两个重要极限的应用探讨.doc

两个重要极限的应用探讨学生：牛玺娟 指导教师：郭媛摘 要微积分中的两个重要极限是:; ,这两个重要极限是微积分学的基础.本文阐述了两个重要极限的思想意义,讨论了关于两个重要极限的变形极限的判断方法及应用,在分析重要极限的6 个基本特征的基础上,给出了4个推广命题,指出了应用对型极限的快捷计算方法,并给出了该重要极限公式与实际应用的结合.关键词: 两个重要极限;推广;应用AbstractTwo important limits are the basis of calculus. This paper discussed the essential meaning of two important limits and proved them using different method. Finally，the paper shows the application of two important limits in limits calculation and elaborated the relation between two important limits and Hospitals Rule.Key words：Two important limits; calculus; application; 第1章 绪论极限概念是由于某些实际问题的精确解答而产生的. 两个重要极限的证明必须以极限存在准则为基础，所以有必要首先介绍函数极限存在的两个准则。准则1（夹逼准则）：如果（1）当xU（x0，r）或（xM）时，（2）或那么或存在，且等于A.准则2：单调有界数列必有极限。1.3 两个重要极限的形式通过极限存在准则的应用，得到两个重要极限。第一个重要极限的形式为： （1.1）第二个重要极限的形式为： （1.2） 第一个重要极限的数值意义实际上就是函数y=sin x在x=0处的导数，或者是正弦曲线在原点处的斜率.根据单调有界数列必有极限可知，第二个重要极限的极限存在，高等数学教材上通常用字母e表示它，其实这个极限值就是无理数e。这个极限形式很特殊，尤其是这个极限值怎么会和e联系上了。实际上，可以通过第二个重要极限的来历来说明它们之间的联系。谈起第二个重要极限的来历，要从复利率说起。假设P0为本金，年利率为r，那么第一年末的利息为P0r，本利的和就是P0+ P0r，用P1表示，即P1=P0+ P0r作为第二年的本金，到第二年末，就有本利总和P2= P0 (1+ r)2，这样一年一年继续下去，本金年年增加，利息也逐渐增多，到了第n年末，就有 （3.1）和前边的方法一样，计算出如果每月把利息加入到本金一次，第一年年末的本利的和是 （3.2）如果存款本金为100元，年利率为0.05，则用3.1式求得第一年末本金加利息为105元，若按3.2式计算，则第一年末本金加利息为105.12元。看来把利息加入到本金一次的时间越短，利息越多。那么，当这个时间“无穷短”的时候,利息会无限增多吗？假设在这一年中，利息是每一瞬间（每一年有n个瞬间）加入到本金一次，上式中的12就变成n,就得到 （3.3）为了便于计算，假设r/n=1/m,就得到n=mr，这样3.3式就变为下式 （3.4）这就归结到一个问题，就是求 的值，即第二个重要极限。其值为e，所以3.4式变为，这时n年末就有，连续化以后，就得到 （3.5）求3.5式的导数，得到 P（x）=r P（x），即导数和原函数成正比，凡是满足这个性质的，都叫复利率。例如植物的生长它新生的部分都立即和母体一样再生长。这就是大自然的复利率，自然现象是不间断的、连续的，都属于此类问题。可以通过y=ex在x=0的泰勒展开式，来近似计算这个极限值，首先计算y=ex的导数得y=ex，进而可得(ex)(n)= ex。当x=1时，可以得到当n无限增大，得到e的值，即e=2.718281828于是，就得到了第二个重要极限的值。如古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积时所用的割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。函数的极限与自变量的变化过程密切相关，其自变量x的变化过程主要有两种，一种为任意地接近于某个有限值x0，另一种是x趋于无穷大。如果在xx0的过程中，对应的函数值f（x）无限接近于确定的数值A，那么就说A是函数f（x）当xx0时的极限，记作：如果在x的过程中，对应的函数值f（x）无限接近于确定的数值A，那么就说A是函数f（x）当x时的极限，记作：函数的极限具有唯一性、局部有界性以及局部保号性。1.2 极限存在准则第2章 两个重要极限在微分学中的重要性微分学的基本概念导数是建立在极限概念基础上的。