电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤,曹伟)第6章习题解答.pdf

1 第第 6 6 章章习题习题解答解答 6 16 1 已知空气中存在电磁波的电场强度为已知空气中存在电磁波的电场强度为 8 0cos 6 10 2 y Ee Etz V m 试问 此波是否为均匀平面波 传播方向是什么 求此波的频率 波长 相速以及对应的磁场强度试问 此波是否为均匀平面波 传播方向是什么 求此波的频率 波长 相速以及对应的磁场强度H 解 解 均匀平面波是指在与电磁波传播方向相垂直的无限大平面上场强幅度 相位和方向均相同的电磁波 电场强 度瞬时式可以写成复矢量 j 0e kz y Ee E 该式的电场幅度为 0 E 相位和方向均不变 且0 z E e z Ee 此波为均匀平面波 传播方向为沿着z 方向 由时间相位 8 6 10tt 8 6 10 波的频率Hz 103 8 f 波数2 k 波长 2 1 m k 相速 p 3 10 m sv k 由于是均匀平面波 因此磁场为 j 0 ww 1 e kz zx E HeEe ZZ 6 26 2 有一频率为有一频率为 600600MHz的均匀平面波在无界理想介质的均匀平面波在无界理想介质 rr 4 1 中沿中沿x 方向传播 已知电场只有方向传播 已知电场只有y分分 量 初相位为零 且量 初相位为零 且 0 10tt s时 时 1x m处的电场强度值为处的电场强度值为 800800kV m 试写出 试写出E和和H的瞬时表达式 的瞬时表达式 解 解 根据题意 角频率 8 12 10 rr00 2 8 k c 因此 8 0cos 12 10 8 y Ee Etx 由s 10 t m 1 x处的电场强度值为kV m 800 可以得到kV m 800 0 E 8 800cos 12 108 kV m y Eetx 根据电场的瞬时表达式可以写出电场的复矢量为 j8 800e kV m x y Ee 波阻抗为 0r w r0 60 Z 因此磁场强度复矢量为 j8 w 140 e kA m 3 x xz HeEe Z 因此 磁场的瞬时表达式为 8 40 cos 12 108 3 z Hetx 6 36 3 在无界理想介质中 均匀平面波的电场强度为在无界理想介质中 均匀平面波的电场强度为 8 0sin 2 10 2 x Ee Etz V m 已知介质的已知介质的 r 1 试求其 试求其 r 并写出 并写出H的表达式 的表达式 解 解 根据电场的瞬时表达式可以得到 8 2 10 2 k 而 r rr00 k c 2 r 9 kc 电场强度的瞬时式可以写成复矢量为 j2 j2 0e z x Ee E 波阻抗为 w 40 Z 则磁场强度复矢量为 j2 j 0 2 w 1 e 40 z zy E HeEe Z 因此磁场为 8 0 sin 2 102 40 y E Hetz 2 6 46 4 无界自由空间传播的电磁波 无界自由空间传播的电磁波 其电场强度复矢量为其电场强度复矢量为 j 4 23 e kz xy Eee V m 写出磁场强度的复矢量以及平均功率密度 写出磁场强度的复矢量以及平均功率密度 解 解 首先判断是均匀平面波 该电场幅度为13 相位和方向均不变 且0 z E e z Ee 因此磁场强度复 矢量可写成 j 4 j 4 w 111 23 e 23 e 120 120 kzkz zzxyyx HeEeeeee Z 平均功率流密度为 2 av 1113 Re 23 23 W m 2240 240 xyyxz SEHeeeee 6 5 6 5 在无界理想介质在无界理想介质 rr 1 5 中传播均匀平面波 已知其磁场强度复矢量为中传播均匀平面波 已知其磁场强度复矢量为 j2 34 0 5e xy z He A m 试求该平面波的传播方向 电场强度及其坡印廷矢量的平均值 并写出电磁波的瞬时表达式 试求该平面波的传播方向 电场强度及其坡印廷矢量的平均值 并写出电磁波的瞬时表达式 解 解 由 2 34 xyz k rk xk yk zxy 得 6 x k 