怎样证明两线段相等与两角相等.doc

怎样证明两线段相等与两角相等【重点解读】证明两线段相等或两角相等是中考命题中常见的一种题型，主要考查学生的分析问题能力、逻辑思维能力与推理能力，其综合证明难度有所降低，但增加了探索的思维过程. 解决此类问题的关键是：正确运用所学几何概念、公理、定理、性质、判定，正确添加辅助线，进行几何证明的叙述. 怎样证明两线段相等证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有： 三角形两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；证明三角形全等：全等三角形的对应边相等，全等形包括平移型、旋转型、翻折型；等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边； 证特殊四边形平行四边形的对边相等、对角线互相平分；矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等；等腰梯形两腰相等，两条对角线相等； 圆同圆或等圆的半径相等；圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等；从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等； 等量代换：若a=b，b=c，则a=c；等式性质：若a=b，则ac=bc；若，则a=b.此外，也有通过计算证明两线段相等，有些条件下可以利用面积法、相似线段成比例的性质等证明线段相等. 怎样证明两角相等证明两角相等的方法和涉及的定理、性质有： 同角（或等角）的余角、补角相等； 证明两直线平行，同位角、内错角相等； 到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上； 全等三角形、相似三角形的对应角相等； 同一三角形中，等边对等角，等腰三角形三线合一； 平行四边形的对角相等；等腰梯形同一底上的两个角相等； 同圆中，同弧或等弧所对的圆周角、圆心角相等； 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角； 从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角； 圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角； 通过计算证明两角相等； 等量代换，等式性质.【典题精析】例1已知：如图，分别延长菱形ABCD的边AB、AD到点E、F，使得BEDF，连结EC、FC求证：ECFC 分析一 要证明ECFC，可通过证明BCEDCF，条件为边角边证明一 菱形ABCD，BC=DC，ABC=ADC， 例1图CBE=CDF (等角的补角相等)又BEDF，BCEDCF，ECFC.分析二 连结AC，证明ACEACF，条件也为边角边证明二 连结AC，菱形ABCD， AB=AD，BAC=DAC，（菱形的对角线平分一组对角） BE=DF AE=AF（等式性质），又AC=AC ACEACF，ECFC.通过证三角形全等来证明两线段（或两角）相等是常用的方法，关键是根据已知条件及图形找到对应的三角形和满足全等的条件，图形有的翻折全等，有的旋转全等，有的平移全等，有的是三者的综合形式，该问题是翻折型全等.例2已知：AB是O的直径，C是O上一点，连接AC，过点C作直线CDAB于点D，E是AB上一点，直线CE与O交于点F，连结AF，与直线CD交于点G.求证：ACD=F；AC2=AGAF. 分析 要证明ACD=F，可通过角之间的转化，已知中AB是O的直径是关键的条件，连结BC，得ACB=90，ACD=B（直角三角形母子三角形中的对应角相等），F=B，（同弧所对的圆周角相等）.证明：连结BC，AB是O的直径，ACB=90（直径所对的圆周角为直角），即ACD+DCB=90CDAB DCB+B=90，ACD=B（同角的余角相等）F=B，ACD=F（等量代换）. 略证明线段相等或角相等时，如果没有三角形全等，我们常找与它们都相关或都有联系的线段或角作为桥梁，实现线段之间的转化或角之间的转化，从而证明它们的等量关系. 直角三角形的母子三角形中相等的角、成比例的线段要熟悉.例3已知：如图，四边形ABCD内接于O，过点A的切线与CD的延长线交于E，且ADE=BDC. 求证：ABC为等腰三角形；若AE=6，BC=12，CD=5，求AD的长.分析 条件ADE=BDC的转化：ADE=ABC，（圆的内接四边形的外角等于内对角）BDC =BAC（同弧所对的圆周角相等），可得ABC=BAC，ABC为等腰三角形.证明：四边形ABCD内接于O，ADE=ABC， BDC =BAC，又ADE=BDC ABC=BAC CA=CB（等角对等边）即ABC为等腰三角形 . 例4已知：如图，正ABC的边长为a, D为AC边上的一个动点，延长AB至E使BE=CD，连结DE，交BC于点P. 求证：DP=PE； 若D为AC的中点，求BP的长.（略） 分析 要证明DP=PE，DP、PE不在同一三角形中， 考虑证三角形全等，但两线段居于的三角形不全等， 故考虑添加辅助线平行线，构筑全等的三角形. 证明：过点D作DFAB，交BC于F ABC为正三角形 CDF=A=60CDF为正三角形，DF=CD又BE=CD，BE=DF 又DFAB， PEB=PDF在DFP和EBP中，有：PEB=PDF，BPE=FPD，BE=FDDFPEBP，DP=PE. 添加辅助线是几何证明和计算中常用的方法，通常有作平行线、作垂线、连结两点、延长线段相交等，正确添加辅助线是解决问题的关键. 该问题中添加平行线有多种方法，可以自所证线段的各分点处作平行线，如：过点D作DFBC，过点E作EFAC等. 思考：若将条件正ABC改为等腰ABC，AB=AC，结论DP=PE是否仍成立？若将条件正ABC改为等腰ABC，CA=CB，结论DP=PE是否仍成立？