2010年中考第一轮复习《方程与不等式》专题讲解(一).doc

中考数学“方程与不等式”专题讲解中考命题形势与趋势透过近几年的中考试题，有关方程与不等式知识的考查重点是方程（组）、不等式（组）的解法与应用，而且每年都有所创新，特别是应用问题，一般都是取材于生活之中，预计2010年的中考有关这部分知识的考查力度和题型大致与以往相当，因此，同学们在复习除了注重基础知识的演练外，还应注意对生活中的问题的研究.方程与不等式试题的特点方程与不等式内容比较整齐，但方法灵活，技巧性强，是历年各地中考的常规考点之一，试题类型多样化，既有填空题、选择题、解答题，又有阅读题、方案设计题和分析探索性问题，从知识结构看，试题既有基础题，又有拉分的综合题和压轴题.一般的分值要占整个试卷的20左右.典型问题归类例析专题1一元一次方程一、考点扫描1.方程的有关概念：含有未知数的等式叫做方程使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，只含有个未知数的方程的解，也叫做根.只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为零的方程，叫做一元一次方程.2.解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化成1.3.列一元一次方程解应用题的基本步骤是：审、设、列、解、答.列一元一次方程解应用题的常见题型有以下几种情形：和、差、倍、分问题；行程类问题；工程问题；浓度问题；分配问题；数字问题；经济问题.等等.二、考题分析（所选例题均出自2009年全国部分省市中考试卷，下同）考点1方程解的运用例1（安顺市）已知关于x的方程4x3m2的解是xm，则m的值是.分析关于x的方程4x3m2中含有两个字母，但知其解是xm，于是，要求m的值，只要将其解代入原方程，得到m的一元一次方程.解因为xm是关于x的方程4x3m2的解，所以4m3m2，解得m2.说明有关方程解的问题，虽然比较简单，但每年中考都有所涉及，求解时一定要注意方程解的意义，将方程中未知数用其代换，构造新的方程.考点2巧解方程例2（江西省）方程0.25x1的解是.分析已经是一元一次方程的标准形式了，只要化系数为1即可，但考虑未知数前面的系数的特殊性，化系数为1时，可在方程两边同乘以4即得.解因为0.2541，所以方程两边同乘以4，得x4.说明解一元一次方程的一般步骤同学们一定了如指掌，可要想灵活运用，还得辅之适量的习题加以训练，以便从中有所体会.考点3构造方程求解简单的几何问题例3（嘉兴市）在四边形ABCD中，D60，B比A大20，C是A的2倍，求A，B，C的大小.分析要求A，B，C的大小，由于四边形的四个角的和等于360，去掉一个已知D，就是说，A+B+C300，而B比A大20，C是A的2倍，这样可设Ax，从而构造方程求解.解设Ax，那么Bx+20，C2x，则根据题意，得x+( x+20)+2x+60360，解得x70.所以A70，B90，C140.考点4确定字母的取值范围例4（泸州市）关于x的方程kx12x的解为正数，则k的取值范围是.分析先通过移项化关于x的方程kx12x为一般形式，再化系数为1，用字母k表示方程的解，由解是正数即得.解移项，合并，得(k2)x1，化系数为1，得x，因为原方程的解为正数，而此时解的分子是1，所以只要求分母是正数，此时，只要求k取大于2的任意数，即k的取值范围是k2.说明本题在求得方程的解时，代数式只要考虑k2中k取什么数时代数式的值是大于0的，其他无需多考虑.考点5用一元一次方程解决生活中的问题例5（德州市）为了贯彻落实国务院关于促进家电下乡的指示精神，有关部门自2007年12月底起进行了家电下乡试点，对彩电、冰箱（含冰柜）、手机三大类产品给予产品销售价格13%的财政资金直补.企业数据显示，截至2008年12月底，试点产品已销售350万台（部），销售额达50亿元，与上年同期相比，试点产品家电销售量增长了40%.（1）求2007年同期试点产品类家电销售量为多少万台（部）？ （2）如果销售家电的平均价格为：彩电每台1500元，冰箱每台2000元，手机每部800元，已知销售的冰箱（含冰柜）数量是彩电数量的倍，求彩电、冰箱、手机三大类产品分别销售多少万台（部），并计算获得的政府补贴分别为多少万元？分析（1）考虑增长40以后销量达到350台，此时若设2007年销量为a万台，则可列出一元一次方程求解.（2）由于三大类产品的销售额是50万元，若设销售彩电x万台，则销售冰箱x万台，销售手机(350x)万台，则由各自的销售单价，列出一元一次方程求得，进而计算获得的政府补贴分别为多少万元.解（1）2007年销量为a万台，则根据题意，得a(1+40%)350，解得a 250（万台）. （2）设销售彩电x万台，则销售冰箱x万台，销售手机(350x)万台.则根据题意得：1500x+2000x+800(350x)500000，解得x88.所以x132，x130.所以，彩电、冰箱（含冰柜）、手机三大类产品分别销售88万台、132万台、130万部.