数列与不等式证明方法归纳(练习版).docx

数列与不等式证明方法归纳共归纳了五大类，16种放缩技巧，28道典型练习题，供日后学习使用。1、 数列求和（1） 放缩成等比数列再求和（2） 放缩成差比数列再错位相减求和（3） 放缩成可裂项相消再求和（4） 数列和比大小可比较单项2、 公式、定理（1） 利用均值不等式（2） 利用二项式定理（3） 利用不动点定理（4） 利用二次函数性质3、 累加、累乘（1） 累加法（2） 利用类等比数列累乘4、 证明不等式常用方法（1） 反证法（2） 数学归纳法及利用数学归纳法结论5、 其它方法（1） 构造新数列（2） 看到“指数的指数”取对数（3） 将递推等式化为递推不等式（4） 符号不同分项放缩一、数列求和（1）放缩成等比数列再求和典例1已知数列，。（）求证：当时：；（）记，求证。典例2已知数列满足，。（）求的通项公式；（）设的前项和为，求证：。典例3设数列满足，。（）证明：；（）求正整数，使最小。（2） 放缩成差比数列再错位相减求和典例1已知数列满足：，求证：。典例2已知数列与其前项和满足。（）求数列的通项公式；（）证明：。（3） 放缩成可裂项相消再求和典例1已知。求证：。典例2已知数列满足，。（）求证：是等比数列；（）求证：。典例3设是数列前项之积，满足，。（）求数列的通项公式；（）设，求证：。（4） 数列和比大小可比较单项典例1已知数列满足，。（）求的通项公式；（）设的前项和为，求证：。典例2已知，圆：与轴正半轴的焦点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为。对，证明：（）；（）若，则。二、公式、定理（1）利用均值不等式典例数列定义如下：，。证明：（）；（）；（）。（2）利用二项式定理典例已知数列满足：，。（）求数列的通项公式；（）设，证明：。（3） 利用不动点定理求数列通项典例1已知函数，数列满足，。（）求的取值范围，使对任意的正整数，都有；（）若，求证：，典例2已知函数，数列满足，。（）求的实数解；（）是否存在实数，使得对所有的都成立？证明你的结论；（）设数列的前项和为，证明：。（4） 利用二次函数性质典例在正项数列中，为的前项和，且（）比较与的大小；（）令，数列的前项和为。三、累加、累乘（1）累加法典例1已知数列，。（）求证：当时：；（）记，求证：。典例2已知，数列的首项，。（）求证：；（）求证：，。典例3已知数列满足=且=-（）（）证明：1（）；（）设数列的前项和为，证明（）.（2） 利用类等比数列累乘典例1设，给定数列，其中，。求证：。典例2已知数列满足：，且，设。（）比较和的大小；（）求证：；（）设为数列的前项和，求证：。典例3已知函数，数列(0)的第一项1，以后各项按如下方式取定：曲线在处的切线与经过（0，0）和（）两点的直线平行（如图）求证：当时，（）；（）。典例4设数列满足，其中。证明：（）；（）。四、证明不等式常用方法（1）反证法典例设，给定数列，其中，。求证：（），；（）如果，那么当时，必有。（2）数学归纳法及利用数学归纳法结论典例设数列满足，证明对：（）；（）。五、其它方法（1）构造新数列典例设数列满足，为的前项和。证明：对，（）当时，；（）当时，；（）当时，。（2） 看到“指数的指数”取对数典例已知数列满足：，。证明：。（3）将递推等式化为递推不等式典例已知数列满足：，。（）求证：