即求一个函数f(x)在点x处的导数f(x)，就是计算极限 （2.1）当这一极限存在时，其值就是f(x)。但这仅仅是停留在导数定义上的，如果求函数的导数都要计算极限2.1的话，显然是非常复杂和繁琐的，势必限制导数的广泛应用。事实上，在求函数的导数时，并不都需要计算极限2.1，而只需根据基本初等函数的求导公式及求导法则就可以很方便地求得任何一个初等函数的导数。下面来看一看基本求导公式是如何得来的。2.1 重要极限在三角函数求导过程中的作用以正弦函数sin x的求导公式的推导为例.由导数的定义 其中应用了第一个重要极限，即（令）。求得(sin x)=后，其余的三角函数和反三角函数的导数公式就可以利用多个求导法则得到了。2.2 重要极限在指数函数和幂函数求导过程中的作用其次，再看看对数函数logx的求导公式的推导过程。由导数定义其中应用了第二个重要极限，即（令）。求得了以后，指数函数和幂函数的求导公式就容易得出了。可见，两个重要极限在导出基本初等函数的求导公式的过程中，特别是涉及三角函数的过程中起到了关键性的作用，没有这两个重要极限，两类函数的求导公式就不可能得出，两个重要极限在初等函数求导过程中起到了重要的纽带作用。因为推到正弦函数和指数函数的导数公式的过程中要用到这两个极限，而所有的初等函数都可以从这两类函数以及它们的反函数出发，经过有限的四则运算复合得到。因此，从这两类函数的导数出发，利用函数的四则运算、复合和反函数求导法则，就能求得全部初等函数的导数。再由于积分是微分的逆运算，可以得到基本积分表，依靠他们能算出大量初等函数的积分。可以说，两个重要极限可以说是全部微分积分学的基础。第4章 关于两个重要极限的变形极限的判断方法微积分中的两个重要极限是:; .在实际运用中常遇到的是形如及的极限.经过前人长期的教学实践，总结出了以下规律,姑且称作两要原则.4.1 第一个重要极限的变形极限的判断方法可化为第一重要极限的两要素1.第一要素: 如果这个条件不满足,它一定不可化为第一重要极限,需要用别的方法解决.如:该极限由于A元不是时的无穷小量,所以它不能化为第一重要极限.2.第二要素:B元与A元是同阶无穷小量.(x时)定义: 为A与B的相近似数.下面讨论C的情况:(1)若C=，即B=(A),则即B与A是高阶无穷小量时.(2) 若C=0, 即A=(B),则即A与B是高阶无穷小量时=0.(3)若C0,即CBA则=,即A与B同阶时, 可以化为第一重要极限.方法是:B元乘以相似系数,即就是第一重要极限,结论:满足两要素的极限可以化为第一重要极限,方法是B元乘以相近系数.例1,解:A元与5x是x0时的无穷小量满足第一要素又C=50满足第二要素所以该极限可以化为第一重要极限,即原式=例2,sin()解: =满足第一要素又C=满足第二要素该极限可以化为第一重要极限,即原式=例3,求证解: 满足第一要素又C=满足第二要素该极限可以化为第一重要极限原式=4.2 第二个重要极限的变形极限的判断方法可化为第二重要极限的两要素1.第一要素:A=0且B=0(而B0)如果这个条件不满足,它一定不可化为第二重要极限,需要用别的办法解决.如:该极限由于B元不是x时的无穷小量,所以它不能化为第二重要极限.2.第二要素:B元与A元是同阶无穷小量(x时)与第一重要极限有类似的相近系数:C=.下面讨论C的情况:(1) 若C=+,即B=,则1, 若C=-,则0即B是A的高阶无穷小量时,= (2) 若C=0,即A=,则1即A是B的高阶无穷小量时, =1(3) 若C0,即CBA,则=即B与A同阶时, 可化为第二重要极限.方法是:B元乘以相近系数,即就是第二重要极限.结论:满足以上两要素的极限可以化为第二重要极限,方法是B元乘以相近系数.例1,求解: 满足第一要素又C= 满足第二要素该极限可以化为第二重要极限原式=例2,求解: 满足第一要素又C=满足第二要素该极限可以化为第二重要极限原式=例3求证解:原式= 满足第一要素又C= =满足第二要素该极限可以化为第二重要极限原式=结束语:利用以上总结的方法,在满足第一要素的前提下,若相近系数C0,则A与B是同阶无穷小量,在B元上乘以相近系数C,就会使化为第一重要极限,使化为第二重要极限.第5章 两个重要极限的推广、应用及快捷计算方法研究极限概念在高等数学中占有重要的地位,导数、定积分等许多高等数学中的重要概念都是建立在极限的基础上,其中重要极限公式无论在极限内容教学还是在实际应用中都占有比较重要的地位.