所以88150013%17160（万元），132200013%34320（万元），13080013%13520（万元）.即获得的政府补贴分别是17160万元、34320万元、13520万元.说明本题以家电下乡为设计背景，体现了政府的惠民政策.求解时，只要能及时地发现各自问题中的等量关系，引进必要的未知数，用一元一次方程即可求解.三、同步训练1.下列变形符合等式性质的是（）A.如果2x37，那么2x73B.如果3x2x+1，那么3xx12C.如果2x5，那么x5+2 D.如果x1，那么x32.如果3x+28，那么6x+1的值为（ ）A. 11 B.26 C.13 D.113.如果方程3x+2a12和方程3x42的解相同，那么a.4.一捆粗细均匀的钢丝，重量为132kg，剪下35米后，余下的钢丝重量为121kg，求原来这根钢丝的长度.专题2二元一次方程组一、考点扫描1.方程组的有关概念：含有两个未知数并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程.两个二元次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组.2.使方程组中的各个方程的左、右两边都相等的未知数的值，叫做方程组的解.3.解二元一次方程组，或三元一次方程组的一般方法是：代入消元法和加减消元法.4.列二元一次方程组解应用题的方法与列一元一次方程解应用题方法大致相同.二、考题分析考点1解方程组例1（大连市）解方程组：分析考虑未知数y的系数都是1，并由未知数x的系数特点，可采取第二个方程减去第一个方程，即可求解.解由第二个方程第一个方程，得2x10，解得x5，把x5代入第一个方程，得5+y7，解得y2.所以是原方程组的解.说明本题用代入消元法，同理可以简洁求解，另外，中考中有关解方程组的题目一般都不难，只要用心求解即可获得满分.考点2方程组解的应用例2（日照市）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y6的解，则k的值为（）A. B.C. D.分析若视k为常数，解关于x，y的二元一次方程组再将其解代入2x+3y6，即可得到关于k的方程，从而使问题获解.解解关于x，y的二元一次方程组得把x7k，y2k代入2x+y6，得27k+3(2k)6，解得k.故应选B.说明本题是二元一次方程组中有关解的问题的典型题目，每年的中考也少不类似试题，同学们应注意多加训练.考点3看错题目例3（株州市）孔明同学在解方程组的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为又已知直线ykx+b过点(3，1)，则b的正确值应该是.分析错把b看成了6，即把方程ykx+b看成ykx+6，于是可以将代入求得k，进而再将(3，1)代入线ykx+b，即可求得b.说明根据题意把代入ykx+6，得2 k(1)+6，解得k4，即ykx+b转化为y4x+b，而y4x+b过点(3，1)，所以143+b，解得b11.说明本题实际上就是方程的两组解为和或理解为直线ykx+b过两点(1，2)、(3，1).考点4实际应用例4（长沙市）某中学拟组织九年级师生去韶山举行毕业联欢活动.下面是年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：李老师：“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元.”小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5000元.”小明：“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满.”根据以上对话，解答下列问题：（1）平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（2）按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？分析通过仔细分析李老师和二位同学的对话，我们可以发现的两个相等关系，即一是60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元；二是4辆60座和2辆45座的客车一天的租金共5000元，由此可以求解第（1）问题，进而利用小明的话可求解（2）.解（1）设平安公司60座和45座客车每天每辆的租金分别为x元，y元，则根据题意，得解得（2）由（1），得九年级师生共需租金：5900+17005200.答：（1）平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是900元和700元.（2）年级师生共需租金5200元.说明求解此类应用题时一定要正确理解各自提供的信息，及时发现等量关系，进而引进恰当的未知数列出方程组.考点5古代问题例5（济宁市）请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”诗句中谈到的鸦为只、树为棵.