中英初中数学教材应用题水平比较.pdf

中英初中数学教材应用题水平比较 以 一元一次方程 内容为例 浙江省师范大学数理学院 321004 傅赢芳 浙江省金华市南苑中学 321017 周均华 一元一次方程 内容是我国传统数学 教材应用题设置比例较大的部分 一方面 这是与我国数学发展历史中的代数思想耦合 的 另一方面则是由于方程在现代数学中的 基础性作用 但是对于方程应用题的编制 史宁中先生指出 长期以来 我国对数学应 用习题的设计 处理太理想化了 几乎直接变 成数学符号了 1 因此 为了深入了解方程 应用题的现状及进一步的发展态势 本文尝 试以北京师范大学出版社出版的 数学 与 英国教材Practice Book为比较对象 透视其 应用水平 1 数学应用水平具体化 若将数学应用理解为 数学应用是将数 学的抽象过程与成果以及数学精神投射于现 实世界 并能切实解决现实问题的过程 那 么 按这样的界定 影响应用题的数学应用水 平的主要因素可以作如下区分 首先 应用内 容的层次性刻画其水平的第一大要素 主要 以知识点数量的多少以及语言表述为变量 其次 关于数学应用的文化性是刻画其水平 的第二大要素 涉及到数量关系的多寡以及 数学解答与实际情境之间的跨度两个因素 在 一元一次方程 内容中 知识含量因 素相对稳定 因此 对于数学应用水平可以具 体化为 水平0情境中有明确的数学关系式 只需代入数字列方程即可 例如 数学 7A 3 7 A表示 数学 七年级 上 B 则表示相应年级的下册 5 2 习 题5 4Ex2 如果用C表示摄氏温度 F 表示华氏温度 那么C与F之间的关系 是 C 5 9 F 32 已知C 15 求F 水平1 情境中只涉及一对数量关系 且关系明朗 运用方程模型直接建立简单的 方程 例如 Practice Book Y9A 5 6 例1 苹果每千 克卖55便士 Alan花了1 65英镑买了一袋 苹果 假设袋中有x千克苹果 a 写出关 于x的方程 b 解此方程 在这个问题中 只需根据关系式 苹果总 价 苹果单价 苹果重 列出方程即可 水平2 情境中涉及到两对数量关系 需要经过一次转换才能建立方程 例如 数学 7A 5 2 习题5 5 Ex2 小川今 年6岁 他的祖父72岁 几年后 小川的年龄 是他祖父年龄的 1 4 这里 转换的关键在于 若设小川若干年 后的年龄为x 则必须首先用x的表达式表 示出祖父的年龄 为72 x 6 然后才能根 据关系 小川的年龄是他祖父年龄的 1 4 列出方程式 水平3 情境中的数量关系有三对或三 对以上 需要经过两次或两次以上的转换才 能建立方程 例如 数学 7A 5 6 习题5 9 Ex1 星星果 汁店中的A种果汁比B种果汁贵1元 小彬 和同学要了3杯B种果汁 2杯A种果汁 一 共花了6元 A种果汁 B种果汁的单价分别 8中学数学杂志 初中 2006年第6期 是多少元 在上面的问题中 它涉及三对数量关系 首先 若假设A种果汁的单价是x元 那么B 种果汁的单价是 x 1 元 其次 A B 种 果汁的总价 A B 种果汁的单价 A B 种果汁的杯数 第三 还必须考虑到关系式 总价 A种果汁总价 B种果汁总价 因 此 我们将这类方程应用题界定为水平3 水平4 情境中的数量关系三个或三个 以上 但关系不明显 例如 数学 7A 5 7 导入部分 小明每天早 上要在7 50之前赶到距家1000米的学校上 学 一天 小明以80米 分的速度出发 5分 钟后 小明的爸爸发现他忘了带语文书 于 是 爸爸立即以180米 分的速度去追小明 并在途中追上了他 1 爸爸追上小明用了 多少时间 2 追上小明 距离学校还有多 远 在该问题中的数学量这间的关系不及上 面四个问题明确 学生必须在充分理解的基 础上 才能挖掘出这一信息 当爸爸追上小明 时 两人所行距离相等 同时 要明确假设爸 爸所用时间为x分 则小明所行时间为 5 x 分 然后根据路程与时间及速度的关系式 列出方程 因此 从数量关系的角度 该应用 题较之于水平3 增加了探究的难度 2 一元一次方程 应用题比较 