3-2-4环形跑道问题-题库教师版.doc

环形跑道问题教学目标1、 掌握如下两个关系：（1）环形跑道问题同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次（2）环形跑道问题同一地点出发，如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次2、遇见多人多次相遇、追及能够借助线段图进行分析3、用比例解、数论等知识解环形跑道问题知识精讲本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。 一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：路程和=相遇时间速度和路程差=追及时间速度差二、解环形跑道问题的一般方法：环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。环线型同一出发点直径两端同向：路程差nSnS+0.5S相对(反向)：路程和nSnS-0.5S【例 1】 一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行黄莺每分钟走66米，麻雀每分钟走59米经过几分钟才能相遇?【解析】 黄莺和麻雀每分钟共行（千米），那么周长跑道里有几个米，就需要几分钟，即（分钟）【巩固】 小张和小王各以一定速度，在周长为米的环形跑道上跑步小王的速度是米/分小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？【解析】 两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程小张的速度是（米/分）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是：（分）（圈）【例 2】 (2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛决赛)上海小学有一长米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑米，小胖每秒钟跑米，小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米？小亚第二次追上小胖两人各跑了多少圈？【解析】 第一次追上时，小亚多跑了一圈，所以需要秒，小亚跑了（米）。小胖跑了（米）；第一次追上时，小胖跑了圈，小亚跑了圈，所以第二次追上时，小胖跑圈，小亚跑圈。【巩固】 一条环形跑道长400米，甲骑自行车每分钟骑450米，乙跑步每分钟250米，两人同时从同地同向出发，经过多少分钟两人相遇？【解析】 (分钟)【巩固】 小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑250米，正南每分钟跑210米，一圈跑道长800米，他们同时从起跑点出发，那么小新第三次超过正南需要多少分钟？ 【解析】 小新第一次超过正南是比正南多跑了一圈，根据，可知小新第一次超过正南需要：(分钟)，第三次超过正南是比正南多跑了三圈，需要(分钟)【巩固】 幸福村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2次追上晶晶时两人各跑了多少圈？【解析】 这是一道封闭路线上的追及问题，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一致因此，当冬冬第一次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长(200米)，又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，根据追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走的路程冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：(秒)冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：(米)晶晶第一次被追上时所跑的路程：(米)冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：(圈)晶晶第2次被追上时所跑的圈数：(圈)【例 3】 在300米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？【解析】 同向而跑，这实质是快追慢起跑后，由于两人速度的差异，造成两人路程上的差异，随着时间的增长，两人间的距离不断拉大，到两人相距环形跑道的半圈时，相距最大接着，两人的距离又逐渐缩小，直到快的追上慢的，此时快的比慢的多跑了一圈背向而跑即所谓的相遇问题，数量关系为：路程和速度和相遇时间同向而行2分30秒相遇，2分30秒150秒，两个人的速度和为：（米/秒），背向而跑则半分钟即30秒相遇，所以两个人的速度差为：（米/秒）.两人的速度分别为： (米/秒)， (米/秒)【巩固】 在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？