8 y k 0 z k 该电磁波的波数为 222 10 xyz kkkkk 电磁波的角频率为 9 3 10 Hz 55 kc kv 该电磁波在传播方向上的单位矢量为 0 60 8 y xz kxyzxy k kkk eeeeee kkkk 而该均匀平面波的磁场强度复矢量为 j2 34j2 34 w 120 120 0 50 60 8e0 40 3 e 55 xyxy kzxyxy EZHeeeeee 2 av 130 15 Re 0 30 4 W m 255 xyk SEHeee 120 0 4cos2 340 3cos2 34 5 xy Eetxyetxy 6 66 6 下列表达式中的平面波各是什么极化波 如果是圆或椭圆极化波 判断是左旋还是右旋 下列表达式中的平面波各是什么极化波 如果是圆或椭圆极化波 判断是左旋还是右旋 1 1 00 sincos xy Ee Etkze Etkz 2 2 00 sin2sin xy Ee EtkzeEtkz 3 3 00 sin 4cos 4 xy Ee Etkze Etkz 4 4 00 sin 4cos xy Ee Etkze Etkz 解 解 1 1 左旋圆极化波 又称为顺时针旋转的圆极化波 2 2 线极化波 3 3 线极化波 4 4 左旋椭圆极化波 又称为顺时针旋转的圆极化波 3 6 7 6 7 试证明任意的圆极化波的瞬时坡印廷矢量的值是个常数 试证明任意的圆极化波的瞬时坡印廷矢量的值是个常数 证明 证明 设圆极化波沿着z 方向传播 其磁场强的的瞬时式为 0000 cos sin xy Ee Etkze Etkz 对应的复振幅矢量为 0 jj 00 j e kz xy Ee Ee E 根据均匀平面波的传播特性可以得到该圆极化波的磁场强度的复振幅矢量为 0 0 jj 00 ww jj 00 w 11 j e 1 j e kz zzxy kz yx HeEee Ee E ZZ e Ee E Z 对应的瞬时值为 0000 w 1 cos sin yx He Etkze Etkz Z 瞬时坡印廷矢量为 2 2222 0 0000 ww 1 cos sin zzz E SEHe Etkze Etkze ZZ 由此可见 圆极化波的瞬时坡印廷矢量的值是个常数 6 86 8 已知聚苯乙烯在频率为已知聚苯乙烯在频率为 1 1GHz时损耗角正切时损耗角正切 e tan0 000 3 r 2 54 r 1 试求此时电磁波对聚苯 试求此时电磁波对聚苯 乙烯的趋肤深度以及电场 磁场之间的相位差 乙烯的趋肤深度以及电场 磁场之间的相位差 解 解 显然聚苯乙烯在频率为 1GHz时可以视为一种弱导电媒质 即 eee tantan tan 0 00314 222 kf cc 于是有 1 318 5 m 而此时电场 磁场之间的相位差仅为 11 arctanarctan0 00030 0086 22 6 96 9 铜的电导率铜的电导率 7 5 8 10 S m rr 1 试求下列各频率电磁波在铜内传播的相速 波 试求下列各频率电磁波在铜内传播的相速 波长 透入深度长 透入深度 及其波阻抗 及其波阻抗 1 1 1f MHz 2 2 100f MHz 3 3 10f GHz 解 解 已知 9 0 1 10 F m 36 和 7 0 4 10 H m 那么 18 r0 1 1 044 10 2 ff 1 当MHz 1 f时 110044 1 12 则铜看作良导体 衰减常数 和相位常数 分别为 3 10132 15132 15 2 f 相速 4 p 4 152 100 4152 m svf 波长 4 2 4 152 10 m 透入深度 m 106 6 1 5 波阻抗 74 w 1j 2 61 10 1j 2 61 10 1j 2 Zf 2 当MHz 100 f时 110044 1 10 则铜仍可以看作为良导体 衰减常数 和相位常数 分别为 4 10132 15132 15 2 f 相速 4 p 4 152 104 152 m svf 波长 5 2 4 152 10 m 透入深度 m 106 6 1 6 波阻抗 73 w 