根据上述5个水平 对 数学 和Practice Book中 一元一次方程 应用题的应用水平 作一比较 具体见表1 211 应用水平 由表1可见 在这一知识领域 数学 中 的应用题较多地集中在水平2与水平3 其次 是水平1和水平4 而Practice Book更多地集 中在水平1 占这部分总应用题 11 的82 且在水平2与水平3之间出现断层 这从一 个角度说明了在Practice Book中数学应用题 的应用水平远不及我国 数学 来得循序渐 进 且大多数的应用题相对于我国 数学 来 说都处于较低的水平 表1 数学 与Practice Book关于一元一次 方程应用题的应用水平比较 应用 水平 数学 小 计 Practice Book 小 计 水平 0 7A 5 2 习题 5 42Ex2 1 Y8B 12 4 Ex4 1 水 平 1 7A 5 1 导入 部分 21 3 习 题5 1Ex12 1 3 随堂练 习 2Ex2 5 4 习题5 72Ex3 7 Y7B 16 3 Ex6 Y9A 5 6 例 1 例3 Ex1 2 Ex3 4 Ex7 8 9 水 平 2 7A 5 1 导入 部分 24 试 一 试 习 题5 22Ex2 5 2 习 题5 52Ex2 5 3 导 入 部 分 做一做 习 题5 62Ex1 4 5 4 例1 随堂练习 习题 5 72Ex1 5 5 随堂练习 习 题5 8Ex1 150 水 平 3 7A 5 1 随堂 练习 2 2 5 2 导入部分 习 题5 52Ex3 5 5 想一想 习 题5 82Ex2 5 6 想 一 想 1 想一想2 随 堂练习 习题5 92Ex1 3 5 8 导 入 部 分 随堂练习 习 题5 112Ex1 2 150 水 平 4 5 7 导 入 部 分 议一议 习 题5 102Ex1 2 试一试 5 Y9A 5 6 Ex11 1 考虑到一元一次方程的内容分布 如 数学 集中于七年级上册 而Practice Book 中关于这一内容的应用题绝大多数在Y9A 9中学数学杂志 初中 2006年第6期 即对应于我国的九年级上级 从这个角度上 来说 我们甚至可以得出这样一个结论 在应 用题的设计上 关于某一知识点的应用题 我 国 数学 的应用水平明显高于英国Practice Book 但是 对于英国Practice Book中低水 平应用题重复的现象 我们还应该注意到这 样一个事实 即 QCA手册 的存在 在英国 标准 2000 中提出教师教学的三项原则 其中第一条是安排适宜的学习挑战 应运而 生的 QCA手册 不仅对学习困难学生 而且 对天才学生和有潜能的学生来说 它都是学 习计划的一个强有力的助手 也就是说 英 国各种各样的教材和学习辅助手册的存在部 分地弥补了这一问题的不足 另外 对于我国 数学 的应用题在章节 内的应用水平 须引起我们注意的是7A 5 5中 随堂练习 与习题5 82Ex1这两题 的应用水平竟然均低于 想一想 部分的应 用题 而 想一想 也是作为本节内容的导 入 从编排顺序上 学生首先接触这个问题 但是为什么在练习或习题中反而降低了水平 呢 而在这一点上 Practice Book似乎不存在 这样的问题 212 应用题情境 虽然在 一元一次方程 内容中 Practice Book与 数学 中应用题所涉及的情境领域 是相当丰富的 共有的情境是 年龄 门票 温度转换 其中 数学 中比较典型的有 日 历 打折销售 路程问题 教育储蓄 助学贷 款 英国Practice Book主要集中在与 钱 相 关的领域上 比如出租车收费 租用大篷货车 的费用 搬运公司的收费 汽油价格单位转 换 修理工的收费 银行兑换外币等 而在具体题目的情境设置过程中 两国 都不同程度地存在着各自的优势与问题 比 如 中国 数学 对同一情境的应用题进行不 同水平的深化 考虑下面一组以年龄为情 境 以一元一次方程为知识载体的应用题 Practice BookY7B 16 3 Ex6 TOM请 朋友们把自己的年龄先乘以2 再减去10 然 后把结果告诉他 