例5已知：ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DGCE，G是垂足， 求证：G是CE的中点；B=2BCE. 分析：已知中多垂直和中线条件，可联想直角三角形斜边上的中线性质；要证明G是CE的中点，结合已知条件DGCE，符合等腰三角形三线合一中的两个条件，故连结DE，证明DCE是等腰三角形，由DGCE，可得G是CE的中点.由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，BE=DE，B转化为EDB.证明：连结DE，ADB=90，E是AB的中点，DE=AE=BE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），又DC=BE，DC=DE，又DGCE，G是CE中点（等腰三角形底边上的高平分底边）.DE=DC，DCE=DEC（等边对等角），EDB=DEC+DCE=2BCE（三角形的外角等于两不相邻内角的和），又DE=BE，B=EDB，B=2BCE直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，其特殊性质有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰三角形三线合一的性质通常有以下变形形式：已知等腰和高、已知顶角平分线和高、已知等腰和底边中线. 特殊三角形与线段和角的相等、线段和角的倍半关系有着密切关系.例6如图，O的内接ABC的外角ACE的平分线交O于点D，DFAC，垂足为F，DEBC，垂足为E，给出下列4个结论：CE=CF；ACB=EDF；DE是O的切线；=；其中一定成立的是（ ）A. B. C. D . 分析 可证得CDFCDE，得CE=CF成立；ACB和EDF（无直接关系，找相关的角）：ACB与ACE邻角互补，EDF也和ACE互补(四边形的内角和360)，同角的补角相等，即ACB=EDF；所对的圆周角为DCA，所对的圆周角为DAB，DAB=DCE（四边形的外角等于不相邻的内角），又DCA=DCE ，DCA=DCE，=，故选D. 一般的，证明线段相等或角相等，可根据条件寻找三角形，证三角形全等；无三角形全等时，可找与之相关连的线段或角，探索等量关系；证明弧相等，可以转化为证明弧所对的圆周角或圆心角相等，即转化为证明角相等的问题. 【智能巧练】 如图，ABC中，B的平分线与ACB的外角平分线相交于点D，则D与A的比是_ 如图，ABC是直角三角形，BC是斜边，将ABP绕点A逆时针旋转后，能与ACP重合. 如果AP=3，那么PP的长为_. 如图，B、C的平分线交于点P，过点P作EFBC，交AB于E，交AC于F，则( )A. EF=EB+FC B. EFEB+FC C. EFAC C. 2AB2CD C. AB2CD D. 不能确定 如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CA延长线上的点，F是AC延长线上的点，且AE=CF求证：E=F；BE=DF 如图，ABC中，高BD、CE交于点F，且CG=AB，BF=AC，连接AF， 求证：AGAF 第4题 第5题 第6题 RtABC中，A=90，AB=AC，D为BC上任意一点，DFAB，DEAC，垂足分别为F、E，M为BC中点，试判断MEF是什么形状的三角形，并说明之. 如图，AB是O的直径，DC切O于C，ADDC，垂足为D，CEAB，垂足E 求证：CD=CE. 已知：如图，AD是ABC外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D. 延长DA交ABC的外接圆于点F. 求证：FB=FC；若，求FB的长.BCDEAF 第7题 第8题 梯形ABCD中AB/CD，对角线AC、BD垂直相交于H，M是AD上的点，MH所在直线交BC于N. 在以上前提下，试将下列设定中的两个作为题设，另一个作为结论组成一个正确的命题，并证明这个命题. AD=BC MNBC AM=DM【探索创新】 探求：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和，并证明：距离之和是一个定值已知：如图，AB=AC，P为BC上任意一点，PEAB于E，PFAC于F， 探求证明：PEPF为定值.分析 探索定值由P在BC上任意性知，当P移动到顶点C时，PE即为C到AB的距离，PF为0，此时PE+PF等于C到AB的距离. 故作高CD，猜想PE+PF等于一腰上的高. 证明定值截长或补短法过点P作PGCD于G，易证得矩形DEPG，得PE=DG；同时易证CPGPCF，得PF=CG，PE+PF=DG+CG=CD.面积法 题中有多个与高有关垂直关系，又AB=AC，联想面积法连结AP，ABCD，ABPE，ACPF=+，即ABCD= ABPE+ ACPF又AB=ACPEPF= CD.运用动点移动的方法构造特殊的图形位置，是探索定值问题常用的行之有效的方法求证：等腰三角形底边延长线上的任意一点到两腰的距离之差是定值求证：等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值【答案点击】12 ； A B C； 证明ABECDF，或连结ED、FB，证明平行四边形EBFD； 证明CAGBFA，G=BAF，G+GAE=90，BAF+GAE=90，AGAF； MEF是等腰Rt，连结AM，证AMEBMF 连结AC，由DC切O于C，得OCDC，ADDC，AD/OC，可证得AC是DAB的角平分线，得CD=CE DAC=FBC，EAD=FAB=FCB，DAC =EAD，FBC=FCB 证明FBAFDB，得FB=6 题设 结论 证明略 怎样证明关于线段的几何等式【重点解读】线段的几何等式，主要涉及线段的倍分关系式、和差关系式、比例式、等积式等.证明线段倍分关系的定理和方法有：三角形和梯形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、特殊四边形的性质等；探索、证明线段的倍分关系式，一般转化为证明线段的相等关系，采用的方法通常有折半法、加倍法、比例法. 