分析诗句的大意是：树林里面有一群鸦，3只鸦1棵树，有5只鸦没有树，5只鸦1棵树，有1棵树没有鸦，问有多少只鸦？多少棵树？在这个问题中鸦的只数和树的棵数都是不变量，由此可以引进两个未知数，列出方程组求解.解设有x只鸦，y棵树，则根据题意，得解得即诗句中谈到的鸦有20只，树5棵，所以应分别填上20和5.说明本题以古诗为背景，设计二元一次方程组的应用题，既可以巩固方程组的知识，又可以让同学们从古诗中体会数学的乐趣，增强同学们的爱国热情.考点6开放型问题例6（江苏省）一辆汽车从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路.已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h.请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程.分析本题的条件已经给定了三个量：一是AB两地的路程中前路段为普通公路，后的路段是高速公路，二是汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，三是从A地到B地一共行驶了2.2h.，由此，要提出的问题比较多，即答案不惟一，答题题意即可.解答案不惟一.如，问题：普通公路和高速公路各为多少千米？解答：设普通公路长为xkm，高速公路长为ykm.则根据题意，得解得答：普通公路长为60km，高速公路长为120km.或，问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时？解答：设汽车在普通公路上行驶了xh，高速公路上行驶了yh.则根据题意，得解得答：汽车在普通公路上行驶了1h，高速公路上行驶了1.2h.说明本题是一道结论开放型问题，求解时一定要抓住行程中“速度、路程、时间”这三者之间的关系，注意条件中提供的量，紧靠题目，以避免走弯路.另外，应注意条件中的含义，不能以此为求解带来错误.考点7方案设计例7（荆门市）星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完.（1）有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？（2）每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？分析依题意可知有一个等量关系，即2元一杯可乐，奶茶3元一杯奶茶，共20元，由此，我们先引进两个未知数，列出一个二元一次方程，由于这两个未知数均为自然数，所以可直接通过列举法求得购买的方式，进而可以求解第（2）小题.解（1）设买可乐、奶茶分别为x、y杯，则根据题意，得2x+3y20，即x10y0，因为x、y均为自然数，而由y可知y必须保证是偶数，还必须满足x为自然数，所以当y0时，x10；当y2时，x7；当y4时，x4；当y6时，x1，即有四种购买方式：方式一：可乐10杯，奶茶0杯；方式二：可乐7杯，奶茶2杯；方式三：可乐4杯，奶茶4杯；方式四：可乐1杯，奶茶6杯.（2）根据题意，每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，即y满足不少于2，且x+y满足不少于8，这样由（1）可知，有二种购买方式.说明本题利用二元一次方程整数解的意义，设计方案，这是近年来有关二元一次方程应用的创新题型，同学们在学习量一定要注意把握.三、同步训练5.如果中的解x、y相同，则m的值是（ ）A.1B.1C.2D.26.方程组的解为则被遮盖的两个数分别为（ ）A.1，2B.1，3C.2，3D.2，47.若方程x+y1，2xy4和xmy7有公共解，则m的取值为.8.足球联赛得分规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，大地足球队在足球联赛的5场比赛中得8分，那么这个队比赛的胜、平、负的情况如何？专题3分式方程一、考点扫描1.分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般步骤是：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）检验.即把解得的整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去；或不为答0，进而作答.显然，解分式方程的关键是去分母，即方程两边都乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程.3.分式方程的增根问题：增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根l增根；验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根.4.