1j 2 61 10 1j 2 61 10 1j 2 Zf 4 3 当GHz 10 f时 110044 1 8 则铜看作良导体 衰减常数 和相位常数 分别为 5 10132 15132 15 2 f 相速 m s 52 4110152 4 4 fvp 波长 6 2 4 152 10 m 透入深度 m 106 6 1 7 波阻抗 72 w 1j 2 61 10 1j 2 61 10 1j 2 Zf 6 106 10 海水的海水的4 S m rr 81 1 试求频率为 试求频率为 1010kHz 1010MHz和和 1010GHz时电磁波的波长 衰减常时电磁波的波长 衰减常 数和波阻抗 数和波阻抗 解 解 已知 9 0 1 10 F m 36 和 7 0 4 10 H m 那么 9 10 9 81 f 1 当kHz 10 f时 110 9 8 10 9 81 59 f 则海水可看作良导体 衰减常数 和相位常数 分别为 397 01097 3 2 3 f 相速 35 p 1 582 101 582 10vf 波长 2 15 83 m 透入深度 m 52 2 1 波阻抗 3 w 1j 0 316 10 1j 0 099 1j 2 Zf 2 当MHz 10 f时 189 8810 9 8 2 海水也可近似看作良导体 衰减常数 和相位常数 分别为 55 121097 3 2 3 f 相速 36 p 1 582 105 00 10vf 波长 2 0 500 m 透入深度 m 080 0 1 波阻抗 3 w 1j 0 316 10 1j 3 139 1j 2 Zf 3 当GHz 10 f时 1089 010 9 8 10 9 81 19 f 海水也可近似看作弱导电媒质 衰减常数 和相 位常数 分别为 80 rad m 23 18 600 m sec f c 相速 8 p 1 10 m s 3 v 波长 2 1 m 300 透入深度 m 012 0 1 波阻抗 w 40 1j 1j0 045 23 Z 6 11 6 11 平面平面波在导电媒质波在导电媒质 rr 1 0 11 S m 中传播 电磁场的频率中传播 电磁场的频率1950f MHz 试求 试求 1 1 波在 波在 该媒质内的相速和波长 该媒质内的相速和波长 2 2 场强经过一个波长的衰减量 场强经过一个波长的衰减量 解解 1 因为 89 0 11 19 8 2 101 36 10 所以 2 11125 3 rad m 2 2 11131 8 m sec 2 5 于是有相速 8 p 0 94 10 m sv 波长 2 0 0477 m 2 场强经过一个波长的衰减量为 20loge51 88 dB 6 126 12 均匀平面波在无界导电媒质均匀平面波在无界导电媒质 rr 1 5 0 01 S m 中沿中沿z 方向传播 电场为方向传播 电场为y方向 方向 已知已知0z 处 电场强度的振幅处 电场强度的振幅 3 5 10 m E V m 初相位为零 若电磁波的频率为 初相位为零 若电磁波的频率为 8 10Hz 试求 试求 1 1 空间任意空间任意 点的点的E和和H的瞬时表达式 的瞬时表达式 1 1 媒质中传导电流与位移电流之比 媒质中传导电流与位移电流之比 解解 1 因为 89 0 01 0 36 2 101 36 10 5 所以 2 110 83 rad m 2 2 114 76 m sec 2 j4 95j0 086 w 163 5e163 5e 1j Z 于是 空间任意点的E和H的瞬时值可以表达成 30 8350 83 5 10 ecos 4 76 3 06 10 ecos 4 760 086 zz yx EetzHetz 2 媒质中传导电流与位移电流之比为 c 89 d 0 01 0 36 2 101 36 10 5 J J 6 146 14 试证明电磁波在良导体中传播时 场强每经过一个波长衰减试证明电磁波在良导体中传播时 场强每经过一个波长衰减 5555dB 证明 证明 在理想导体中 则场强每经过一个波长衰减为 2 2 20log e20log e20log e55dBL 6 166 