证明线段的和差关系式，一般思路将线段加长或截短，转化为证明线段相等，利用等量代换或等式性质. 证明线段比例式的一般思路是：把比例式中涉及的四条线段放入两个三角形，如果这两个三角形相似，且所给线段是对应线段，则问题得证；如果找不到两个三角形，或者找到的三角形不相似，可考虑将四条线段中的某些线段进行等量代换，再按上述方法探求证明；如果明显没有等量线段可替换，可找中间比. 证明线段等积式的一般思路：先看等积式是否满足有关定理（射影定理、圆幂定理），如果满足，则结论成立；如果不满足，可把等积式化成比例式、或替换部分后化成比例式，再按比例式的证明方法证明. 证明过程中常用的定理和性质有：比例性质、相似三角形的判定和性质、射影定理、圆幂定理、平行线分线段成比例定理. 【典题精析】例1已知：E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连结AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连结OF，求证：AB=2OF. 分分析 题中平行四边形条件可利用平行四边形的性质， 且中点条件居多，可考虑用中位线证明：连结BE，四边形ABCD为平行四边形，ABCD，AO=CO，CE=DC ABCE，四边形ABEC为平行四边形，BF=FC，OFAB， AB=2OF线段之间的倍分关系式，常联想用中位线定理.例2已知：ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是过A的一条直线，BDAE于D，CEAE于E， 求证：若B、C两点分别在AE的异侧，BD=DE+CE；若B、C两点分别在AE的同侧，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何，证明你的猜想. 分析 一条线段等于两线段之和，这里可找到与BD相等的线段AE，易证得BADACE，同时AD=CE，故BD=AE=AD+DE= CE + DE（等量代换），问题得证. 同理，易证得BADACE，故BD+CE=AE+AD=DE.证明：略例3如图，ABC內接于圆，D是弧BC的中点，AD交BC于E，求证：分析 要证明这四条线段成比例，可放入两三角形ABD、AEC，证三角形相似，条件有两个：D=C，BAD=CAD（等弧所对的圆周角相等）证明：D是弧BC的中点，BAD=CADD=C，ABDAEC 例4已知：如图，等腰ABC的顶角为锐角，以腰AB为直径的圆交BC于D，交AC于E，DFAC，垂足为F 求证： 分析一把线段放入两个三角形中，证两三角形相似证明一 连接AD、DE，AB为直径，ADC=ADB=90，在DEF和ADF中，AFD=DFE=90DEF=ABC=C，ADF=90DAC=C，DEF=ADF，DEFADF，即. 分析二 由射影定理知，转化为证明EF=FC证明二 连结AD、DE，ADC=DFC=90，C=C，ADCDFC，即. 在DEF和DCF中，DFE=DFC=90，DEF=ABC=DCF，DF=DF，DEFDCF，EF=FC，分析三 证明DF是切线，由切割线定理即得证明三 连结OD，则OB=OD，ODB=OBD=ACB，ODAC，又DFAC，ODDF，DF是O的切线， 解题时，要充分利用已知条件，已知条件中的特殊条件更要发掘其内涵，注意条件之间的内在联系的运用.例5已知：BC为圆O的直径，ADBC垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E交半圆O于点F，弦AC与BF交于点H，且A为弧BF的中点.求证：AE=BE AHBC=2ABBE.分析AE、BE在同一三角形中，易证等角对等边等积式中的四条线段分散在很多三角形中，可将它们相对集中在两三角形AFH、BCH中， AB转化为AF（等弧对等弦）；系数2的思考：RtABH中， AE=BE，反之易证BH=2BE证明：略，连结AF，可证得AFHBCH，又可证得AB=AF，AE=EH=BE，BH=2BE，AHBC=2ABBE例6如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足为H，点P是上一点（点P不与A、C两点重合），连结PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F，下列四个结论： EPC=APD 正确的有_. 分析直径AB垂直于弦CD，由圆的轴对称性得； EPC是圆的内接四边形的外角，EPC=ADCADC=APD（等弧所对的圆周角相等），EPC=APD；若成立，则DAFDPA，但两三角形显然不相似（DAFDPA ），故不成立；由圆内成比例线段知，显然成立；正确的有、. 【智能巧练】 在边长为6的菱形ABCD中，DAB=60，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为_. 已知：O为ABC内的一点，过点O作EF、GH、QP分别平行于BC、AB、CA，交AB、BC、CA于点P、E、H、Q、F、G ，则_. 选择：如图，将ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90，得ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是（ ）A. AEAF B. EFAF=1 C. D. FBFC=HBEC 第题 第题第题如图，正ABC内接于O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于E，有如下结论: PA=PB+PC PAPE=PBPC 其中正确结论的个数有( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 如图，已知与外切于点C，AB是两圆的外