算符 (物理学) - 维基百科,自由的百科全书.pdf

4 18 13 1 10https zh wikipedia org wiki 算符 物理學 维基百科 自由的百科全书 在物理學裏 算符 operator 又稱算子 作用於物理系統的狀態空間 使得物理系統從某種狀態變換為 另外一種狀態 這變換可能相當複雜 需要用很多方程式來表明 假若能夠使用算符來代表 可以更為簡單 扼要地表達論述 對於很多案例 假若作用的對象有所迥異 算符的物理行為也會不同 但是 對於有些案例 算符的物理行 為具有一般性 這時 就可以將論題抽象化 專注於研究算符的物理行為 不必顧慮到狀態的獨特性 這方 法比較適用於一些像對稱性或守恆定律的論題 因此 在經典力學裏 算符是很有用的工具 在量子力學 裏 算符為理論表述不可或缺的要素 對於更深奧的理論研究 可能會遇到很艱難的數學問題 算符理論 operator theory 能夠提供高功能的 架構 使得數學推導更為簡潔精緻 易讀易懂 更能展現出內中物理涵意 一般而言 在經典力學裏的算符大多作用於函數 這些函數的參數為各種各樣的物理量 算符將某函數映 射為另一種函數 這種算符稱為 函數算符 在量子力學裏的算符稱為 量子算符 作用的對象是量子 態 量子算符將某量子態映射為另一種量子態 目录 1 經典力學 1 1 經典力學算符表格 1 2 生成元概念 1 3 指數映射 2 量子力學 2 1 量子算符 2 2 期望值 2 3 對易算符 2 4 厄米算符 2 5 矩陣力學 2 6 量子算符表格 2 7 範例 2 7 1 位置算符 2 7 2 動量算符 3 參閱 4 參考文獻 經典力學 在經典力學裏 粒子 或一群粒子 的動力行為是由拉格朗日量 或哈密頓量 決 定 其中 分別是廣義坐標 廣義速度 是共軛動量 是時間 假設拉格朗日量 或哈密頓量 與某廣義坐標 無關 則當 有所改變時 或 仍舊會保持 不變 這意味著粒子的動力行為也會保持不變 對應於 的共軛動量 守恆 對於廣義坐標 的改 變 動力行為所具有的不變性是一種對稱性 在經典力學裏 當研讀有關對稱性的課題時 算符是很有用的 工具 特別而言 假設對於某種群 的變換運算 物理系統的哈密頓量是個不變量 也就是說 假設 在這案例裏 所有 的元素 都是物理算符 能夠將物理系統從某種狀態變換為另一種狀態 儘管 4 18 13 2 10https zh wikipedia org wiki 作用於這物理系統 哈密頓量守恆不變 舉一個關於平移於空間的簡單例子 平移算符 能夠將粒子從坐標為 移動至坐標為 以 方程式表示 其中 是描述一群粒子的密度函數 給定一個對於平移變換具有不變性的物理系統 則儘管 的作用 這物理系統的哈密頓量 是個不變 量 對應於坐標 的動量 守恆 經典力學算符表格 算符標記位置動量 平移算符 時間演化算符 旋轉算符 伽利略變換算符 宇稱算符 時間反演算符 是旋轉矩陣 是旋轉軸向量 是旋轉角弧 生成元概念 對於一個微小的平移變換 猜測平移算符的形式為 其中 是 單位算符 變換群的單位元 是微小參數 是專門用來設定平移變換群的生成元 為了簡化論述 只考慮一維案例 推導平移於一維空間的生成元 將平移算符 作用於函數 由於 很微小 可以泰勒近似 為 重寫平移算符的方程式為 其中 導數算符 是平移群的生成元 總結 平移群的生成元是導數算符 指數映射 在正常狀況下 通過指數映射 可以從生成元得到整個群 對於平移於空間這案例 重複地做 次微小平 移變換 來代替一個有限值為 的平移變換 4 18 13 3 10https zh wikipedia org wiki 現在 讓 變得無窮大 則因子 趨於無窮小 這表達式的極限為指數函數 核對這結果的正確性 將指數函數泰勒展開為冪級數 這方程式的右手邊可以重寫為 這正是 的泰勒級數 也是 的原本表達式結果 物理算符的數學性質是很重要的研讀論題 