16 均匀平面波由空气向理想介质均匀平面波由空气向理想介质 rr 1 1 平面垂直入射 已知分界面上平面垂直入射 已知分界面上 0 10E V m 0 0 25H A m 试求 试求 1 1 理想介质的 理想介质的 r 2 2 空气中的驻波比 空气中的驻波比 3 3 入射波 反射波和折射波的电磁 入射波 反射波和折射波的电磁 场 场 解解 1 利用波阻抗的表达式 00 w r00 1E Z H 可以得到 2 2 0 r 0 120 0 025 88 8 H E 2 w2 40Z w1 120 Z 垂直入射的反射系数为 w2w1 w2w1 0 808 ZZ ZZ 因此驻波比为 1 1 808 9 417 1 0 192 S 3 垂直入射的透射系数为 w2 w2w1 22 40 0 192 40 120 Z T ZZ 6 根据题意 已知分界面上V m 10 0 E 即 i00 TEE 所以有 i0 52 1 V mE i0i0w1 0 14 A mHEZ 设空气中的传播常数为 1 k 则理想介质中的传播常数 21 2kk 因此 入射波 反射波和透射波分别为 1121 1121 jjjj2 irt jjjj2 irt 52 1e42 2e10e10e 0 14e0 11e0 25e0 25e k zk zk zk z xxxx k zk zk zk z yyyy EeEeEee HeHeHee 6 6 1717 频率为频率为 300300MHz的均匀平面波由空气垂直入射到海面 已知海水的的均匀平面波由空气垂直入射到海面 已知海水的 r 81 r 1 4 S m 且海 且海 面的合成波磁场强度面的合成波磁场强度 3 0 5 10H A m 试求 试求 1 1 海面的合成电场强度 海面的合成电场强度 2 2 空气中的驻波比 空气中的驻波比 3 3 海面海面 下下 0 10 1m处的电场强度与磁场强度的振幅 处的电场强度与磁场强度的振幅 4 4 单位面积进入海水的平均功率 单位面积进入海水的平均功率 解 解 因为角频 8 2 6 10f 96 2 海水不能看作良导体 所以 Np m 28 58276 911 2 2 c rad m 205 81924 1211 2 2 c 1 海水波阻抗 j35 67 w 40 1j1j2 9623 67e 3 Z 海水表面的电场强度为 j35 67j35 67 0w0 23 67e0 118 V mEZ HHe 2 空气中波阻抗为 w0 120 Z 则反射系数 j ww0 ww0 19 23 13 80j 120 357 76 13 80j 0 903e 19 23 13 80j 120 396 22 13 80j ZZ ZZ 因此空气驻波比为 1 1 903 19 6 1 0 097 S 3 海面下 0 1 m 的电场强度和磁场强度为 j35 6758 28 0 1j35 675 828j35 67 0e 0 118ee0 118ee 3 474e V m z EE 358 28 0 15 0e 5 10 e1 47 10 A m z HH 4 平均坡印廷矢量为 av 1 Re 2 SEH 单位面积进入海水内的功率等于海表面处的平均坡印廷矢量的大小 即 242 av000w 11 Re Re 2 41 10 W m 22 SE HHZ 6 186 18 均匀平面波均匀平面波由空气垂直入射到理想介质由空气垂直入射到理想介质 rr 4 1 平面上 设其电场为平面上 设其电场为 0 j i0 je k z xy EeeE 试求 试求 反射波和透射波的电磁场强度复振幅 并指出它们各是何种极化 若是圆极化或椭圆极化 判断其旋转方向 反射波和透射波的电磁场强度复振幅 并指出它们各是何种极化 若是圆极化或椭圆极化 判断其旋转方向 解解 根据已知条件 可求出两媒质的波阻抗分别为 w1w2 120 120 460 ZZ 于是有 w2w1 w2w1 1 3 ZZ ZZ w2 2w1 22 3 w Z ZZ 由此可得 0 j r0 1 je 3 k z xy EeeE 0 j2 t0 2 je 3 k z xy