用二分法求方程的近似解教学设计.docVIP

普通高中课程标准实验教科书(人民教育出版社)A 版数学(必修1) 第三章 函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解山东省枣庄市薛城舜耕中学李 勇2009年2月3.1.2用二分法求方程的近似解教学目标 知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器、信息技术用二分法求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用过程与方法 在用计算器、信息技术求方程近似解的过程中了解二分法的数学思想，并为学习算法做准备情感、态度、价值观 体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一教学重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识教学难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解教材分析本节课注重从学生已有的基础(一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质)出发，从具体(一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标之间的关系)到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系.在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔.教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中，介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献.学情分析通过本节课的学习，使学生在知识上学会用“二分法”求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系；在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力.这就要求学生除了能熟练地运用计算器演算以外，还要能借助几何画板4.06中文版中的“绘制新函数”功能画出基本初等函数的图象，掌握Microsoft Excel软件一些基本的操作.教学媒体分析多媒体微机室、Authorware7.02中文版、几何画板4.06中文版、Microsoft Excel、QBASIC语言应用程序教学方法动手操作、分组讨论、合作交流、课后实践教学环节设计流程图教学设计理念1.构建共同基础，提供发展平台；2.提供多样解法，适应个性选择；3.倡导积极主动、勇于探索的学习方式；4.注重提高学生的数学思维能力；5.发展学生的数学应用意识；6.与时俱进地认识“双基”；7.强调本质，注意适度形式化；8.体现数学的文化价值；9.注重信息技术与数学课程的整合；10.建立合理、科学的评价体系.教学过程与操作设计： 环节教学内容设计师生双边互动信息技术应用情境导航中外历史上的方程求解在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点（即的根），对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）我国古代数学家贾宪、秦九韶都比较系统地解决了部分方程求解的问题.在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式1824年，挪威年轻数学家阿贝尔（N. H. Abel，1802-1829）成功地证明了五次以上一般方程没有根式解1828年，法国天才数学家伽罗瓦（E.Galois，1811-1832）巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，因此对于高次多项式函数及其它一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题师：介绍中外历史上的方程求解问题，从高次代数方程解的探索历程引导学生认识引入二分法的意义，从而引入课题生：感受到数学文化方面的熏陶，最大限度的调动学生的学习兴趣，提高学习的积极性和主动性.Authorware7.02课件展示探索发现这节课就让我们来共同学习一下 3.1.2用二分法求方程的近似解想一想我们已经知道，函数在区间（2，3）内有零点，且0，0，由于在定义域（0，+）内是增函数，所以它仅有一个零点.进一步的问题是，如何找出这个零点？ 小游戏：看商品，猜价格做一做求函数的零点（精确度0.1）取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得(2.5)0.084.因为 (2.5)0，所以零点在区间(2.5，3)内， 精确度为|32.5|=0.50.1 取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得(2.75)0.512. 因为 (2.5)(2.75)0，所以零点在区间(2.5，2.75)内，精确度为|2.752.5|=0.250.1师：通过小游戏让学生体会二分法在生活中的应用，从而自然地通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到函数零点的近似值. 师：引导学生分析理解求区间，的中点的方法几何画板4.06中文版演示计算结果环节教学内容设计师生双边互动信息技术应用探索发现取区间(2.5，2.75)的中点2.625，用计算器算得(2.625)0.215.因为 (2.5)0，所以零点在区间(2.5，2.625)内， 精确度为|2.6252.5|=0.1250.1 取区间(2.5，2.625)的中点2.5625，用计算器算得(2.5625)0.066. 