更多相關內容 請參閱條目C 代数與蓋爾范德 奈馬克定 理 Gelfand Naimark theorem 量子力學 在量子力學裏 算符的功能被發揮地淋漓盡致 量子力學的數學表述建立於算符的概念 量子系統的量子 態可以用態向量設定 態向量是向量空間的單位範數向量 在向量空間內 量子算符作用於量子態 使它改 變到另一個量子態 由於物體的態向量範數應該保持不變 量子算符必須是么正算符 物理實驗中可以觀測到的物理量稱為可觀察量 每一個可觀察量 都有其對應的算符 可觀察量的算符也許 會有很多本徵值與本徵態 根據統計詮釋 每一次測量的結果只能是其中的一個本徵值 而且 測得這本徵 值的機會呈機率性 量子系統的量子態也會改變為對應於本徵值的本徵態 1 106 109 量子算符 假設 物理量 是某量子系統的可觀察量 其對應的量子算符 可能有很多不同的本徵值 與對應的 本徵態 這些本徵態 形成了具有正交歸一性的基底 1 96 99 其中 是克羅內克函數 假設 某量子系統的量子態為 其中 是複係數 是在 裏找到 的機率幅 2 50 測量這動作將量子態 改變為本徵態 的機率為 測量結果是本徵值 的機率也為 期望值 在量子力學裏 重複地做同樣實驗 通常會得到不同的測量結果 期望值是理論平均值 可以用來預測測量 結果的統計平均值 4 18 13 4 10https zh wikipedia org wiki 採用狄拉克標記 對於量子系統的量子態 可觀察量 的期望值 定義為 2 24 25 其中 是對應於可觀察量 的算符 將算符 作用於量子態 會形成新量子態 從左邊乘以量子態 經過一番運算 可以得到 所以 每一個本徵值與其機率的乘積 所有乘積的代數和 就是可觀察量 的期望值 將上述定義式加以推廣 就可以用來計算任意函數 的期望值 例如 可以是 即重複施加算符 兩次 對易算符 假設兩種可觀察量 的算符分別為 它們的對易算符定義為 對易算符是由兩種算符組合而成的複合算符 當作用於量子態 時 會給出 假設 則稱這兩種可觀察量為 相容可觀察量 否則 稱這兩種可觀察量 為 不相容可觀察量 假設兩種可觀察量為不相容可觀察量 則由於不確定原理 絕無法製備出這兩種可觀察量在任意精確度內的 量子系統 注意到這是一個關於製備方面的問題 不是一個關於測量方面的問題 假若精心設計測量實驗 裝備足夠優良的測量儀器 則對於某些量子系統 測量這兩種可觀察量至任意精確度是很容易達成的任 務 3 厄米算符 每一種經過測量而得到的物理量都是實值 因此 可觀察量 的期望值是實值 對於任意量子態 這關係都成立 4 18 13 5 10https zh wikipedia org wiki 根據伴隨算符的定義 假設 是 的伴隨算符 則 因此 這正是厄米算符的定義 所以 表現可觀察量的算符 都是厄米算符 1 96 99 矩陣力學 應用基底的完備性 添加單位算符 於算符 的兩旁 可以得到 2 20 23 其中 是求和式內每一個項目的係數 所以 量子算符可以用矩陣形式來代表 算符 與它的伴隨算符 彼此之間的關係為 所以 分別代表這兩個算符的兩個矩陣 彼此是對方的轉置共軛 對於厄米算符 代表的矩陣是個實值的對 稱矩陣 用矩陣代數來計算算符 怎樣作用於量子態 假設系統因此變換為量子態 從左邊乘以本徵態 應用基底的完備性 添加單位算符 於算符的右邊 可以得到 右向量 分別用豎矩陣來代表 兩個豎矩陣彼此之間的關係為 4 18 13 6 10https zh wikipedia org wiki 假設算符 是厄米算符 則其所有本徵態都相互正交 4 以矩陣來代表算符 可以計算出一組本徵值與對 應的本徵態 每一次做測量會得到的結果只能是這一組本徵值中之一 由於本徵態的正交性質 可以找到一 組基底來表示每一種量子態 解析方塊矩陣的特徵多項式 就可以找到本徵值 量子算符表格 在這表格裏 算符的表現空間是位置空間 