钢管切割问题建模.doc

数学建模课程论文课程设计题目： 钢管切割最优问题组员：姓名年级专业学号联系电话性别彭珍数学与信息工程系1410503349女郑芳数学与信息工程系1410503347女刘巧数学与信息工程系1410503346女6摘要本文分析了钢管切割最优问题，并建立了钢管下料切割费用最省的数学模型。如何能使自己的物品在满足顾客要求的前提下花费的总费用最少是众商家考虑的问题，本文针对现已知的案例，进行假设，问题分析，建立线性规划模型，借助lingo软件求解模型，获得对原材料钢管的最佳下料方案，使用三种模式切割原材料钢管根，使得总费用最省。模型求解后，将求出的数值代入原模型进行真实有效性检验。关键词：钢管下料、切割模式、费用最少 一问题提出与分析某钢管从钢管厂进货，然后根据顾客的要求进行切割出售。假设进货的原料钢管都是1850mm，现有一顾客需要15根290mm，28根315mm，21根350mm 和30根455mm的钢管。为了简化切割过程，如果使用的切割模式不超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多，一根原料钢管最多生产5根产品。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm。为了使得总费用最小，问应如何下料？二条件假设1忽略外界环境对钢管的加工2. 忽略原料钢管切割过程中的原料损耗；3. 忽略原料钢管切割过程因损坏而增加额外费用买进原料钢管的情况；4. 假设都符合客户要求；三符号说明：按照第种模式切割的原料钢管的根数；、：第种切割模式下每根原料钢管切割长、和的钢管数量。四问题分析对于下料问题首先要确定采用哪些切割模式。所谓切割模式，是指按照顾客要求的长度在原料钢管上安排切割的一种组合。例如，我们可以将的钢管切割成根长的钢管，余料为；或者将长的钢管切割成长根，长和的钢管各根，余料为。显然，可行的切割模式是很多的，应当明确哪些切割模式是合理的。合理的切割模式要求每种切割模式下的余料浪费不能超过。于是问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪几种合理的模式，每种模式切割多少根原料钢管最为节省。而所谓节省，可以有两种标准，一是切割后剩余的总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最少。若要求最省的下料方法则要分别对两种目标分别进行讨论。如果按照以上的办法处理，首先要通过枚举法确定哪些切割模式是合理的，并从中选出不超过种模式，但是这种方法比较复杂。我们在这采用比较普遍性的方法，同时确定切割模式和切割数量，只使用合理的切割模式，其余料不应大于。五模型分析及求解由于不同切割模式不能超过种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的增加费用，使用频率次之的模式按照一根原料钢管价值的增加费用，依次类推。为方便求解，在此假设原料钢管费用为单位，于是以总费用最小为目标，即满足客户需求的约束条件为每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的成品量不能超过，也不能少于（余料不能大于），于是最后，加上非负整数约束：， 于是，归结为在在约束条件下，求和使目标达到最小。显然这是线性整数规划模型。线性整数规划模型虽然用LINGO软件可以直接求解，但为了减少运行时间，可以增加一些显然的约束条件，从而缩小可行解的搜索范围。例如，由于种切割模式的排列顺序是无关要紧的，所以不妨增加以下约束： 又如，注意到所需原料钢管的总根数有明显的上界和下界。首先，原料钢管的根数不可能少于 （根）。其次，考虑一种非常特殊的生产计划：第一种切割模式下只生产钢管，一根原料钢管切割成根钢管，为满足根钢管的需求，需要根原料钢管；第二种切割模式下只生产钢管，一根原料钢管切割成根钢管，为满足根钢管的需求，需要根原料钢管；第三种切割模式下只生产钢管，一根原料钢管切割成根钢管，为满足根钢管的需求，需要根原料钢管;第四种切割模式下只生产钢管，一根原料钢管切割成根钢管，为满足根钢管的需求，需要根原料钢管。于是满足要求的这种生产计划共需要根原料钢管，这就得到了最优解的一个上界，所以可增加以下约束：将式构成的模型输入LINGO如下：Model:Min=1.1*x1+1.2*x2+1.3*x3+1.4*x4;r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4=15;r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4=28;r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4=21;r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4=30;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41=1850;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42=1850;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43=1850;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44=1750;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42=1750;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43=1750;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44=1750;X1=x2;X2=x3;X3=x4;X1+x2+x3+x4=19;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(r11);gin(r12);gin(r13);gin(r14);gin(r21);gin(r22);gin(r23);gin(r24);gin(r31);gin(r32);gin(r33);gin(r34);gin(r41);gin(r42);gin(r43);gin(r44);End求解得到如下结果： Local optimal solution found. Objective value: 21.50000 Extended solver steps: 732 Total solver iterations: 15492 Variable Value Reduced Cost X1 14.00000 -0.1000000 X2 4.000000 0.000000 X3 1.000000 0.1000000 X4 0.000000 0.2000000 R11 1.000000 0.000000 R12 0.000000 0.000000 R13 2.000000 0.000000 R14 1.000000 0.000000 R21 2.000000 0.000000 R22 0.000000 0.000000 R23 0.000000 0.000000 R24 0.000000 0.000000 R31 0.000000 0.000000 R32 5.000000 0.000000 R33 1.000000 0.000000 R34 3.000000 0.000000 R41 2.000000 0.000000 R42 0.000000 0.000000 R43 2.000000 0.000000 R44 1.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 21.50000 -1.000000 2 1.000000 0.000000 3 -0.9329838E-08 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 -0.9329838E-08 0.000000 6 20.00000 0.000000 7 100.0000 0.000000 8 10.00000 0.000000 9 55.00000 0.000000 10 80.00000 0.000000 11 0.000000 0.000000 12 90.00000 0.000000 13 45.00000 0.000000 14 10.00000 0.000000 15 3.000000 0.000000 16 1.000000 0.000000 17 3.000000 0.000000 18 -0.4664919E-08 -1.200000即按照模式，分别切割根，根， 根原料钢管，使用原料钢管总根数为根。第一种切割模式下一根原料钢管切割成根钢管，根钢管和根钢管；第二种切割模式下一根原料钢管切割成根钢管；第三种切割模式下一根原料钢管切割成根钢管，根钢管和根钢管。六模型检验本次生产计划根据目标函数得出需19根原料钢管下料，有多种切割模式，最优即按照模式，分别切割根，根， 根原料钢管。的钢管有：的钢管有：的钢管有：的钢管有：第一种切割模式下余料：；第二种切割模式下余料：；第三种切割模式下余料：。所以这就是最优费用的切割方案，所有的约束都满足。七评价缺点是不可能不现没有原料损失，那只是理想状态，假设的。本文的优点是既考虑了消费者，又满足了生产费用最少，实现了双赢的局面。八参