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剖析解题过程 展示思维发展一道中考题的多解、剖析及反思 罗银求 （深圳市光明新区实验学校 518106） 今年6月，笔者有幸参加了深圳市2011年的中考数学阅卷工作，批阅了第20题的两千多份试卷。学生答题方式多样，解题思维灵活、敏捷，让人为之兴奋、鼓舞。现将试卷中呈现的各种解法（包括典型错误解法）及思维过程进行归纳、总结，以供大家参考、学习。一试题呈现如图1，在O中，点C为劣弧AB的中点，连接AC并延长至D，使CA=CD，连接DB并延长交O于点E，连接AE.（1）求证：AE是O的直径；（2）如图2，连接CE，O的半径为5，AC长为4，求阴影部分面积之和.(保留与根号)（解法略）二解题过程及剖析（1）典型错误方法 解：如图，连接CE 点C为劣弧AB的中点 1=2在ECD和ECA中 ECDECA（SSA）ECD=ECA=90 AE是O的直径【剖析】考生受条件“点C为劣弧AB的中点，CA=CD”的迁移，连接CE，通过证明ECD=90，从而证明AE是O的直径。很明显，要证ECA=90，即证，ECDECA。而在证明三角形全等、寻找全等条件过程中，思维直观、不深入，仅能找到条件1=2，CA=CD，而无法找到其他条件。只有运用所谓的“SSA”定理，可能心里明知道是错误，也只好硬着头皮骗自己了，真有点“为赋新词强说愁”的感觉。这是一种典型的错误做法。徐利治教授认为，数学上的新思维和新方法往往发源于发散思维，按照现行心理学家的见解，数学家创造能力的大小应和他的发散思维能力成正比。而在此题求证中，由于受条件的负迁移影响，思维方式单一、定势，不会扩散，不善于创新，陷入了“走入死胡同”的绝境。全市约有20的同学采用了这种做法。（2）几种常见的正确方法 方法1 解：如图，连接CE、BC 点C为劣弧AB的中点1=2， AC=BC又CA=CDBC=CDCBD=D又CBD=AA=D在ECA和ECD中 ECAECD（AAS）ECA=ECD=90 AE是O的直径方法2 解：如图，连接CE 点C为劣弧AB的中点1=2，(角平分线定理)CA=CDAE=DE在ECA和ECD中 ECAECD（SSS）ECA=ECD=90 AE是O的直径【剖析】在方法1中，仍然是通过证明ECDECA，ECD=ECA=90来达到目的。但、此时学生已经突破了无法找到全等条件的瓶颈，充分利用已知条件，进行了深层思维，利用CBD=A（圆的内接四边形的一个外角等于不相邻的内对角），CB=CD推出CBD=D，历经艰难，从而导出A=D。在方法2中，仍沿袭突破方法1的思维方向，通过证明ECDECA来达到证明目的。而在寻找全等的条件中，有了全新的突破：利用角平分线定理，找到AE=DE，从而利用SSS定理证明（也可以利用解题）。而角平分线定理在目前是超纲知识点，是基础较好、学有余力的考生才能找到的。这些学生能充分挖掘已知条件，利用角平分线定理，体现了思维的敏捷性。纵观方法1、方法2的思维过程，可以看出对于同一题所呈现的知识背景，学生在内化知识中，所占的重要程度不同，方法1的同学运用了“圆的内接四边形的一个外角等于不相邻的内对角”，而方法2的同学却敏锐观察到了“利用角平分线定理”。两种方法充分反映了思维的差异性、灵活性。不过比较两种解题过程，思维层次仍是同一层次，比较直观、常态、封闭、单一。方法3 解：如图，连接AB、BC， 点C是劣弧AB上的中点 CACB 又CDCA CBCDCA 在ABD中，CB=AD ABD90 ABE90 AE是O的直径方法4 解：作CFAB交于点F。 点C是劣弧AB上的中点 ，CFAB AF=BF AC=CD，AF=BF CF是ABD的中位线 FCBD CFAB ABBD ABE90 AE是O的直径方法5 解： 连接OC交AB于F点 点C是劣弧AB上的中点 ABOC，AF=BF AC=CD，AF=BF，FAC=FAC AFCBAD ABD=AFC=90 AE是O的直径【剖析】在方法3中，考生利用AC=BC=CD，得到ABD90，从而证明出AE是O的直径。解题思维迥异于前面几种方式，辅助线是连接AB、BC，不再受条件影响，连接EC，思维方式更深层次，思维灵活、简洁。本题的参考答案也正是这种方法。在方法4中，考生利用垂径定理、中位线定理。