【解析】 甲乙的速度和为：(米/秒)，甲乙的速度差为：(米/秒)，甲的速度为：(米/秒)，乙的速度为：(米/秒)【巩固】 两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？【解析】 在封闭的环形道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题同地出发，其实追及路程或相隔距离就是环形道一周的长这道题的解题关键就是先求出环形道一周的长度环形道一周的长度可根据两人同向出发，45分钟后甲追上乙，由追及问题，两人速度差为：(米/分)，所以路程差为：(米)，即环形道一圈的长度为2250米所以反向出发的相遇时间为：(分钟)【巩固】 (第4届希望杯培训题)在环形跑道上，两人在一处背靠背站好，然后开始跑，每隔4分钟相遇一次；如果两人从同处同向同时跑，每隔20分钟相遇一次，已知环形跑道的长度是1600米，那么两人的速度分别是多少？【解析】 两人反向沿环形跑道跑步时，每隔4分钟相遇一次，即两人4分钟共跑完一圈；当两人同向跑步时，每20分钟相遇一次，即其中的一人比另一人多跑一圈需要20分钟两人速度和为：(米/分)，两人速度差为：(米/分)，所以两人速度分别为：(米/分)，(米/分)【例 4】 （难度等级 ）两人在环形跑道上跑步 ，两人从同一地点出发，小明每秒跑3米，小雅每秒跑4米，反向而行，45秒后两人相遇。如果同向而行，几秒后两人再次相遇【解析】 （4+3）45=315米环形跑道的长（相遇问题求解）315（4-3）=315秒（追及问题求解）【巩固】 （难度等级 ）一条环形跑道长400米，小青每分钟跑260米，小兰每分钟跑210米，两人同时出发，经过多少分钟两人相遇【解析】 小青每分钟比小兰多跑50米一圈是400米400/50=8所以跑8分钟【巩固】 甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米?【解析】 176【例 5】 （难度等级 ）周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走55米，周老师每分钟走65米。已知林荫道周长是480米，他们从同一地点同时背向而行。在他们第10次相遇后，王老师再走 米就回到出发点。【解析】 两人每共走1圈相遇1次，用时480(55+60)=4(分)，到第10次相遇共用40分钟，王老师共走了。5540=2200（米），要走到出发点还需走，4805-2200=200（米）【例 6】 （难度等级 ）在 400 米的环行跑道上，A，B 两点相距 100 米。甲、乙两人分别从 A，B 两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，每人每跑 100 米，都要停 10 秒钟。那么甲追上乙需要时间是多少秒？ 【解析】 甲实际跑 100/（5-4）=100（秒）时追上乙，甲跑 100/5=20（秒），休息 10 秒； 乙跑 100/4=25（秒），休息 10 秒，甲实际跑 100 秒时，已经休息 4 次，刚跑完第 5 次，共用 140 秒； 这时乙实际跑了 100 秒，第 4 次休息结束。正好追上。 【例 7】 在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次，问两人跑一圈各需要几分钟？【解析】 由题意可知，两人的速度和为，速度差为可得两人速度分别为和所以两人跑一圈分别需要6分钟和12分钟 【例 8】 （难度等级 ）有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚在跑道上同一处?【解析】 由题意知道：甲走完一周需要时间为300120=（分）；乙走完一周需要时间为300100=3（分）丙走完一周需要时间为300700=，那么三个人想再次相聚在跑道同一处需要时间为：【例 9】 （难度等级 ）甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行.现在已知甲走一圈的时间是70分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟?【解析】 甲行走45分钟，再行走7045=25分钟即可走完一圈.而甲行走45分钟，乙行走45分钟也能走完一圈.所以甲行走25分钟的路程相当于乙行走45分钟的路程甲行走一圈需70分钟，所以乙需702545=126分钟即乙走一圈的时间是126分钟【例 10】 （难度等级 ）林琳在450米长的环形跑道上跑一圈，已知她前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么她的后一半路程跑了多少秒？【解析】 设总时间为X，则前一半的时间为X/2，后一半时间同样为X/2X/2*5+X/2*4=450X=100总共跑了100秒前50秒每秒跑5米，跑了250米后50秒每秒跑4米，跑了200米后一半的路程为4502=225米后一半的路程用的时间为（250-225）5+50=55秒【巩固】 某人在360米的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，则他后一半路程跑了多少秒？