巧解旋转变换.doc

旋转变换，巧妙解题图形与变换是新课程标准明确规定的重要内容之一,有利于培养实践与操作能力,形成空间观念和运动变化意识.本文试就旋转变换思想在数学试题中的应用加以说明。关于旋转变换知识归纳：1定义:在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度形成新的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角。旋转变换分为全等变换和相似变换。2旋转的三个基本要素：旋转中心，旋转方向，旋转角.3基本特征：（1）图形上的每个点同时都按相同方式转动相同的角度，即任意一对对应点与旋转中心连线所成的夹角都是旋转角，图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；（2）旋转中心在旋转过程中始终保持不动，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等；（3）旋转不改变图形的大小和形状（即旋转前后的两个图形是全等图形），只是位置发生了变化.应用情况常见的题型有填空、选择、作图、综合题等。常结合平移、轴对称、三角形相似（全等）、勾股定理、方程、函数等知识进行综合应用。解这类题要求考生具备扎实数学的基本功,较强的观察力,丰富的想象力及综合分析问题的能力,解题时要切实把握几何图形运动过程,并注意运动过程中特殊位置,在动中求静,在静中探求动的一般规律.抓住图形旋转前后哪些是不变的量，哪些是变化的量。现就07年全国各省市中考试题中出现的一些典型试题加以说明。一、四边形作旋转（一）正方形作旋转例1（07年台州市）把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点（如图1）试问线段与线段相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想分析：（1）由已知正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，所以可得；（2）要证明线段与线段相等只需证明这两条线段所在的两个三角形是否全等即可；或证明GHB是否为等腰三角形也可以。解：证法1：连结，四边形，都是正方形由题意知，又，证法2：连结四边形都是正方形，由题意知例2（2007四川资阳市）如图2-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PEBC于点E，PFCD于点F.(1) 求证：BP=DP；(2) 如图2-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .分析：在ABP与ADP中，利用全等可得BP=DP.当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP DCBP，此时BP=DP不成立. 不是总成立 .连接BE、DF，则BE与DF始终相等. 在图2-1中，可证四边形PECF为正方形，同时可证PECPFC . 从而有BE=DF . 略解： 解法一：在ABP与ADP中，利用全等可得BP=DP. 解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP. 不是总成立 . 当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP DCBP，此时BP=DP不成立. 连接BE、DF，则BE与DF始终相等.在图2-1中，可证四边形PECF为正方形， 在BEC与DFC中，可证BECDFC . 从而有BE=DF . （二）梯形作旋转例3（2007湖北孝感）如图31，在平面直角坐标系中，先把梯形ABCD向左平移6个单位长度得到梯形 .（1）请你在平面直角坐标系中画出梯形 ；（2）以点C1为旋转中心，把（1）中画出的梯形绕点C1顺时针方向旋转90得到梯形 ，请你画出梯形 分析：根据平移的两要素（方向、距离）、旋转三要素准确画图即可。图31图32二、三角形作旋转（一）直接运用旋转知识解题例题4（07年泰安市）如图4，在中，将绕点按逆时针方向旋转至，点的坐标为（0，4）（1）求点的坐标；（2）求过，三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中的抛物线上是否存在点，使以为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由分析：（1）本题平面直角坐标系中求点的坐标可以求出线段AB、OB的长；绕点按逆时针方向旋转至，所以ABAB、OB=OB;而中，所以可求。（2）由，三点坐标可直接求出抛物线解析式。（3）因为三点皆可能为直角顶点，所以应分三种情况讨论。解：（1）过点作垂直于轴，垂足为则四边形为矩形在中，点的坐标为（2）C（0,4）在抛物线上，A（4,0），在抛物线上解之得所求解析式为（3）若以点为直角顶点，由于，点在抛物线上，则点为满足条件的点若以点为直角顶点，则使为等腰直角三角形的点的坐标应为或，经计算知；此两点不在抛物线上若以点为直角顶点，则使为等腰直角三角形的点的坐标应为或，经计算知；此两点也不在抛物线上综上述在抛物线上只有一点使为等腰直角三角形例题5（07年德阳市）如图5，把一副三角板如图51放置，其中，D30，斜边AB=6cm，DC7cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15得到如图52这时AB与相交于点，与AB相交于点F（1）求的度数；（2）求线段的长（3）若把三角形绕着点C顺时针再旋转得，这时点B在的内部、外部、还是边上？证明你的判断分析：（1）考虑外角知识=1+B即可；（2）考虑特殊三角形边角关系即可；（3）通过计算得到CB，然后判断CB与CB大小即可。解：（1），又，（2）连结，又，又，又，在中，（3）点在内部理由如下：设（或延长线）交于点，在中，又，即，点在内部例题6（07年临沂市）如图61，已知ABC中，ABBC1，ABC90，把一块含30角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。(1)在图61中，DE交AB于M，DF交BC于N。证明DMDN；在这一旋转过程中，直角三角板DEF与ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；(2)继续旋转至如图62的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DMDN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)继续旋转至如图63的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DMDN是否仍然成立？请写出结论，不用证明。分析：本题三个问题只要证明BMDCND即可。解：证明:连接DB.在RtABC中，ABBC,ADDC.DBDCAD,BDC90，方法一:ABDC45.MDBBDNCDNBDN90,MDBNDC,BMDCND,DMDN. 