最后他得到了下列数列 BenIanAdamSergio 8101411 a 用x表示Ben的年龄 写出关于x 的方程式 并确定Ben的年龄 b 列方程并解 确定Ian Adam和 Sergio的年龄 数学 中以年龄为情境的一元一次方 程题有3题 7A 5 1 题1 导入部分 小明 我能猜出你的 年龄 你的年龄乘2减5得数是多少 小彬 21 小明 你今年13岁 小彬 自语 他是怎么知道的 题2 随堂练习 Ex2 小明编了一道这 样的题 我是4月出生的 我的年龄的2倍加 上8 正好是我出生那一月的总天数 你猜我 有几岁 请你求出小明的年龄 题3 即水平2中的例题 显然 相对于Practice Book 我国 数学 对年龄题材的处理是丰富多样的 而且在应 用水平设计上层层递进 其中题1与Practice Book中的题目设计无异 题2虽然仍处于水 平1 但是它融入了关于月份的知识 题3正 如前述所分析的 它介入两对数量关系 因此 处于水平2 但是 值得指出的是 在我国 数学 中 也存在着在同一应用水平上情境领域的高重 复率现象 比如 表1 水平2中 5 3 导 入部分 做一做 习题5 62Ex1 4 这6 个问题均以日历为背景 又如 水平3中 5 1 随堂练习 2 2 5 2 导入部分 5 5 想一想 习题5 82Ex2 5 6 想 一想 1 想一想 2 随堂练习 2 2 5 2 导入部分 5 5 想一想 习题5 8 Ex2 5 6 想一想 1 想一想 2 随堂练 习 习题5 9 Ex1 Ex3这9个问题均来自 01中学数学杂志 初中 2006年第6期 于市场营销领域 此外 数学 中还存在着一些情境不合 理的问题 比如 水平4中的例题 它向学生 传递的信息是相对消极的 它在教育学生的 自理能力过程中起着负面的作用 对于该情 境设计中存在的诸多不合理因素 在实际教 学中 学生已经对此提出了各式各样的疑问 具体可见 2 3 分析与讨论 从学习的循序渐进原则看 数学 中 一元一次方程 部分应用题的应用水平较 之于英国Practice Book合理 但是这种优势 在与情境结合考虑时就表现得不是那么明 显 对于同一情境问题 即存在不同水平的深 化 也存在着同一水平的大量重复 同时 在 部分题目的情境合理性上 考虑不够充分 因此 如何更好地编制一元一次方程应 用题所需考虑的一个重要问题就是 情 境的合理性及其与应用水平的有效结合 来源于现实生活的一些实际问题在进入 数学教材时首先必须受到教育的筛选 在对 现实情境的各因素处理过程中选择对学生发 展具有促进价值的材料 这是在数学教育中 实行情感教育 生命教育的良好契机 因此 它不能仅仅满足于贴近现实生活 同时 另 一方面 它必须受到数学本身的审视 从编 排体系来说 对同样情境的问题 其应用水平 的变化应随着它出现的次数发生变化 而不 能停留在同一水平上的不断重复 最后一个 方面是一元一次方程问题的解答需要受到实 际意义的审视 即在应用题的情境设计过程 中 必须将应用水平的跨度因素纳入其中 完 成数学应用的一个循环 参考文献 1 史宁中 孔凡哲 方程思想及其课程教学设计 J 课程 教材 教法 2004 9 2 束仁武 对北师大版课标教材的几点建议 J 数学通报 2004 5 数学探究式教学中如何为学生搭建思维的 脚手架 曲阜师范大学数学科学学院 273165 袁志玲 义务教育数学课程标准 实验稿 从基本 理念 课程目标 教学过程与课程开发与管理等 方面 都提倡培养学生的独立性和自主性 将促 进学生的探究学习和培养探究能力作为一个重 要的追求 1 因此目前探究式教学在中学数学 课堂中已不少见 但研究表明 教师的课堂行 为对学生的探究学习活动会产生有利或不利的 影响 其中当学生思维受阻时能否为学生搭建 恰当的脚手架就是一个重要的方面 2 在此 恰当的脚手架 可以说是既不降低探究问题 的要求又能为学生提供适时帮助的教练式的教 学支援 为了更好地实施探究式教学以提高学 生的探究能力 我们有必要对如何为学生搭建 思维的脚手架进行研究 1 通过引导学生从多个角