EeeE 入射波和透射波是右旋圆极化波 反射波是左旋圆极化波 7 6 19 6 19 均匀平面波由理想介质均匀平面波由理想介质 rr 1 4 0 垂直入射到理想导体表面 测得距导体表面垂直入射到理想导体表面 测得距导体表面 0 750 75m和和 1 51 5m 处的电场为零 且导体表面的合成磁场处的电场为零 且导体表面的合成磁场 0 0 01H A m 初相位为零 试求电磁波的频率以及理想介质中 初相位为零 试求电磁波的频率以及理想介质中 合成电磁场的复矢量和导体表面的面电流密度复矢量 合成电磁场的复矢量和导体表面的面电流密度复矢量 解解 因为1 50 750 75 m 2 所以有 r 200 MHz vc f 导体表面的合成磁场 i0 0 w1 2 0 01 E H Z 即 0w1 i0 0 3 2 H Z E 由此可得 1i01 2 j2sinj0 6 sinV m 3 yy x EeEk xe i0 11 w1 22 cos0 01cosA m 3 zz Ex Hek xe Z n1i0 20 02 A m Sxx JeHeHe 6 206 20 试证明均匀平面波由理想介质垂直入射到良导体表面时 进入到良导体内的功率与入射功率之比约为试证明均匀平面波由理想介质垂直入射到良导体表面时 进入到良导体内的功率与入射功率之比约为 w1 4 S RZ 其中 其中 2 S R 是良导体的表面阻抗 是良导体的表面阻抗 w1 Z是理想介质的波阻抗 是理想介质的波阻抗 证明 证明 对于理想介质垂直入射到良导体的透射系数为 w2 w2w1 2Z T ZZ 式中 1 2 w2w 1j 1j 2 ZZ 为良导体的波阻抗 w1 Z 为理想介质的波阻 抗 对良导体 存在 w2w1 ZZ 则透射系数为 w2 w1 2Z T Z 设入射波电场为 j i0e kz x Ee E 则磁场 j 0 i w1 e kz y E He Z 平均坡印廷矢量为 2 0 aviii w1 11 Re 22 z E SEHe Z 透射波的电磁场为 2 j t0e k z x Ee TE 2 j 0 t w2 e k z y TE He Z 在良导体表面的平均坡印廷矢量为 22 avttt0 w2 111 Re Re 22 z SEHeTE Z 单位面积进入良导体内的功率等于良导体表面的平均坡印廷矢量大小 则进入到良导体的功率与入射功率之 比为 2 2 avtw2 w1w1 2 aviw2w1w1w1w1 44 4 41 2 Re 22 s SZR TZZ SZZZZZ 8 6 216 21 理想导体表面有一层厚度为理想导体表面有一层厚度为d的理想介质的理想介质 rr 1 10 0 均匀平面波由空气垂直入射到理想介质 均匀平面波由空气垂直入射到理想介质 表面 已知电磁波的频率为表面 已知电磁波的频率为 100100MHz 试求空气与理想介质分界处的反射系数和折射系数 试求空气与理想介质分界处的反射系数和折射系数 d为何值时 为何值时 该分界面处的电场强度的振幅值最大 该分界面处的电场强度的振幅值最大 解 解 第一区域内 11 jj 1i1r1 ee kz dkz d x EeEE 11 jj 1i1r1 w1 1 ee kz dkz d y HeEE Z 第二区域内 22 jj 2i2r2 ee k zk z x EeEE 22 jj 2i2r2 w2 1 ee k zk z y HeEE Z 第三区域内是理想导体 其电磁场为零 于是在第 2 分界面 0z 处 应满足的电磁场边界条件是 i2r2 0EE 即 r2i2 EE 而在第 1 分界面zd 上 应满足的电磁场边界条件是 22 jj i1r1i2r2 ee k dk d EEEE 22 jj i1r1i2r2 w1w2 11 ee k dk d EEEE ZZ 联立解得 w22w1r1 1 i1w22w1 jtan jtan Zk dZE EZk dZ i21 1 i12 1 j2sin E T Ek d 令 1 1 得到 88 43 10 10 10 40 237md 时分界面处的电场强度的振幅值最大 将 w3 