在分析重要极限的6 个基本特征的基础上,给出了4个推广命题,指出了型极限的快捷计算方法,给出了该极限公式在金融领域的简单应用.5.1重要极限公式的本质特征在各种高等数学教材中,我们一般都能见到如下三个极限公式 通过观察,我们可以发现尽管这三个公式表现形式不同,所用字母和变量不同,但是它们却都有如下特征:(1) 括号内的函数(数列)式子都具有“1+0”的形式;(2) 加数部分趋于0,指数部分趋于;(3) 指数与加数互为倒数;(4) 极限式子只与形式有关,与用什么变量表示无关;(5) 极限式子括号内部分的极限值为1,指数部分的极限值为,属于类型;(6) 极限式子中的变量无论在实数域还是在整数域内变化都不影响结果.5.2重要极限公式的推广我们知道极限或是高数中一个很重要的极限,利用它可以求出其他许多函数的极限,并且无论在数学分析或它的应用上,数e这个无理数起着重要作用.下面来谈一种计算并不复杂而教科书中又没有的一种方法用重要极限的推广求函数在变化过程中成型的极限5.2.1重要极限的推广如果,则有=证明 因为= 所以= 又因为 所以即当时,故有 所以 =有了这一推广,就可将求转化为求,这是一个“”型的极限,只要将其化为“”型或“”用适当的方法即可求出.通过上述对重要极限公式的分析和本质特征的把握,我们可以推出以下几个命题.命题1 设u(x)=0(u(x),以下无穷小量均指非0情形,不再一一注明),则有(这里没有写变量的变化趋势是指对变量的任何变化趋势,结论都成立.其中u(x)可以表示任何函数或变量或式子.下同.)命题2 设u(x)=则有 命题3 设u(x)与v(x)是同一极限过程下的等价无穷小量,则在此极限过程下有 .证明:由于u(x)与v(x)是同一极限过程下的等价无穷小量,即且利用命题1并对极限式子中函数作恒等变形可得: =.该命题的证明利用了在时,与是等价无穷小量的推广公式,即在某一极限过程下,若则与是等价无穷小量,以及等价无穷小量在作商时可以相互替换的结论.例1求极限解:应用命题2,对原极限式子进行恒等变形可得 例2 求极限解:由于时,与是等价无穷小量.这里,应用命题3可得5.2.2举例例1 求极限解: =例2 求极限解: 原式=5.3 型极限的快速求解 命题3中要求与是同一极限过程下的等价无穷小量,这一要求条件相对较强,在实际解题过程中具有局限性,在更一般的情况下,对命题3作进一步推广,可以得到以下的命题:命题4 设在同一极限过程下u(x)=0，g(x)=且存在,则证明:由于在同一极限过程下存在,且是等价无穷小量,故=同理可证=利用命题4求型的极限非常方便,如果能熟记常用的一些等价无穷小量,则通过少量的计算,甚至不用计算就可以看出型极限的结果,比如在例1中.我们直接能够看出故直接应用命题4就可以直接看出极限结果为,在例2中,若知道时,是等价无穷小量,即应用命题4就可以直接看出极限结果为e,同理也一定能够看出的结果为.下面通过实例进一步介绍命题4的应用.例3求极限解:该题属于,题目可以恒等变形为,这里,由洛比达法则容易计算出故应用命题4的结论可得=.例4 解:因为在时,所以故由命题4可知例5求极限,其中0,n为正整数.解:与命题4的结论相比较,这里=,在时,且=.故由命题4可知原题的结果为=5.4重要极限公式在实际生活中的简单应用现实世界中的许多生长与消亡同时并存的事物,例如存款复利计算,人口增长,细胞繁殖,放射性衰变,物体冷却,林木材积等,下面以实际生活中关于金融方面连续复利和的计算为例作一简要说明,设有一笔存款.,本金为,年利率为r, ,k年后的本利和为,若一年分n次计息, 年利率仍为r,则每期利率为, 于是一年后的本利和为,年后的本利和为.若计息期数,则上述公式就成为连续复利和公式,年后的连续复利和为=.从上述计算公式可以看出, 年后计算所得的本利和越大但以为上限用此公式就可以对长期存款的连续复利和作出近似的估计.第6章两个重要极限的应用两个重要极限在整个极限计算和导数公式推导过程中占有重要地位，它能迅速简化复杂的极限运算，使我们深刻理解并记住导数公式，因此我们说两个重要极限在数学学习中是很“重要”的。两个重要极限的应用要灵活，下面我们主要探讨两个重要极限在计算极限中的应用，并讨论两个重要极限和洛必达法则的关系，以对其灵活运用。6.1 两个重要极限在计算极限中的应用6.1.1 利用两个重要极限求极限两个重要极限在数学中的重要性不仅体现在其在数学理论证明中的纽带作用，更表现在其在解决实际问题中的简便与可靠。下面选择几个典型例题，利用两个重要极限进行极限的计算，说明两个重要极限的运用方法步骤，加深对两个重要极限的认识。例1 求解: （运用第一个重要极限）例2 求解： （运用第二个重要极限）例3 求解：当x时,sin3x0,tan5x0.这显然是含三角函数的0/0型未定式,但由于 x,所以不能直接应用第一个重要极限,可先作代换,令u=x-,则x=u+,当x时, u0.于是得。 （运用第一个重要极限）例4 求解：这是1型的未定式，可运用第二个重要极限求解。 （运用第二个重要极限）6.