【解析】 44【例 11】 （难度等级 ）甲、乙、丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每小时5.4千米， 乙速度是每小时4.2千米，她们二人同方向行走，丙与她们反方向行走，半个小时后甲和丙相遇，在过5分钟，乙与丙相遇。那么绕湖一周的行程是多少？【解析】 30分钟乙落后甲（5.44.2）20.6（千米），有题意之乙和丙走这0.6千米用了5分钟，因为乙和丙从出发到相遇共用35分钟，所以绕湖一周的行程为：3550.64.2（千米）。【例 12】 （难度等级 ）甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇。求此圆形场地的周长？【解析】 注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+圈的路程所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即1003=300米有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈60)+300，为圈，所以此圆形场地的周长为480米【巩固】 如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.【解析】 第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈从出发开始算，两个人合起来走了一周半因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从到的距离，应该是从到距离的3倍，即到是 (米)(米)(米)【巩固】 如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端与同时出发，绕圆周相 向而行它们第一次相遇在离点8厘米处的点，第二次相遇在离点处6厘米的点，问，这个圆周的长是多少?【解析】 如图所示，第一次相遇，两只小虫共爬行了半个圆周，其中从点出发的小虫爬了8厘米，第二次相遇，两只小虫又爬了一个圆周，所以两只小虫从出发共爬行了1个半圆周，其中从点出发的应爬行(厘米)，比半个圆周多6厘米，半个圆周长为(厘米)，一个圆周长就是：(厘米)【巩固】 A、B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇已知C离A有75米，D离B有55米，求这个圆的周长是多少米？【解析】 340【例 13】 （难度等级 ）两辆电动小汽车在周长为360米的圆形道上不断行驶，甲车每分行驶20米甲、乙两车同时分别从相距90米的A，B两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B点时，甲车过B点后恰好又回到A点此时甲车立即返回（乙车过B点继续行驶），再过多少分与乙车相遇？ 【解析】 右图中C表示甲、乙第一次相遇地点因为乙从B到C又返回B时，甲恰好转一圈回到A，所以甲、乙第一次相遇时，甲刚好走了半圈，因此C点距B点1809090（米）甲从A到C用了180209（分），所以乙每分行驶90910（米）甲、乙第二次相遇，即分别同时从A，B出发相向而行相遇需要90（2010）3（分）【巩固】 （难度等级 ）周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A，B两点甲、乙两人分别从A，B两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时，乙恰好跑到B如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少米?【解析】 如下图,记甲乙相遇点为C.当甲跑了AC的路程时，乙跑了BC的路程；而当甲跑了400米时，乙跑了2BC的路程由乙的速度保持不变，所以甲、乙第一次相向相遇所需的时间是甲再次到达A点所需时间的.即AC=400=200(米)，也就是甲跑了200米时，乙跑了100米，所以甲的速度是乙速度的2倍那么甲到达A，乙到达B时，甲追上乙时需比乙多跑400-100=300米的路程，所以此后甲还需跑300(2-1)2=600米，加上开始跑的l圈400米所以甲从出发到甲追上乙时，共跑了600+400=1000米【巩固】 （难度等级 ）在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过4 分甲到达 B 点，又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？【解析】 由题意知，甲行 4 分相当于乙行 6 分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系） 从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行 12 分，而乙行 12 分相当于甲行 8 分，所以甲环行一周需 12820（分），乙需 204630（分）.