分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些.解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性.二、考题分析考点1新款解分式方程例1（邵阳市）请你给x选择一个合适的值，使方程成立，你选择的x.分析本题实际上就是要求解分式方程，由此最简公分母是(x1)(x2)，两边同乘以最简公分母化分式方程为整式方程求解即可.解去分母，得2(x2)x1，解得x3，经检验x3是原方程的解.所以选择的x3.说明本题的本质就是解分式方程，只是对解分式方程换一种设问，其解法步骤仍然和以往一样.另外，通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题.考点2依据分式方程解的符号，确定字母系数例2（孝感市）关于x的方程1的解是正数，则a的取值范围是（）A.a1B.a1且a0C.a1D.a1且a2分析若将字母a看作是一个常数，那么就可以按照解一般的解分式方程步骤进行，只是在求得其解以后，不能忘记：一是必须检验，保证不是增根，即x1，二是解是正数，对此要进行讨论.解去分母，得2x+ax1，解得x1a，因为方程的解是正数，所以1a0，解得a1，又因为x10，即x1，所以1a1，解得a2，综上，a的取值范围是a1且a2.故应选D.说明本题既属于分式方程，也属于含有字母系数的方程，求解时除了要检验外，还要注意对字母的范围加以讨论，否则容易出现错误.考点3依据分式方程的无解，确定字母系数例3（牡丹江市）若关于x的分式方程1无解，则a.分析已知关于x的分式方程无解，则表明方程有增根，此时当x10，或x0都会使方程出现增根而导致方程无解，由此，可先按照正常的解分式方程的第一步，化分式方程为整式方程，再将增根代入求得，同时利用方程无解进一步求解.解去分母，得x(xa)3(x1)x(x1)，整理，得(a+2)x3，因为原方程无解，即原方程有增根，所以x10，即x1，或x0.当x1时，有(a+2)13，解得a1；当x0时，有(a+2)03，难以求得a，但另一方面，由方程无解，可知a+20，解得a2，所以a1，或2.说明对于求解分式方程无解问题的一般方法是先将分式方程转化为整式方程，进而利用增根代入即可求得字母系数.事实上，本题若不是利用方程无解，还难以求得a2，可见，分式方程的增根与无解是有本质的区别的.考点4分式方程的应用例4（桂林市、百色市）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标.经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成.（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元.若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？分析（1）依题意有等量关系：甲20天的工作量+甲24天的工作量+乙24天的工作量1，由此，引进未知数即得方程求解.（2）在（1）求得的结果下，若设甲、乙合作完成需y天，则同样有等量关系：甲y天的工作量+乙y天的工作量1，由此求得y，再分别计算甲、乙单独完成需付工程款的数额，并比较.解（1）设乙队单独完成需x天，则根据题意，得20+(+)241，解这个方程，得x90，经检验，x90是原方程的解，所以乙队单独完成需90天.（2）设甲、乙合作完成需y天，则根据题意，得(+)y1，解得y36（天）.甲单独完成需付工程款为603.5210（万元），乙单独完成超过计划天数不符题意.甲、乙合作完成需付工程款为36(3.5+2)198（万元）.答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱.说明和列整式方程解工程类应用题一样，这里的工作总量可以看成是1.考点5自编型例5（达州市）某学生食堂存煤45吨，用了5天后，由于改进设备，平均每天耗煤量降低为原来的一半，结果多烧了10天.（1）求改进设备后平均每天耗煤多少吨？（2）试将该题内容改编为与我们日常生活、学习有关的问题，使所列的方程相同或相似（不必求解）.分析（1）若设改进设备后平均每天耗煤x吨，那么改进设备前平均每天耗煤2x吨，由此，改进设备前5天耗煤量为52x吨，此时，还剩煤(4552x)吨，于是，有等量关系是：改进设备后的天数改进设备前的天数10，从而列出方程求解.（2）依题意，答案不惟一，只要所编应用题的方程与原题的方程相同或相似均可.解（1）设改进设备后平均每天耗煤x吨，那么改进设备前平均每天耗煤2x吨，则根据题意，得10，解得x1.5.经检验x1.5是原方程的解.答：改进设备后平均每天耗煤1.5吨.（2）答案不惟一.如，某工人原计划若干天内生产840个零件，开始4天按原计划进行生产，以后每天生产的零件比原计划增加了25%，结果提前2天完成了任务.求原计划多少天完成任务？设原计划每天做x个零件，则根据题意，得4+2，或2.解得x14.经检验：x14是原方程的解.