假若表現空間是其它種空間 則表示出的方程式會不一樣 在英 文字母上方的尖角號表示整個符號代表的是個量子算符 不是單位向量 算符名稱直角坐標系分量表示向量表示 位置算符 動量算符一般狀況一般狀況 電磁場電磁場 是磁向量勢 動能算符平移運動平移運動 4 18 13 7 10https zh wikipedia org wiki 電磁場電磁場 是磁向量勢 旋轉運動 是轉動慣量 旋轉運動 勢能算符N A 總能量算符N A含時位勢 不含時位勢 哈密頓算符N A 角動量算符 4 18 13 8 10https zh wikipedia org wiki 自旋算符 其中 是自旋1 2粒子的包立矩陣 其中 向量 的分量是包立矩陣 總角動量算符 躍遷矩 電 transition moment 範例 位置算符 只思考一維問題 將位置算符 施加於位置本徵態 可以得到本徵值 即粒子的位置 5 220 221 由於位置基底具有完整性 任意量子態 可以按著位置本徵態形成的基底展 4 18 13 9 10https zh wikipedia org wiki 開 將位置算符 施加於量子態 由於算符 只作用於右向量 與其它數學個體無關 可以移入 積分式內 左向量 與這方程式的內積為 設定量子態 由於位置基底具有完整性 量子態 與 的 內積 可以按著位置本徵態形成的基底展開為 將這兩個積分式加以比較 立刻可以辨識出全等式 設定量子態 量子態 的位置空間表現 即波函數 分別定義為 兩個波函數 之間的關係為 總結 位置算符 作用於量子態 的結果 表現於位置空間 等價於波函數 與 的乘積 動量算符 表現於位置空間 一維動量算符為 將動量算符 施加於量子態 可以得到類似前一節得到的結果 應用位置基底所具有的完整性 對於任意量子態 可以得到更廣義的結果 4 18 13 10 10https zh wikipedia org wiki 其中 分別是量子態 表現於位置空間的波函數 假設 是 的本徵態 本徵值為 則可得到 將 改寫為本徵值為 的本徵態 方程式改寫為 這微分方程式的解析解為 所以 動量本徵態的波函數是一個平面波 不需要應用薛丁格方程式 就可以推導求得這出結果 2 50 54 參閱 有界算符 表示論 參考文獻 1 1 0 1 1 1 2 Griffiths David J Introduction to Quantum Mechanics 2nd ed Prentice Hall 2004 ISBN 0 13 111892 7 2 2 0 2 1 2 2 2 3 Sakukra J J Napolitano Jim Modern Quantum Mechanics 2nd Addison Wesley 2010 ISBN 978 0805382914 3 Ballentine L E The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics http link aps org doi 10 1103 RevModPhys 42 358 Reviews of Modern Physics 1970 42 358 381 doi 10 1103 RevModPhys 42 358 http dx doi org 10 1103 2FRevModPhys 42 358 4 Molecular Quantum Mechanics Parts I and II An Introduction to QUANTUM CHEMISRTY Volume 1 P W Atkins Oxford University Press 1977 ISBN 0 19 855129 0 5 費曼 理查 雷頓 羅伯 山德士 馬修 費曼物理學講義 III 量子力學 3 薛丁格方程式 台灣 天下文化 書 2006 pp 2