【例 14】 （难度等级 ）（2000年华校入学试题）甲、乙两车同时从同一点出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上一车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离有多少米？ 【解析】 首先是一个相遇过程，相遇时间：小时，相遇地点距离点：千米然后乙车调头，成为追及过程，追及时间：小时，乙车在此过程中走的路程：千米，即5圈余3千米，那么这时距离点千米甲车调头后又成为相遇过程，同样方法可计算出相遇地点距离点千米，而第4次相遇时两车又重新回到了点，并且行驶的方向与开始相同所以，第8次相遇时两车肯定还是相遇在点，又，所以第11次相遇的地点与第3次相遇的地点是相同的，距离点是3000米【巩固】 二人沿一周长400米的环形跑道均速前进，甲行一圈4分钟，乙行一圈7分钟，他们同时同地同向出发，甲走10圈，改反向出发，每次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌。问第十五次击掌时，甲走多长时间乙走多少路程？【解析】 1428【例 15】 （难度等级 ）下如右图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？【解析】 甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有300米长，当甲追上乙一条边（300米）需300（9070）15（分），此时甲走了901530045（条）边，甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙甲再走05条边就可以看到乙了，即甲走5条边后可看到乙，共需 30059016（分钟0，即16分40秒【巩固】 （难度等级 ）如图，一个长方形的房屋长13米，宽8米甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲每秒钟行3米，乙每秒钟行2米.问:经过多长时间甲第一次看见乙?【解析】开始时，甲在顺时针方向距乙8+13+8=29米因为一边最长为13、所以最少要追至只相差13，即至少要追上29-13=16米甲追上乙16米所需时间为16(3-2)=16秒，此时甲行了316=48米，乙行了216=32米甲、乙的位置如右图所示：显然甲还是看不见乙，但是因为甲的速度比乙快，所以甲能在乙离开上面的那条边之前到达上面的边，从而看见乙而甲要到达上面的边，需再跑2米，所需时间为23=秒所以经过16+=16秒后甲第一次看见乙.【例 16】 （难度等级 ）如图，在400米的环形跑道上，A,B两点相距100米.甲、乙两人分别从A，B两点同时出发，按逆时针方向跑步.甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟.那么甲追上乙需要时间是多少秒?【解析】 如果甲、乙均不休息，那么甲追上乙的时间为100(5-4)=100秒此时甲跑了1005=500米，乙跑了1004=400米而实际上甲跑500米，所需的时间为100+410=140秒，所以140150秒时甲都在逆时针距A点500处而乙跑400米所需的时间为100+310=130秒，所以130140秒时乙走在逆时针距B点400处显然从开始计算140秒时，甲、乙在同一地点，即甲追上乙需要时间是140秒【例 17】 （难度等级 ）下图是一个边长90米的正方形，甲、乙两人同时从A点出发，甲逆时针每分行75米，乙顺时针每分行45米两人第一次在CD边（不包括C，D两点）上相遇，是出发以后的第几次相遇？【解析】 两人第一次相遇需分，其间乙走了（米）由此知，乙没走135米两人相遇一次，依次可推出第7次在CD边相遇（如图，图中数字表示该点相遇的次数）【例 18】 （难度等级 ）如图，8时10分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A，B两地顺时针方向沿长方形ABCD的边走向D点.甲8时20分到D点后,丙、丁两人立即以相同速度从D点出发.丙由D向A走去,8时24分与乙在E点相遇；丁由D向C走去，8时30分在F点被乙追上.问三角形BEF的面积为多少平方米?【解析】 如下图，标出部分时刻甲、乙、丙、丁的位置先分析甲的情况，甲10分钟，行走了AD的路程；再看乙的情况，乙的速度等于甲的速度，乙14分钟行走了60+AE的路程，乙20分钟走了60+AD+DF的路程所以乙10分钟走了(60+AD+DF)-(AD)=60+DF的路程有，有然后分析丙的情况,丙4分钟,行了走ED的路程,再看丁的情况,丁的速度等于丙的速度,丁10分钟行走了DF的距离有，即5ED2DF联立，解得于是,得到如下的位置关系：二、环形跑道变道问题【例 19】 如图是一个跑道的示意图，沿走一圈是米，沿走一圈是米，其中到 的直线距离是米甲、乙二人同时从点出发练习长跑，甲沿的小圈跑，每米用秒，乙沿的大圈跑，每米用秒，问：1 乙跑第几圈时第一次与甲相遇？2 发多长时间甲、乙再次在相遇？