答：原计划14天完成任务.说明第（2）小题属于自编型问题，不过本题的自编要比一般自编题来得容易些，因为毕竟只需要所列的方程与（1）相同或相似，但仍属于开放型问题.另外，同学们在平时学习和生活中一定注意观察发现问题，多积累些数学素材，到时才能在求解此类问题时得心应手.三、同步训练9.当a为何值时与的值相等（）A.a0 B.a C.a1 D.a110.若x是下列某方程的解，则此方程为（）A.2 B.0 C. D.11.若方程3有增根，则增根为x.12.甲、乙在电脑上合打一份稿件，4小时后，甲另有任务，余下部分由乙单独完成又要6小时，已知甲打6小时的稿件乙要打7.5小时，问：甲、乙单独完成此任务各需多少小时？专题4一元一次不等式一、考点扫描1.表示不等关系的式子，叫做不等式.2.不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.求不等式解集的过程叫做解不等式.4.解一元一次不等式的步骤：去分母，去话号，移项，合并同类项，系数化为1，此时要注意不等号的方向问题.5.求不等式的正整数解，负整数解等特解，可先求出这个不等式的解集，再从中找出所需特解.6.列不等式解应用题的一般步骤：列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相似，其步骤包括：设未知数；找不等关系；列不等式；解不等式；检验.其中检验是正确求解的必要环节.二、考题分析考点1不等式的基本性质例1（柳州市）若ab，则下列各式中一定成立的是（ ）A.a1b1B.C.abD.acbc 分析利用不等式的基本性质求解.解因为ab，所以有a1b1.故应选A.说明熟练掌握不等式的基本性质是求解不等式的关键，运用时，要特别注意未知数前面的系数是负数时，不等号的符号变化问题.考点2解不等式例2（钦州市）解不等式：x10，并把它的解集在数轴上表示出来.分析先利用解一元一次不等式的一般步骤，求出不等式的解集，进而再将其解集在数轴上表示出来.解去分母、移项，得 x3.这个不等式的解集在数轴上表示如图所示.说明把不等式的解集在数轴上表示出来时，一定要注意两个问题：一是方向问题，二是在数轴上的点是空心还是实心问题.考点3比较大小例3（湘西自治州）如果xy0，那么x与y的大小关系是xy.（填或符号）分析利用不等式的概念即得.解因为xy0，所以xy，所以应填上：.说明本题只是一道简单的利用不等式比较大小的问题，若是比较复杂的问题，同样可以构造不等式，进而利用不等式的相关知识进行比较.考点4用一元一次不等式解决实际问题例4（凉山州）我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易金额的0.5%作费用.张先生以每股5元的价格买入“西昌电力”股票1000股，若他期望获利不低于1000元，问他至少要等到该股票涨到每股多少元时才能卖出？（精确到0.01元）分析1000股“西昌电力”股票，卖出时期望获利不低于1000元，若设设至少涨到每股x元时才能卖出，很明显，题目中有这样一个不等量关系：1000x(10005+1000x)0.55000+1000，由此可以求解.解设至少涨到每股x元时才能卖出.则根据题意，得1000x(10005+1000x)0.55000+1000，解得x6.06.答：至少涨到每股6.06元时才能卖出.说明求解不等式的应用问题时，要能通过阅读题目，及时发现问题中的关键性字眼，从而才能快速准确地列出不等式求解.考点5方案设计例5（威海市）响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过132 000元.已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1 200元/台、1 600元/台、2 000元/台.（1）至少购进乙种电冰箱多少台？（2）若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？分析（1）抓住题目的“不超过132 000元”，引进未知数，进而可得到不等式求解.（2）同样，由“甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数”得到一个不等量关系式，于是又可以得到一个不等式，结合（1）可求解.解（1）设购买乙种电冰箱x台，则购买甲种电冰箱2x台，丙种电冰箱(803x)台，则根据题意，得12002x+1600x+(803x)2000132000，解得x14.所以至少购进乙种电冰箱14台.（2）根据题意，得2x803x，解得x16.由（1），得14x16，而x为正整数，所以x14，15，16.所以，有三种购买方案：方案一：甲种电冰箱为28台，乙种电冰箱为14台，丙种电冰箱为38台；方案二：甲种电冰箱为30台，乙种电冰箱为15台，丙种电冰箱为35台；方案三：甲种电冰箱为32台，乙种电冰箱为16台，丙种电冰箱为32台.说明本题通过寻求问题中的不等式关系，建立一元一次不等式模型，利用实际问题中的家电台数的意义求得方案.