道曲线的参数方程为 0 2 0 1 2 31 22 xv t yv tgt 由 0 1 2 xv t 得 0 2x t v 代入 2 0 31 22 yv tgt 并化简 得 2 2 0 2 3 g yxx v 令0y 得 2 0 3 2 v x g 或0 x 可知射程为 2 0 3 2 v g 弹道曲线的普通方程为 2 2 0 2 3 g yxx v 射程为 2 0 3 2 v g 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 25 页 共 97 页 2 证明 由弹道曲线的参数方程 0 2 0 cos 1 sin 2 xv t yv tgt 消去t 得到它的普通方程为 2 22 0 1 tan 2cos x yxg v 由 1 知 射程为 2 0 sin2v g 0 2 02 当 4 时射程最大 为 2 0 v g 10 在椭圆 22 1 1612 xy 上找一点 使这一点到直线2120 xy 的距离的最小值 解 设椭圆的参数方程为 4cos 2 3sin x y 4cos4 3sin12 5 d 4 54 5 cos3sin32cos 3 553 当cos 1 3 即 5 3 时 min 4 5 5 d 此时所求点为 2 3 作业本作业本 1 把方程1xy 化为以t参数的参数方程是 D A 1 2 1 2 xt yt B sin 1 sin xt y t C cos 1 cos xt y t D tan 1 tan xt y t 提示 1xy x可取一切非零实数 而 A B C 中的x都取不到一切非零实数 2 直线 3490 xy 与圆 2cos 2sin x y 其中 为参数 的位置关系是 D A 相切B 相离C 直线过圆心D 相交但直线不过圆心 提示 圆的普通方程为 22 4xy 圆心 0 0 O到直线3490 xy 的距离为 9 5 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 26 页 共 97 页 9 02 5 3 椭圆 42cos 1 5sin x y 为参数 的焦距为 B A 21B 221C 29D 229 提示 椭圆的普通方程为 22 4 1 1 425 xy 椭圆可通过平移将其方程化为 22 1 425 xy 5 21ac 4 直线l的参数方程为 xat t ybt 为参数 l上的点 1 P对应的参数是 1 t 则点 1 P与 P a b 之间的距离是 1 2 t 提示 222 11111 22 PPatabtbtt 距离为 22 111 2ttt 5 直线 cos sin xt yt 与圆 42cos 2sin x y 相切 则 6 或 5 6 提示 直线为tan0 xy 圆为 22 4 4xy 圆心为 4 0 由 2 sin 4 4tan cos 4sin 2 1 1tan cos 1 sin 2 或 1 sin 2 6 或 5 6 6 动点M作等速直线运动 它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12 运动开始时 点M位于 1 1 A 求点M的轨迹的参数方程 解 设动点运动的时间为t 点M的坐标为 x y 由题设知 1 9 1 12 0 xt yt t 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 27 页 共 97 页 点M的轨迹的参数方程为 1 9 1 12 xt yt 0t 7 设直线的参数方程为 1 1 xt yt 求直线被圆 22 4xy 截得的弦长 解 把直线的参数方程代入圆的方程 得 22 1 1 4tt 得 2 1t 1t 或1t 分别代入直线方程 得 12 12 02 20 xx yy 直线与圆的交点为 0 2 A和 2 0 B 2 2AB 即直线被圆所截得的弦长为2 2 8 设直线 38720lxy 椭圆 22 1 10025 xy C 求椭圆C到直线l的最小距离 即椭 圆 上任意一点M到直线l的距离的最小值 解 把椭圆方程化为参数方程 10cos 5sin x y 为参数 则椭圆上任意一点 M x y为 10cos 5cos 它到直线l的距离为 22 30cos40sin72 50sin 72 73 38 d 2222 73 7373 d 椭圆C到直线l的最小距离为 22 73 73 坐标系与坐标变换坐标系与坐标变换 知识网络 1 几种常用的坐标系 直角坐标系 极坐标系 球坐标系 柱坐标系及其相互转化 2 平面坐标系中几种常见变换 平移变换 伸缩变换 典型例题 例 1 1 点M的直角坐标是 1 3 则点M的极坐标为 C A 2 3 B 2 3 C 2 2 3 D 2 2 3 kkZ 提示 2 2 2 3 kkZ 都是点M的极坐标 2 在极坐标系中有下列各点 ABCD E 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 28 页 共 97 页 F 其中0 给出下列结论 C D两点关于极轴所在的直线对称 A E两 点关于过原点且垂直于极轴的直线对称 C E两点重合 B D两点关于极点对称 A F两点重合 其中正确的结论是 A A B C D 提示 在极坐标系中作出上述各点即可 3 伸缩变换的坐标表达式为 4 Xx Yy 曲线C在此变换下变为椭圆 2 2 1 16 Y X 则曲线C 的方程为 A A 22 1xy B 22 4xy C 22 16xy D 2 2 1 4 y x 提示 直接将 4 Xx Yy 代入的方程 4 已知空间点A的球坐标为 5 2 44 则A点的空间直角坐标为 1 1 2 提示 设一点的球坐标为 r 直角坐标为 x y z 则sincos sinsin cosxryrzr 5 在极坐标系中 若点 A B的坐标分别为 3 4 36 则 AB AOB S 其中O是极点 5 6 提示 2 AOB AOB 为直角三角形 例 2 设平面上伸缩变换的坐标表达式为 3 2 Xx Yy 求圆 22 16xy 在此伸缩变换下的方 程 并指出变换后的方程表示什么曲线 解 由 3 2 Xx