充分利用条件“C是劣弧AB的中点”，“咬定靑山不放松”，深度思维，联想到垂径定理从而解题。思维新颖、方法灵活。方法5同方法4的解题过程差不多都是重点利用垂径定理。其实在方法5中，利用“AFCBAD”和方法4利用“中位线定理”都是一脉相承、大同小异，所不同的是连接OC，直接连接圆心。 通过方法3、4、5与方法1、2的比较，不难看出，后三种方法运用了九年级所学的垂径定理、矩形的推论（九年级上学期的第97页），思维迅速转换，不再受方法1、2思维影响，克服思维定势的消极作用，化生为熟，彰显了思维的灵活性。同时，我们也可以看到，方法3通过证“CBCDCA”而达到问题解决；而方法4、5是通过运用“垂径定理”得证。考生能在复杂、繁多的已知条件中，独立思考，分析能从与众不同的角度观察问题，产生不同的解题结果，体现了思维的深刻性与独创性。（3）值得商酌的方法 解：如图，连接CE 点C为劣弧AB的中点1=2AC=CDECD=ECA=90 AE是O的直径【剖析】这种解法，怕是除考生自己以外，出题老师自己都没有想到的一种解题方式：角平分线+中线垂直。这种解法所运用的知识原理，在课本没有作为知识点专门列出，从知识层面来说是有待证明、超纲的，但也是正确的。其证明方法如下： 证明：如图，延长AD至E使得AD=DE ,连接CE AD=DE，ADB=CDE，BD=CDABDECD（SAS）1=3 又 1=23=2 ACE是等腰三角形。又 AD=DE，CDAD(三线合一)实际上，在一个三角形中，若具备上述三个条件中的任何两个，则第三个条件一定成立，（其他两种情况证明较简单略）。这些结论很类似于等腰三角形的“三线合一”。但又有别于“三线合一”。“三线合一”的前提条件是等腰三角形。正是如此，以至在改卷过程中，究竟怎样给分，引起一定的争执。最后综合评定还是其正确、合理。当然有一部分学生是随心所欲，靠运气得分了。笔者在评卷中，总有一种心情：给分，很难受、觉得不公平、不舒服;扣分，又确定是正确的，左右为难。如此解题，究竟正确、合理与否？老师们可以讨论、商酌。三几点反思：1、适当深化、拓展知识点。纵观考生的解题，在解答中，拓展运用了角平分线定理、中位线定理、垂径定理等超纲知识点。全日制义务教育数学课程标准指出：义务阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现；人人学有价值的数学；人人都能获得必须的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。正是为了满足不同学生的需求，适当拓展知识，满足有特殊数学学习的学生的需求，提高解题能力，更好的发展其思维能力，从而达到不同的人在数学上的不同发展。多一个方法，多一条路;多一种思维，多一座桥。在九年级教学及复习备考中适当深化、拓展数学知识点很有必要。2、注重变式训练、一题多解的练习。本题的解题方法有六，七中之多，而均分只有3.47分，得分率44%（本题8分），是整张试卷中得分率较低试题之一（仅次于最后一题）。本题的解题方法多，得分率却低，可见变式训练、一题多解练习至关重要。变式练习中的一题多解训练，就是启发和引导学生从不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的运算过程去分析、解答同一道数学题的师生活动。其目的，不仅仅是激发了学生的学习兴趣，充分调动学生的思维的积极性；而且更大限度的开阔了学生的思路，培养和发挥了学生的创造性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技巧和技能。实验表明，通过对多层次的变式构造，使学生对问题解决过程及问题本身的结构有了一个更清晰的认识，是学生活动的积极体验，是提高问题解决能力的一条有效途径。3、注重课本典型例题的研究与挖掘。本试题的原型在九年级下册第113页（北师大版）。原题及图形如下：如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到C，使AC=AB。BD与CD的大小有什么关系？为什么？。本题最初考察的是“直径所对的圆周角是直角”及等腰三角形“三线合一”定理的综合运用。在本题中增加条件：点C为劣弧AB的中点。正是由于条件强化，改变，以圆为背景、基础，综合了三角形全等、垂