波动方程能量积分1.pdf

第四章 双曲型方程第四章 双曲型方程 第5节 能量积分 惟一性和稳定性 关于波动方程解的稳定性和惟一性可利用能量积分 估计 5 1 能量积分 能量积分 2 2 1 2 1 0 0 0 5 1 0 0 0 R n tn n u autxx t u xx u xxxx u 其中有界区域 边界为 情形1 第一边值问题 其能量积分为其能量积分为 1 222 1 22 1 1 5 2 2 ni tn n xxx i E tuaudxdx uuuuu 其中 现以n 1 即弦振动方程为例 来说明能量积分的意义 dx x xx 在小弦段上在小弦段上 该弦段的质量为 该弦段的质量为 u x t t 弧段的速度为 它具有的动能为弧段的速度为 它具有的动能为 2 1 2 t u dx 又由于弦段的张力为又由于弦段的张力为T 该弦段伸长的长度为该弦段伸长的长度为 22 1 11 2 xx udxu dx 它具有的位能为它具有的位能为 2 1 2 x Tu dx注意到注意到 2 T a 于是于是 若不计常数因子的相差若不计常数因子的相差 则积分则积分 222 0 1 2 l tx ua udx 就是弦段就是弦段 0 l 在时刻在时刻t的总能量的总能量 如果将外力密度f也考虑进去 即考虑如下的第一边 值问题 2 2 11 2 1 0 0 5 3 0 0 0 nn tn u auf xx ttxx t u xx u xxxx u 其能量积分为其能量积分为 222 1 1 2 5 4 2 tn E tuaufu dxdx 2 2 1 2 1 0 0 0 0 5 5 0 n tn u auftxx t u xx u xxxx u n 情形2 第二边值问题 此时 有同样的能量积分为此时 有同样的能量积分为 222 1 1 2 5 4 2 tn E tuaufu dxdx 2 2 1 2 1 0 0 0 0 0 5 6 0 n tn u autxx t u xx u xxxx u u n 情形3 第三边值问题 此时 能量积分为此时 能量积分为 22222 1 11 5 7 22 tn E tuaudxdxau dS 现以n 1 来说明能量积分 5 7 的意义 0 0 0 5 8 xx xx l uuuu 此时边界条件为 而 此时边界条件为 而 222222 0 11 0 5 9 22 l tx E tuaudxautul t 弦段弦段 0 l 在时刻在时刻t的总能量为的总能量为 2 Tk a T 22 0 222 1 0 22 l tx k utul tua udx 注意到注意到 E t 与总能量相差一个常数因子与总能量相差一个常数因子 5 2 混合问题解的惟一性 则由 5 7 定义的能量积分E t 保持不变 即 2 2 2 0 2 0 0 0 0 5 10 0 R xxyy t u a uutxy t u x yx y u x yx yx y u u n 其中有界区域 边界为 定理 4 13 设函数u x y t 满足混合问题 0 dE t dt 222222 11 22 txy E tua uudxdyau dS 22 22 2 tttxxtyytt tttxxyyxtxyty t dE t u ua u uu udxdyau u dS dt u ua uudxdyau uu udxdy au u dS 证明 对n 2的情形 对应的能量积分为 上式关于t求导 并利用 5 10 中的方程 边界条件和 格林公式 有 222 222 0 tttxxyytt tttxxyytt u u ua uudxdyaudSau u dS n u ua uudxdyau udSau u dS 所以E t 是一个与t无关的常数 则E t E 0 下面利用能量守恒定律来证明混合问题解的惟一性 仍以二维空间波动方程的第三辺值问题为例 考虑 下面的混合问题 2 2 2 0 2 0 0 0 5 11 0 R xxyy t u a uuf x y ttx y t u x yx y u x yx yx y u u n 其中有界区域 边界为 定理4 14 若混合问题 5 11 有解 则解是惟一的 证明 设是混合问题的两个解 则他们的差 12 u u 12 uuu 是混合问题 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 5 12 0 xxyy t u a uutx y t u x yu x yx y u u n 的解 222222 11 0 22 txy E tua uudxdyau dSE 从而由定理4 13知 而在 5 12 中 E 0 0 所以 0 txy uuuuC 又因为 0 0 0 u x yu x y t 这样就证明了混合问题 5 11 的惟一性 5 3 能量不等式 引理4 6 积分形式的Gronwall不等式 u ttk t 设是 a b 上的非负连续函数 A是非负常数 且满足积分不等式 5 13 t a u tAs u sk s ds ta b 则当时 ta b exp exp 5 14 tts aaa u tdAk sdds t a v tAs u sk s ds 证明 令 14 则 u tv t v aA 微分v t 得 5 15 v tt v tk t 改写 5 15 成为 exp exp tt aa d dv tk td dt 积分上式 得 exp exp ttt aaa dv tv ak tdds 注意到 u tv t v aA 由此立得 5 14 推论4 6 微分形式的Gronwall不等式 tk t 设u t 是 a b 上的非负连续可微函数 是 a b 上的 非负连续函数且满足积分不等式 u tt u tk tta b 则当时 ta b exp exp tts aaa u tdu ak sdds 利用Gronwall不等式可建立下面的能量不等式 16 设设u x y t 在上可积 记在上可积 记 将将 5 16 关于关于t求导求导 利用利用Cauchy 不等式得 不等式得 2 0 1 5 16 2 E tux y t dxdy 2 L 22 0 0 11 22 tt E tuu dxdyu dxdyu dxdy E tE t 利用利用Gronwall 不等式得 不等式得 00 0 0 5 17 t tt E te Eee Ed 由于混合问题由于混合问题 5 10 的能量守恒的能量守恒 即即E t E 0 17 00 0 0 1 5 18 tt E te EEe 故上式可写为 上式是与混合问题 故上式可写为 上式是与混合问题 5 10 的解有关的一个估计式 称它为能量不等式 通常称为先验估计 的解有关的一个估计式 称它为能量不等式 通常称为先验估计 应用应用 5 18 可得到混合问题的解对初始数据的解的 连续依赖性 可得到混合问题的解对初始数据的解的 连续依赖性 定理定理4 15 混合问题 混合问题 5 11 的解 在下述意义下关 于初始数据是稳定的 的解 在下述意义下关 于初始数据是稳定的 即对于任意给定的即对于任意给定的0 总存在正数只要总存在正数只要 18 22 2 2 2 1212 1212 12 LL xxyy L L L 满足 满足 2 12 22 12 0 L T utut u x y tux y tdxdydtT 20 能量不等式能量不等式 5 18 可写成可写成0 tT 当时 0 0 2222222 0 0 1 11 1 22 TT TT xy E t e EEe edxdyeadxdyadS 2 22 2 2 2 2 12 22 1212 2 2 2 1212 2 2 12 L T LL xxyy L L L utut e a a 即 21 2 12 22 22 22 22 L T T utut eaa eaa 即 取 2 12 L utut 上式平方后在上式平方后在 0 T 上关于上关于t积分后可得积分后可得 22 12 0 T u x y tux y tdxdydtT 证明当自由项证明当自由项f 很小很小 时时 对应的解也是对应的解也是 很小很小 的的 00 0 0 5 17 t tt E te Eee Ed 为此为此 利用能量不等式 将不等式 利用能量不等式 将不等式 5 19 中的中的E t 代入上式代入上式 并注意到并注意到 0 0 0 0 0 EE 2 0 00 1 0 2 TT TT E