生活中这样的问题有许多，请同学们注意观察发现，并用数学的方法去解决.三、同步训练13.“x的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（） A.2x38B.2x38 C.2x38D.2x3814.不等式2x54x3的解集在数轴上表示应为（）15.不等式237+5x的正整数解的个数是.A.1个 B.无数个C. D.4个16.一次智力测验，有20道选择题，评分标准为：对一题得5分，错1题扣2分，不答题不得分也不扣分，小明有2道题未答，问至少答对几道题总分不低于60分？专题5一元一次不等式组一、考点扫描1.由几个一元一次不等式组合起来，组成一个一元一次不等式组.2.一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集.求不等式组解集的过程叫做解不等式组.求一元一次不等式组的解集的步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴，或口诀求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解.3.求不等式组的正整数解，负整数解等特解，可先求出这个不等式组的解集，再从中找出所需特解.4.列不等式组解应用题与列不等式解应用题基本一致.二、考题分析考点1解不等式组例1（天津市）解不等式组分析先确定每一个不等式的解集，进而指出其公共部分即求.解由，得x2，由，得x，所以原不等式组的解集为x2.说明解不等式组时，一方面要正确求解每一个不等式，另一方面要注意熟练掌握不等式组解集的确定.考点2确定整数解例2（崇左市）不等式组的整数解共有（ ）A.3个 B.4个 C.5个 D.6个分析要确定整数解的个数，只要求出不等式组的解集即可知道.解解不等式组，得所以不等式组的解集为2x3，所以整数解有2，1，0，1，2五个.故应选C.说明确定不等式组的解集是确定整数解的关键，所以求解时一定要正确地求得不等式组的解集.考点3利用不等式组的解集确定字母的值例3（孝感市）关于x的不等式组的解集是x1，则m.分析观察不等式组的结构特点，结合不等式组的解集，可以确定m+2m1，于是可构造出方程求解.解因为关于x的不等式组的解集是x1，所以m+21，解得m3.说明考虑不等式组解集的确定方法，灵活运用不等式组解集的意义，构造简单方程求解是解决问题的关键.考点4利用不等式组有解确定字母系数的范围例4（荆门市）若不等式组有解，则a的取值范围是（ ）A.a1 B.a1 C.a1 D.a1分析由于第一个不等式的解集可以用字母表示，而第二个不等式的解集可以求得，于是，可以依据不等式有解来确定字母的取值范围.解解不等式组，得因为该不等式组有解，所以a1.故应选A.说明本题是考查一元一次不等式组的有关知识的应用，求解时一定要注意不等式组有解，从而确定字母的范围.考点5利用不等式组无解确定字母系数的范围例5（黔东南州）若不等式组无解，求m的取值范围.分析由于不等式组无解时，就等价于“小于的要小，大于的要大”，由此，可以构造新的不等式求解.解因为原不等式组无解，所以有m+12m1，解得m2，所以m的取值范围是m2.说明灵活运用不等式组解集的意义是求解本题的关键，所以同学们一定要在平时的学习中熟练掌握对不等式组解集的确定.考点6利用不等式组的解集确定代数式的值例6（烟台市）如果不等式组的解集是0x1，那么a+b的值为.分析由于已知不等式组有解，所以可先认定a与b是常数，求解出关于x的不等式组的解集，进而利用已知解集，确定a与b的值，进而求解.解解不等式组，得因为不等式组的解集是是0x1，所以此时应有42ax，所以42a0，1，解得a2，b1，所以a2，b1时，a+b1.说明本题一道不等式解集的具体应用，求解时一定注意两个相同解集的对应关系.考点7利用不等式组的有限个解确定字母取值范围例7（长沙市）已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围是.3201-1-2-3分析考虑关于x的不等式组只有四个整数解，可先求出不等式的解集，再利用数轴帮助确定a的取值范围.解解不等式，得因为该不等式组有解，所以该不等式组解集为ax2.因为只有四个整数解，所以此解集可在数轴表示如图，所以由数轴可得实数a的取值范围是3a2.说明本题发挥了数轴的作用，才得以使求解的难度降下来，事实上，利用数轴，也易于理解，避免错误.考点8列不等式组解应用题例8（株洲市）初中毕业了，孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140200元钱，买一份礼物送给父母.已知：在暑假期间，如果卖出的报纸不超过1000份，则每卖出一份报纸可得0.1元；如果卖出的报纸超过1000份，则超过部分每份可得0.2元.（1）请说明：孔明同学要达到目的，卖出报纸的份数必须超过1000份.（2）孔明同学要通过卖报纸赚取140200元，请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内.