0Z 代入公式 6 3 66 同样可以得到 1 和 1 T 6 236 23 在玻璃在玻璃 rr 4 1 上涂一层透明的介质膜片 可以消除红外线上涂一层透明的介质膜片 可以消除红外线 0 0 75 m 的反射 试求该介质膜的反射 试求该介质膜 片的厚度及其介电常数 若紫外线片的厚度及其介电常数 若紫外线 0 0 42 m 垂直照射时 有多少功率被反射 垂直照射时 有多少功率被反射 解 解 为了在第一区域内不存在反射波 即 1 0 必有 w1w1 w2w1w3w1 42 ZZ ZZ ZZ 即介质膜片的其介电常数 r 2 而介质膜片的厚度为 002 r 0 1325 m 444 2 d 若紫外线 0 0 42 m 垂直照射时 0 r 0 1325 m 4 d 即 1 0 此时 2 w2w3w1w2w1w32 w2w3w1 1 22 w2w3w1w2w1w32w2w3w1w2w1w32 w1 w1 w1 jtan jtanjtan 1 2 2 3j2 20 349932 2 jtan0 1325 0 422 2 ZZZZZ Zk d ZZZ ZZZZZ Zk dZZZZZ Zk d Z Z Z 即 2 1 2 2 1 0 1010 32 20 3499 由此可得 当紫外线 0 0 42 m 垂直照射时 有10 的入射功率被反射 9 6 246 24 一个月球卫星向月球上发射无线电波 测得布儒斯特角为一个月球卫星向月球上发射无线电波 测得布儒斯特角为60 试求月球表面的相对介电常数 试求月球表面的相对介电常数 r 解 解 由 2 B 12 arcsin60 和 10 解得 r 3 6 256 25 垂直极化波由水中以垂直极化波由水中以 i 20 的入射角投射到水与空气的分界面上 若淡水的的入射角投射到水与空气的分界面上 若淡水的 rr 1 81 0 试求 试求 反射系数 折射系数以及临界角反射系数 折射系数以及临界角 c 解 解 垂直极化波斜入射到水与空气的分界面上的临界角为 0 cr arcsin 1 6 379 显然 题意中入射角 ci 将发生全反射 则反射系数和透射系数变成 0 0 0 222 i21iiriiir 222 i21iiriiir j19 j38 j19 cos sincos1 sincosj sin1 cos sincos1 sincosj sin1 0 94j 0 1170 0120 94j0 3240 994e e 0 94j0 3240 94j 0 1170 012 0 994e 0 0 ii 22 i21ii21i j19 i j19 2 iir 2cos2cos cos sincos sin 2cos1 879 1 89e 0 994ecosj sin1 T 6 266 26 频率为频率为 3 3GHz的线极化平面波由空气向理想导体表面斜入射 入射角的线极化平面波由空气向理想导体表面斜入射 入射角 i 4 入射电场在导体表面处振 入射电场在导体表面处振 幅为幅为 1 1V m 初相位为零 方向与导体表面平行 试写出入射波 反射波和合成波的电磁场强度的复矢量 初相位为零 方向与导体表面平行 试写出入射波 反射波和合成波的电磁场强度的复矢量 并求合成波的坡印廷矢量并求合成波的坡印廷矢量的的平均值 平均值 解 解 这是一个垂直极化波斜入射到理想导体表面的问题 即1 由 1 20 kc i0 1E i 4 可以得到 1ii 1ii jsincosj10 2 ii0 jsincosj10 2 i0 iii w1 ee 2 cossinee 240 kxzx z yy kxzx z xzxz Ee Ee E Heeee Z 1rr 1rr jsincosj10 2 rr0 jsincosj10 2 r0 rrr w1 ee 2 cossinee 240 kxzx z yy kxzx z xzxz Ee Ee E Heeee Z 合成波的电磁场强度的复矢量 1ii1ii 1i jsincosjsincos 1i0 jsin i01i j10 2 ee j2sincose j2sin 10 2 e kxzkxz y k