方法二:ADBN45.ADMMDBBDNMDB90,ADMBDN,ADMBDN,DMDN 四边形DMBN的面积不发生变化，由知BMDCND,DMDN仍然成立,证明:连结DB.在RtABC中，ABBC,ADDC.DBDC,BDC90，DCBDBC45,DBMDCN135.NDCCDMBDMCDM90,CDNBDM,BMDCND,DMDN DMDN.（二）平移与旋转知识相结合例7如图71，是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和CDE叠放在一起（点C与C重合）（1）操作：固定ABC，将CDE绕点C顺时针旋转30得到CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于点F，如图72探究：在图72中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论；（2）操作：将图72中的CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位长的速度平移，平移后的CDE设为PQR，如图73探究：设PQR移动的时间为xs，PQR与AFC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（3）操作：固定图71中CDE，将ABC移动，使顶点C落在CE的中点，边BC交DE于点M，边A C与DE交于点N，设A C C=（3090），如图74探究：在图74中，线段CNEM的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请求出CNEM的值；如果有变化，请说明理由（07河北省）分析：（1）CDE绕点C顺时针旋转30得到CDE，即可知BCEACD；（2）由特殊角QTC=TCQ=30可知QT=CQ=x所以QSC面积能用x表示。PQR与AFC重叠部分的面积为y应为PQR的面积与QSC面积之差。（3）线段CN、EM在 EM C与CCN中，只需这两个三角形相似即可。解：（1）BE=AD证明：ABC与DCE都是等边三角形，ACB =DCE=60CA=CB，CE=CD，BCE =ACDBCEACDBE = AD（也可以用旋转的方法证明BE = AD）；（2）设RQ与AC交于点T，RP与AC交于点S，在QTC中，TCQ=30，RQT=60，QTC=30QTC =TCQQT=CQ=xRT=3xRTS +R=90，RST =90y=（0x3）；（3）CNEM不变证明：AC C=60，MC E+NCC=120CN C +NCC=120，MC E=CN C E= C，EM CCCNCNEM= CCEC=（三）平移与旋转、轴对称三种变换相结合例8（2007浙江义乌）如图81，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图82），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30，再将这两张三角纸片摆成如图83的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图83至图86中统一用F表示）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。（1）将图83中的ABF沿BD向右平移到图84的位置，使点B与点F 重合，请求出平移的距离；（2）将图83中的ABF绕点F顺时针方向旋转30到图85的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；（3）将图83中的ABF沿直线AF翻折到图86的位置，AB1交DE于点H，请证明：AHDH分析：（1）图形平移的距离就是线段BC的长；（2）ABF绕点F顺时针方向旋转30后知FAB1FA 30,可知GFD是直角三角形；（3）只需证明AH、DH所在的两个三角形全等即可。解：（1）图形平移的距离就是线段BC的长又在RtABC中，斜边长为10cm，BAC=30，BC=5cm，平移的距离为5cm（2）FA30，D=30在RtEFD中，ED=10 cm，FD=，FGcm。（3）AHE与中，FDFA，所以EFFBFB1，即AED又，（AAS），AH=DH（四）旋转相似变换例题9（07年南京市）在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角（1）填空：如图91，将以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60，得到，这个旋转相似变换记为A（）；如图92，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则段的长为；（2）如图93，分别以锐角三角形的三边，为边向外作正方形，点，分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用与，与之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段与之间的关系分析：理解旋转相似变换的有关概念是解决本题的关键。解：解：（1）2， 60；2；（2）经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段；经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段 AO，三、角作旋转例10（07年佳木斯）已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，ABC120，MBN=60，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F当MBN绕B点旋转到AECF时（如图101），易证AE+CFEF当MBN绕B点旋转到AECF时，在图102和图93这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明分析：判断线段AE+CFEF是否成立可用用截长或补短法进行探究。解：图102成立，图103不成立证明图102如图104。延长DC至点K，使CKAK，连接BK，则，即图103不成立，的关系是四、直线作旋转例11（2007江西省）在同一平面直角坐标系中有6个点：A（1,1）,B（-3，-1），C（-3，1），D（-2，-2），E（-2，-3），F（0，-4）（1）画出的外接圆P，并指出点D与P的位置关系；（2）若将直线沿轴向上平移，当它经过点D时，设此时的直线为判断直线与P的位置关系，并说明理由；再将直线绕点D按顺时针方向旋转，当它经过点C时，设此时的直线为求直线与P的劣弧CD围成的图形的面积（结果保留）分析：（1）判断点D与P的位置关系，只需求出PD的长与P的半径进行比较即可；（2）判断直线与P的位置关系，首先看点D是否在P上，若在P上则只需；若不在P上则过点P作PM证明PM=即可；（3）所求面积为扇形DPC与三角形DPC的面积之差。解：（1）所画P如图所示，由图可知P的半径为，而点D在P上（2）直线向上平移1个单位经过点，且经过点，则，直线与P相切，直线与劣弧围成的图形的面积为五、线段作旋转