分析（1）答案不惟一，只要验证若孔明同学卖出1000份报纸获利是否超过140元即可.（2）利用“卖报纸赚取140200元钱”，引进未知数，即可列出不等式组，从而求解.解（1）答案不惟一.如，如果孔明同学卖出1000份报纸，则可获得10000.1100元，没有超过140元，从而不能达到目的. （2）设孔明同学暑假期间卖出报纸x份，由（1）可知x1000，则根据题意，得解得1200x1500.答：孔明同学暑假期间卖出报纸的份数在12001500份之间. 说明求解本题时一定要注意超过1000份的部分，才能每份可得0.2元.考点9利用不等式组设计方案例9（温州市）某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒.（1）现有正方形纸板162张，长方形纸板340张.若要做两种纸盒共l00个，设做竖式纸盒2个.根据题意，完成以下表格：竖式纸盒（个）横式纸盒（个）x正方形纸板（张）2(100x)长方形纸板（张）4x按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案?（2）若有正方形纸板162张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完.已知290a306.则a的值是.(写出一个即可)分析（1）由题意，可直接填写表中相应的代数式.由于要做两种纸盒共l00个，此时，正方形纸板只有162张，长方形纸板只有340张，所以都不能超过，于是，利用可列出不等式组，确定x的范围，进而得出相应的设计方案.（2）仿照（1）中的即求.解（1）填表顺序为：正方形纸板x，横式纸盒100x，长方形纸板3(100x).由题意得解得38x40.又因为x是整数，所以x38，39，40.答：有三种方案：生产竖式纸盒38个，横式纸盒62个；生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个.（2）答案不惟一.如，293，或298，或303.说明本题好象并不存在不等量的关系，但你只要仔细分析，结合生活实际，就会发现所用的材料只能用的刚好，或略有一点余料，但绝对不能超过.三、同步训练17.设x为一整数，且满足不等式2x+34x1及3x2x+3.则x等于（）A.0 B.1 C.2 D.318.如果不等式组的解集是x3，那么m的取使范围是（ ）A.m3 B.m3 C.m3 D.m319.已知关于x的不等式组的解集为3x5.则的值是.20.某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元；每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终不变.现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元. （1）该公司有哪几种进货方案?（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润?最大利润是多少?（3）若用（2）中所求得的利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案.专题6一元二次方程一、考点扫描1.只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程.一般形式：ax2+bx+c0(a0).2.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c0(a0)的一般步骤是：化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；化原方程为(x+m)2n的形式；如果n0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n0，则原方程无解.（3）公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通过配方推导出来的.一元二次方程的求根公式是x1，2(b24ac0).（4）因式分解法：因式分解法的步骤是：将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.3.构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型，通过审题弄清具体问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键.二、考题分析考点1利用方程的解确定字母系数例1（哈尔滨）如果2是一元二次方程x2+bx+20的一个根，那么常数b的值为.分析可以直接将2代入方程求解.解因为2是一元二次方程x2+bx+20的一个根，所以22+b2+20，解得b3.说明已知方程的解，则这个解一定满足方程，于是将此解代入方程，构造新的方程求解.这也是中考中的常见题型.