因为 (2.5)(2.5625)0，所以零点在区间(2.5，2.5625)内，精确度为|2.56252.5|=0.06250.1当精确度为0.1时，由于|2.56252.5|=0.06250.1，所以，我们可以将=2.5作为函数零点的近似值，也即方程根的近似值.师：这样，在一定精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值.Authorware7.02课件展示探索发现议一议：你能说出二分法的意定义及用二分法求函数零点近似值的步骤吗？1.二分法的定义对于在区间，上连续不断且满足0的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)2.给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：（在讲课过程中，为了便于学生理解，步骤有所简化）(1)确定区间，验证0，给定精确度；(2)求区间，的中点； (3)计算： 若=，则就是函数的零点； 若0，则令=（此时零点）； 若0，则令=（此时零点）；(4)判断是否达到精确度；即若，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤2-4结论: 由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解，即求函数零点的近似值.师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤师：分析条件“0 ”、“精确度”、“区间中点”及“”的意义生：结合求函数在区间（2，3）内的零点，理解二分法的算法思想与计算原理Authorware7.02课件展示环节教学内容设计师生双边互动信息技术应用合作探究由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以借助几何画板4.06中文版软件和Microsoft Excel软件来完成计算.求函数的零点（精确度0.1）学生在教师引导下操作师：第一步：打开几何画板4.06中文版软件.第二步：点击工具栏中的“图表”，选中“绘制新函数(Ctrl+G)”，或在工作区中点击右键，选中“绘制新函数”.第三步：在弹出的对话框中输入，点击“确定”.几何画板4.06中文版环节教学内容设计师生双边互动信息技术应用合作探究第四步：观察函数图象，确定零点所在的大致区间为(2，3).第五步:打开Microsoft Excel软件第六步: 分别在单元格A1、B1、C1输入、精确度，在C2输入0.5，分别在A2、A3输入2、2.5，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖动“填充柄”到单元格内出现填充值3时为止，完成自动填充.几何画板4.06中文版Microsoft Excel软件环节教学内容设计师生双边互动信息技术应用合作探究第七步: 在B2单元格点击“粘贴函数”，输入函数值公式“=lnA2+2*A2-6”，得到与A2相应的函数值.函数名：LN（number）返回给定数值的自然对数Number：准备求取其自然对数的正实数第八步:然后双击(或拖动)B2的“填充柄”，得到与第一列相应的函数值.生：观察所得函数值，所以零点在区间(2.5，3)内. 第九步：重复上述操作：将A1、B1、C1复制到A5、B5、C5，把精确度设为0.25，在A6、A7分别输入2.5、2.75，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖动“填充柄”到单元格内出现填充值3时为止，完成自动填充.复制B3到 B6，得到与A6相应的函数值，然后双击(或拖动)B6的“填充柄”，得到与第一列相应的函数值.生：观察所得函数值，所以零点在区间(2.5，2.75)内.Microsoft Excel软件环节教学内容设计师生双边互动信息技术应用合作探究结论：借助信息技术求方程近似解(函数零点)的步骤如下：1.利用绘图软件(如：几何画板4.06中文版)画出函数图象，观察图象确定函数零点所在的大致区间；2.利用Microsoft Excel软件逐步计算解答，达到要求的精确度为止；3.得出方程的近似解第十步：重复上述过程，将精确度设为上次操作的一半，直到小于0.1为止，特别地，这时可以将区间端点作为零点的近似值.生：观察所得函数值，并且精确度为0.06250.1，所以零点在区间(2.5 ，2.5625)内，=2.5可以为函数的零点，即方程的近似解.Microsoft Excel软件知识拓展程序语句：INPUT “， =”；，DO=(+)/2=LOG()+2*6=LOG()+2*6IF *0 THEN= ELSE =END IFLOOP UNTIL ABS(-) OR =0PRINT END打开QBASIC文件师：输入零点的大致区间和精确度，执行程序，检验程序运行结果的正确性QBASIC语言应用程序程序语句：INPUT “， =”；，DO=(+)/2=LOG()+2*6=LOG()+2*6IF *0 THEN= ELSE =END IFLOOP UNTIL ABS(-) OR =0PRINT END打开QBASIC文件师：输入零点的大致区间和精确度，执行程序，检验程序运行结果的正确性QBASIC语言应用程序环节教学内容设计师生双边互动信息技术应用学以致用尝试练习：选择你喜欢的方式用二分法求方程的近似解(精确度0.1)解： 方法一：用计算器进行计算方法二：借助信息技术第一步：作出函数的图象，观察图象确定函数零点所在的大致区间为 ；打开几何画板第二步：利用Microsoft Excel软件逐步计算解答，达到要求的精确度为止.打开Excel结论：= 可以为函数的零点 (精确度0.1)方法三：编写程序解答函数名：POWER（number, power）计算某数的乘幂Number 底数，任何实数Power 幂值Authorware7.02课件展示几何画板4.06中文版Microsoft Excel软件课后实践1.有兴趣的同学可以自学QBASIC