特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项.doc

特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项1、 （一阶线性递推式）设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即. 证明：因为由特征方程得作换元则当时，数列是以为公比的等比数列，故当时，为0数列，故（证毕） 例1已知数列满足：求解：作方程 当时，数列是以为公比的等比数列. 于是： 例2已知数列满足递推关系：其中为虚数单位。当取何值时，数列是常数数列？解：作方程则要使为常数，即则必须2、 （二阶线性递推式） 定理2：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。 例3：已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数、迭加法）由，得，且。则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是：。把代入，得：， ， ，。把以上各式相加，得：。解法二（特征根法）：数列：， 的特征方程是：。, 。又由，于是：故3、 (分式递推式) 定理3：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若则若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在；（2）当特征方程有两个相异的根、时，则，其中例3、已知数列满足性质：对于且求的通项公式.解:依定理作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有： 即例5已知数列满足：对于都有（1）若求 （2）若求 （ 3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？解：作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.(1)对于都有(2) 令，得.故数列从第5项开始都不存在，当4，时，.(3)令则对于(4)、显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且2.当（其中且N2）时，数列从第项开始便不存在.于是知：当在集合或且2上取值时，无穷数列都不存在.定理3证明：(分式递推问题)：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若则若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在.（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中证明：先证明定理的第（1）部分.作交换，则 是特征方程的根，将该式代入式得 将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根于是 当，即=时，由式得故当即时，由、两式可得此时可对式作如下变化： 由是方程的两个相同的根可以求得 将此式代入式得 令则故数列是以为公差的等差数列.其中当时，当存在使时，无意义.故此时，无穷数列是不存在的.再证明定理的第（2）部分如下：特征方程有两个相异的根、，其中必有一个特征根不等于，不妨令于是可作变换故，将代入再整理得 由第（1）部分的证明过程知不是特征方程的根，故故所以由式可得： 特征方程有两个相异根、方程有两个相异根、，而方程与方程又是同解方程.将上两式代入式得当即时，数列是等比数列，公比为.此时对于都有当即时，上式也成立.由且可知所以(证毕)注:当时,会退化为常数;当时,可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径.1.已知数列满足. 其中.定义1:方程为的特征方程,该方程的根称为数列的特征根,记为.定理1:若且,则.定理2: 若且,则.例1（09江西理22）各项均为正数的数列,且对满足的正数都有.(1)当时,求通项;(2)略.例2 已知数列满足,求通项.例 3 已知数列满足，求数列的通项例4已知数列满足，求数列的通项2.已知数列满足 其中为常数,且.定义2:方程为的特征方程,该方程的根称为数