考点2已知方程的一个解求另一个解例2（威海市）若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k0的一个根是2，则另一个根是.分析可将2代入方程，求出k，进而再解这个方程即得.解因为2是关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k0的一个根，所以(2)2+(k+3)(2)+k0，解得k2，所以原方程为x2+x20，解得x11，x22.所以另一个根是1.说明本题首先得求出方程中的字母系数，才能恢复原来的方程，进而求解方程，获利另一个根.考点3直接开平方法解方程例3（綦江县）一元二次方程x216的解是.分析对方程两边直接开平方即求.解两边开平方，得x，即x4，所以x14，x24.说明直接开平方法解一元二次方程方便快捷，但必须满足特定的格式方可运用.考点4用配方法解方程例4（兰州市）用配方法解一元二次方程：2x2+13x.分析先将1移到方程的右边，同时将3x移到方程的左边，再化二次项的系数为1，进而配方求解.解移项，得2x23x1，化二次项系数为1，得x2x，配方，得x2x+，即，两边开平方，得x，解得x11，x2.说明用配方法解一元二次方程虽然不常用，但必须熟练掌握并会灵活运用，因为它在今后的学习中经常用到.考点5用因式分解法解方程例5（南充市）方程(x3)(x+1)x3的解是（ ）A.x0B.x3C.x3，或x1D.x3，或x0分析方程中有相同的因式(x3)，于是，可以移项，利用因式分解求解.解移项，得(x3)(x+1)(x3)0，分解因式，得x(x3)0，解得x13，x20.故应选D.说明因式分解法是解一元二次方程首先方法，它简便，易于操作，但也必须根据方程的特点确定，有的方程根本无法用因式分解求解，得选用其它方法.另外，本题中造成不能两边约去(x3)因式，否则就会造成漏解.考点6用求根公式解方程例6（义乌市）解方程：x22x20.分析由方程的系数特点可知，要求解此方程，只有借助于求根公式.解因为a1，b2，c2，所以b24ac(2)241(2)120，所以x1，21，所以x11+，x21.说明一元二次方程的求公式是求解一元二次方程的万能公式，但一般不是首先方法，问题是比较繁琐，求解时容易出现错误，同学们一定要注意避免.考点7写出满足条件的一元二次方程例7（山西省）请你写出一个有一根为1的一元二次方程：.分析有一个为1，则一定存在因式(x1)，由此，再选择另一个因式与之相乘即得.解因为有一根为1，所以所求的一元二次方程不惟一.如，x21，或x(x1)0，等等.说明写出满足条件的一元二次方程问题，虽然属于开放型题目，也比较简单，但一定要依据条件，不能粗枝大叶，随心所欲，乱写一通，造成失分.考点8新定义方程例8（白银市）在实数范围内定义运算“”，其法则为：aba2b2，求方程(43)x24的解.分析由新定义的法则，并注意先解决括号里面的，再进一步求解，可得到关于x的一元二次方程.解因为aba2b2，所以(43)x(4232)x7x72x2，所以72x224，解得x5.说明对于求解新定义的问题时的关键是要能灵活运用新定义，及时将新定义的运算问题转化为我们熟悉的实数运算，进而进一步求解.考点9一元二次方程根的判别式例9（成都市）若关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A.k1 B.k1，且k0 C.k1 D.k1，且k0分析一元二次方程有两个不相等的实数根，即说明一元二次方程根的判别式大于0，且二次项系数不等于0，由此可以列出不等式求解.解依题意，得(2)24k(2)0，且k0，解得k1，且k0.故应选B.说明利用一元二次方程根的判别式解题，如果一元二次方程的二次项系数含有字母，求解时一定要注意交待二次项系数不等于0，这也是不少同学容易忽视的问题.考点10一元二次方程的根与系数关系例10（包头市）关于x的一元二次方程x2mx+2m10的两个实数根分别是x1，x2，且x12+x227，则(x1x2)2的值是（ ）A.1B.12C.13D.25分析要求(x1x2)2的值，由于(x1x2)2(x1+x2)24x1x2，此时，想到了运用一元二次方程的根与系数的关系，而方程中含有参数m，于是，由x12+x22(x1+x2)22x1x27可求得参数m，与此同时，还必须满足根的判别式是一个非负数，即保证一元二次方程有两个实数根，进而得到一元二次方程，即可知道两根和与两根积.解由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2m，x1x22m1，且(m)241(2m1)m28m+40， 因为x12+x227，所以x12+x22(x1+x2)22x1x27，即m 22(2m1)7，即m 24m50，解得m11，m25，此时，当m5时，m28m+40，所以舍去.所以当m1时，x1+x21，x1x23，所以(x1x2)2(x1+x2)24x1x2(1)24(3)13.故应选C.说明这是一道比较复杂的一元二次方程根