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第一章 函数重要知识点1、邻域 概念：以a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U(a) 设是任一正数，则开区间(a - , a+ )就是点a的一个邻域，这个邻域称为点a的邻域。 记作U(a, )，即U(a, )=x|a - x a + 。 中心与半径点a称为这邻域的中心，称为这邻域的半径。 去心邻域。点a的邻域去掉中心a后，称为点a的去心邻域，表达方法是在U上标一个小的0。有时把开区间(a - , a)称为a的左邻域，把开区间(a, a + )称为a的右邻域。2、反函数 概念：一般地，设函数y=f(x)(xA)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= g(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y= g(x)(xC)叫做函数y=f(x)(xA)的反函数，记作y=f(-1) (x) 反函数y=f(-1) (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.。性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称； （2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是0 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是C, 值域为0.）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 （5）一切隐函数具有反函数； （6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】； （8）反函数是相互的且具有唯一性； （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）； （10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）(在有反函数的情况下，即满足（2）。3、函数的特性、有界性：如果函y=f(x)在定义域x所属范围内(用D表示)连续，且存在一个正数M，使在xD上的函数值f(x)都满足 f(x)=N 则称函数y=f(x)在xD有下界。 当这两个条件同时满足时，则称函数f(x)在xD内有界。、奇偶性：如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）或f(x)/f(-x)=1那么函数f(x）就叫做偶函数。关于y轴对称，f（-x）=f（x）。 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x）或f(x)/f(-x)=-1，那么函数f(x）就叫做奇函数。关于原点对称，-f（x）=f（-x）。拓展：奇奇=奇 偶偶=偶 奇X奇=偶 偶X偶=偶 奇X偶=奇（两函数定义域要关于原点对称）。、单调性：一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时都有f(x1)f(x2).那么就说f(x)在 这个区间上是增函数。 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时都有f(x1)f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。、周期性：假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期.周期函数性质若T（0）是f(X）的周期，则-T也是f(X）的周期。若T（0）是f(X）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X）的周期。若T1与T2都是f(X）的周期，则T1T2也是f(X）的周期。若f(X）有最小正周期T*，那么f(X）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。若T1、T2是f(X）的两个周期，且 T1/T2不是无理数，则f(X）存在最小正周期 若T1、T2是f(X）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(X）不存在最小正周期。周期函数f(X）的定义域M必定是至少一方无界的集合。4、复合函数与初等函数、基本初等函数：（1）常数函数y = c（ c 为常数） （2）幂函数y = xa（ a 为常数） （3）指数函数y = ax（a0, a1） （4）对数函数y =log(a) x（a0, a1，真数x0） （5）三角函数： 主要有以下 6 个： 正弦函数y =sin x 余弦函数y =cos x 正切函数y =tan x 余切函数y =cot x 正割函数y =sec x 余割函数y =csc x （6）反三角函数： 主要有以下 6 个： 反正弦函数y = arcsin x， 定义域-1，1 arcsin图像值域/2，/2 是单调递增函数 图像关于原点对称，是奇函数 所以有arcsin(-x)=-arcsinx，注意x的取值范围:x-1，1反余弦函数y = arccos x 定义域：-1,1 值域:0, 单调性:减函数 奇偶性:非奇非偶函数 arccos(-x)=-arccosx=arcsinx+/2 arccos(cosx)=x cos(arccosx)=x 反正切函数y = arctan x , 定义域：R 值 域：(-/2,/2) 单调性：增函数 奇偶性：奇函数 周期性：不是周期函数反余切函数y = arccot x , 定义域:R 值域:(0,) 单调性:减函数 反正割函数y = arcsec x, 定义域： x(-，-11，+) ， 值域： y0，/2)(/2， 当x=-1时，有最大值， 当x=1时，有最小值0 单调性：由于正割函数y=secx 在 0，/2)上单调递增，所以反正割函数y=arcsecx 在 (-，-1上单 调递增。同理反正割函数y=arcsecx 在 1，+) 上单调递增。即单调递增区间：(-，-1、1，+) 【注意：绝对不能并起来】 对称中心：(0，/2)，故有 arcsec(x)+arcsec(-x)=， x(-，-11，+) 渐近线：直线y=/2 导数：y=(x2)【1-（1/x2）】 y始终大于0。反余割函数y = arccsc x, 定义域：x|x1 值域：y|-/2y0,0y-/2 奇偶性：奇函数。 （图像渐近线为：x=0 ）、复合函数：设fu是自变量为u的函数，u=x是自变量为x的函数，若函数u=x的值域全部或部分包含于函数y=fx的定义域中，则y可以通过中间变量u构成x的函数，称y为x的复合函数，记作y=f【x】求函数的定义域主要应考虑以下几点： 当为整式或奇次根式时，R； 当为偶次根式时，被开方数不小于0（即0）； 当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0； 当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。 当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。 分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。 由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求 对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。 对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。 三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。注意：不是任意两个函数都