【解析】 因为甲、乙沿不同的路线，所以并不是谁多跑一圈，就一定有一次超过超过只可能发生在他们共同经过的路线上，也就是上甲跑半圈用时秒，乙跑半圈用时秒也就是说如果某次乙经过点的时间比甲晚不超过秒，他就能在这半圈上追上甲甲跑一圈用的时间为秒，乙跑一圈用的时间为秒，下面看甲、乙经过点的时间序列表（单位：秒）甲066132198264330乙084168252336可以看出336秒与330秒恰好差6秒，由此可知乙跑完第四圈、在跑第五圈时会第一次与甲相遇要在点相遇，两人跑的必须都是整数圈，甲跑一圈用秒，乙跑一圈用秒，它们的最小公倍数为因此秒即分秒后，甲、乙第一次同时回到点【例 20】 如图所示，大圈是400米跑道，由到的跑道长是200米，直线距离是50米。父子俩同时从 点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿子跑大圈，父亲每跑到点便沿直线跑。父亲每100米用20秒，儿子每100米用19秒。如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第几圈时，第一次与父亲相遇？【解析】 首先我们要注意到：父亲和儿子只能在由沿逆时针方向到这一段跑道上相遇而且儿子比父亲跑得快，所以相遇时一定是儿子从后面追上父亲儿子跑一圈所用的时间是（秒），也就是说，儿子每过76秒到达点一次同样道理，父亲每过50秒到达点一次在从到逆时针方向的一段跑道上，儿子要跑（秒），父亲要跑（秒）因此，只要在父亲到达点后的2秒之内，儿子也到达点，儿子就能从后面追上父亲于是，我们需要找76的一个整数倍（这个倍数是父子相遇时儿子跑完的圈数），它比50的一个整数倍大，但至多大2换句话说，要找76的一个倍数，它除以50的余数在0到2之间这试一下就可以了：余26，余2，正合我们的要求因此，在父子第一次相遇时，儿子已跑完2圈，也就是正在跑第3圈【例 21】 如图,学校操场的400米跑道中套着300米小跑道,大跑道与小跑道有200米路程相重甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米? 【解析】 根据题意可知，甲、乙只可能在右侧的半跑道上相遇易知小跑道上左侧的路程为100米,右侧的路程为200米,大跑道上的左、右两侧的路程均是200米我们将甲、乙的行程状况分析清楚当甲第一次到达点时,乙还没有到达点,所以第一次相遇一定在逆时针的某处而当乙第一次到达点时，所需时间为秒,此时甲跑了米,在离点米处乙跑出小跑道到达点需要秒,则甲又跑了米,在点左边米处所以当甲再次到达处时,乙还未到处,那么甲必定能在点右边某处与乙第二次相遇从乙再次到达处开始计算,还需秒,甲、乙第二次相遇,此时甲共跑了秒所以，从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了米【例 22】 （2005年小学生数学报优秀小读者评选活动）有一种机器人玩具装置，配备长、短不同的两条跑道，其中长跑道长400厘米，短跑道长300厘米，且有200厘米的公用跑道(如下图)。机器人甲按逆时针方向以每秒6厘米的速度在长跑道上跑动，机器人乙按顺时针方向以每秒4厘米的速度在短跑道上跑动。如果甲、乙两个机器人同时从点出发，那么当两个机器人在跑道上第3次迎面相遇时，机器人甲距离出发点点多少厘米?【解析】 第一次在点相遇，这时甲、乙共跑了400厘米(见左下图)； 第二次在点相遇，这时甲、乙又共跑了700厘米(见右上图)；同理，第三次相遇时，甲、乙又共跑了700厘米那么到第三次相遇时两者共跑了厘米，共用时间（秒），甲跑了（厘米），距点（厘米）【例 23】 （难度等级 ）下图中有两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米。两只甲虫同时从A点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行。问：当小圆上甲虫爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远？ 【解析】 我们知道，大小圆只有一个公共点(内切)，而在圆上最远的两点为直径两端，所以当一只甲虫在A点，另一只在过A的直径另一直径端点B，所以在小圆甲虫跑了n圈，在大圆甲虫跑了m圈；于是小圆甲虫跑了30n，大圆甲虫跑了48(m)48m24。因为速度相同，所以相同时内路程相同，起点相同，所以30n48m24；即5n8m4，有不定方城知识，解出有n4，m2，所以小甲虫跑了2圈后，大小甲虫相距最远。【例 24】 三个环行跑道如图排列，每个环行跑道周长为210厘米；甲、乙两只爬虫分别从、两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字形循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别为每分钟20厘米和每分钟l5厘米，甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米?