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第4章 连续时间傅立叶变换The Continuous time Fourier Transform 在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信号；反过来，如果将任何非周期信号进行周期性延拓，就一定能形成一个周期信号。 我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在 T趋于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期信号的频域表示方法。 2. 时移: Time Shifting 这表明信号的时移只影响它的相频特性，其相频特性会增加一个线性相移。 则 若 3. 共轭对称性: Conjugate and Symmetry 若 则 所以 即 若 是实信号，则 于是有: 由 可得 即实部是偶函数 虚部是奇函数 若 则可得出 即：模是偶函数，相位是奇函数 若 则可得 如果 即信号是偶函数。则 表明： 实偶信号的傅立叶变换是偶函数。 表明 是实函数。 若 即信号是奇函数，同样可以得出: 所以 又因为 表明 是奇函数 表明 是虚函数 若 则有: 例: 的频谱: 1 0 1/2 0 -1/2 1/2 0 将 分解为偶部和奇部有 4.时域微分与积分: Differentiation and Integration 可将微分运算转变为代数运算 将 两边对 微分即得该性质 由时域积分特性从 也可得到: （时域积分特性） 则 若 5.时域和频域的尺度变换: Scaling 当 时，有 尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展 a 倍，则其带宽相应压缩 a 倍，反之亦然。这就从理论上证明了时域与频域的相反关系，也证明了信号的脉宽带宽积等于常数的结论。 则 若 时域中的压缩（扩展）对应频域中的扩展（压缩） 6.对偶性: Duality 若 则 证明： 也可由 得到证明。 根据 得 这就是移频特性 例如: 由 有对偶关系 利用时移特性有 再次对偶有 由对偶性可以方便地将时域的某些特性对偶到频域 由 得 所以 频域微分特性 该特性也可由对偶性从时域微分特性得出: 由 有 利用时域微分特性有 对 再次对偶得 频域微分特性 由时域积分特性，可对偶出频域积分特性 利用时域积分特性 再次对偶 由 有 频域积分特性 7. Parseval定理: 若 则 这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以在频域求得。由于 表示了信号能量在频域的分布，因而称其为“能量谱密度”函数。 4.4 卷积性质 The Convolution Property 一.卷积特性： 由于卷积特性的存在，使对LTI系统在频域进行分析成为可能。本质上，卷积特性的成立正是因为复指数信号是一切LTI系统的特征函数。 则 若 由 表明： 故有 可将 分解成复指数分量的线性组合，每个 通过LTI系统时都要受到系统与 对应的特征值的加权。这个特征值就是 所以 * * 本章的主要内容: 连续时间傅立叶变换; 傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系; 傅立叶变换的性质; 系统的频率响应及系统的频域分析； 在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号，对非周期信号应该如何进行分解，什么是非周期信号的频谱表示，线性时不变系统对非周期信号的响应如何求得，就是这一章要解决的问题。 4.0 引言 Introduction 4.1 非周期信号的表示连续时间傅立叶变换 Representation of Aperiodic Signals: The Continuous-Time Fourier Transform 一.从傅立叶级数到傅立叶变换 我们已经看到，周期性矩形脉冲，当周期 增大时，频谱的幅度随 的增大而下降；谱线间隔随 的增大而减小；但频谱的包络不变。 再次考察周期性矩形脉冲的频谱图： 当 时，周期性矩形脉冲信号将演变成为非周期的单个矩形脉冲信号。 （a） （b） a b 0 0 由于 也随 增大而减小，并最终趋于0，考查 的变化，它在 时应该是有限的。 于是，我们推断出:当 时，离散的频谱将演变为连续的频谱。 由 当 时, 如果令 则有 与周期信号傅立叶级数对比有： 这表明:周期信号的频谱就是与它相对应的非周期信号频谱的样本。 根据傅立叶级数表示： 连续时间傅立叶变换 当 时， 于是有： 傅立叶反变换 此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率 连续分布、振幅为 的复指数信号之和。 由于 具有频谱随频率分 布的物理含义，因而称 为频谱密度函数。 于是，我们得到了对非周期信号的频域描述方法 这一对关系被称为连续时间傅立叶变换对。 可见，周期信号的频谱是对应的非周期信号频谱的样本；而非周期信号的频谱是对应的周期信号频谱的包络。 既然傅立叶变换的引出是从周期信号的傅立叶级数表示出发，讨论周期趋于无穷大时的极限得来的，傅立叶变换的收敛问题就应该和傅立叶级数的收敛相一致。 二. 傅立叶变换的收敛 这表明能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。 2. Dirichlet 条件 a. 绝对可积条件 1. 若 则 存在。 也有相应的两组条件： b. 在任何有限区间内， 只有有限个极值点， 且极值有限。 c. 在任何有限区间内， 只有有限个第一类间断点。 应该指出:这些条件只是傅立叶变换存在的充分条件。 和周期信号的情况一样，当 的傅立叶变换存在时，其傅立叶变换在 的连续处收敛于信号本身，在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间断点附近会产生Gibbs 现象。 这两组条件并不等价。例如： 是平方可积的，但是并不绝对可积。 三.常用信号的傅立叶变换： 1. 0 1 0 2. 结论：实偶信号的傅立叶变换是实偶函数。此时可以用一幅图表示信号的频谱。 对此例有 1 0 3. 0 这表明 中包括了所有的频率成分，且所有频率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲激响应 才能完全描述一个LTI系统的特性， 才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。 0 1 显然，将 中的 代之以 再乘以 ，即是相应周期信号的频谱 4. 矩形脉冲: 1 0 1 0 0 0 不同脉冲宽度对频谱的影响 可见，信号在时域和频域之间有一种相反的关系。 称为理想低通滤波器 与矩形脉冲情况对比，可以发现信号在时域和频域之间存在一种对偶关系。 5. 1， 0， 1 0 0 对偶关系可表示如下: 1 0 1 0 0 0 同时可以看到，信号在时域和频域之间也有一种相反的关系。即信号在时域脉冲越窄，则其频谱主瓣越宽，反之亦然。 对例5. 我们可以想到，如果 ，则 将趋于一个冲激。 6. 若 则有 因为 所以 四. 信号的带宽 Bandwidth of Signals : 由信号的频谱可以看出：信号的主要能量总是集中于低频分量。另一方面，传输信号的系统都具有自己的频率特性。因而，工程中在传输信号时，没有必要一定要把信号的所有频率分量都有效传输，而只要保证将占据信号能量主要部分的频率分量有效传输即可。为此，需要对信号定义带宽。通常有如下定义带宽的方法: 2. 对包络是 形状的频谱，通常定义主瓣宽度 即频谱第一个零点内的范围 为信号带宽。 下降到最大值的 时对应的频率范围,此时带内信号分量占有信号总能量的1/2。 1. 以矩形脉冲为例，按带宽的定义，可以得出，脉宽乘以带宽等于常数C 脉宽带宽积 。这清楚地反映了频域和时域的相反关系。 4.2 周期信号的傅立叶变换 到此为止，我们对周期信号用傅立叶级数表示，非周期信号用傅立叶变换表示。因为数学描述方法的不一致，在某些情况下, 会给我们带来不便。但由于周期信号不满足 Dirichlet 条件，因而不能直接从定义出发，建立其傅立叶变换表示。 The Fourier Transformation of Periodic Signals 所对应的信号 考查 这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激。 于是当把周期信号表示为傅立叶级数时，因为 就有 周期信号的傅立叶变换表示 若 则 这表明：周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组成，每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处，其冲激强度正比于对应的傅立叶级数的系数 。 例1： 例2： 例3： 均匀冲激串