【解析】 根据题意，甲爬虫爬完半圈需要分钟，乙爬虫爬完半圈需要分钟由于甲第一次爬到1、2之间要分钟，第一次爬到2、3之间要分钟，乙第一次爬到2、3之间要7分钟，所以第一次相遇的地点在2号环形跑道的上半圈处由于甲第一次爬到2、3之间要分钟，第二次爬到1、2之间要分钟，乙第一次爬到1、2之间要14分钟，所以第二次相遇的地点在2号环形跑道的下半圈处当两只爬虫都爬了14分钟时，甲爬虫共爬了米，(米)，所以甲在距1、2交点35米处，乙在1、2交点上，还需要(分钟)相遇，所以第二次相遇时，两只爬虫爬了分钟所以甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了厘米【巩固】 一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫，分别在这3个点上它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行 的速度是10厘米/秒，的速度是5厘米/秒，的速度是3厘米/秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？【解析】 先考虑与这两只爬虫，什么时候能到达同一位置开始时，它们相差30厘米，每秒钟能追上(5-3)厘米(秒)因此15秒后与到达同一位置以后再要到达同一位置，要追上一圈，也就是追上90厘米，需要(秒)与到达同一位置，出发后的秒数是15，60，105，150，195，再看看与什么时候到达同一位置第一次是出发后(秒)，以后再要到达同一位置是追上一圈需要(秒)，与到达同一位置，出发后的秒数是6，24，42，60，78，96，对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置【例 25】 如图所示，甲沿长为米大圆的跑道顺时针跑步，乙则沿两个小圆八字形跑步(图中给出跑动路线的次序：）。如果甲、乙两人同时从点出发，且甲、乙二人的速度分别是每秒3米和5米，问两人第三次相遇的时间是出发后 秒。【解析】 从图中可以看出，甲、乙两人只有可能在、两点处相遇（本题中，虽然在处时两人都是顺时针，但是由于两人的跑道不同，因此在此处的相遇不能看作是追及）从到，在大圆周上是半个圆周，即200米；在小圆周上是整个小圆圆周，也是200米两人的速度之比为，那么两人跑200米所用的时间之比为设甲跑200米所用的时间为5个时间单位，则乙跑200米所用的时间为3个时间单位根据题意可知，1个时间单位为秒可以看出，只有甲跑的时间是5个时间单位的整数倍时，甲才可能在点或点，而且是奇数倍时在点，是偶数倍时在点；乙跑的时间是3个时间单位的整数倍时，乙才可能在点或点，同样地，是奇数倍时在点，是偶数倍时在点要使甲、乙在、两点处相遇，两人所跑的时间应当是15个时间单位的整数倍（由于3和5的奇偶性相同，所以只要是15个时间单位的整数倍甲、乙两人就能相遇），可以是15个时间单位、30个时间单位、45个时间单位所以两人第三次相遇是在过了45个时间单位后，也就是说，出发后秒两人第三次相遇也可以画表如下：甲051015202530354045乙0369121518212427303336394245从中可以看出，经过15个时间单位后两人同在点，经过30个时间单位后两人同在点，经过45个时间单位后两人同在点，这是两人第三次相遇【例 26】 如图，两个圆环形跑道，大圆环的周长为600米，小圆环的周长为400米。甲的速度为每秒6米，乙的速度为每秒4米。甲、乙二人同时由点起跑，方向如图所示，甲沿大圆环跑一圈，就跑上小圆环，方向不变，沿小圆环跑一圈，又跑上大圆环，方向也不变；而乙只沿小圆环跑。问：甲、乙可能相遇的位置距离点的路程是多少？(路程按甲跑的计算)【解析】 根据题意可知，甲跑的路线是“8”字形，乙跑的路线是小圆环甲绕大圆环跑一周需要100秒，乙绕小圆环跑一周也需要100秒所以两人的第一次相遇肯定是在点；而以后在小圆周上肯定还有相遇点由于两人都是周期性运动，乙的情况较为简单，如果以乙为中心，可以看出，每次乙回到点，如果甲也在点，则两人在点相遇；如果甲不在点，则此时甲相当于顺时针跑，乙则逆时针跑，这是一个相遇问题，必定在小圆周上相遇设乙第次回到点的时间为秒，则，此时甲跑了米而甲一个周期为米，因此，时刻甲跑了个周期而，其中整数部分表示甲回到点，小数部分表示甲又从点跑了一部分路程，但是不到一个周期，这一部分路程的长度是米由此，我们可以算出甲的位置：小数部分表示的路程0200400600800甲、乙相距的路程0800600400200甲、乙相遇还需的时间080604020甲、乙相遇的位置080160240320以其中的第三列为例进行说明：这一列表示，于是，这表明甲回到点后又跑了200米，此时乙在点处，甲要跑完大圆周再在小圆周上与乙相遇，此时两人相距米，所以需要的时间为秒，在80秒内乙跑了米，所以在这种情况下甲在小圆周上跑的路程为米，这就是此时相遇点与点的距离其它情况同理可得所以甲、乙可能相遇的位置在距离点顺时针方向320米，240米，160米，80米和0米三、环形跑道变速问题【例 27】 （难度等级 ）甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加 2 米秒，乙比原来速度减少 2 米秒，结果都用 24 秒同时回到原地。求甲原来的速度。【解析】 因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用 24 秒，则相遇前两人和跑一圈也用 24 秒。以甲为研究对象，甲以原速V 跑了 24 秒的路程与以（V +2 ）跑了 24 秒的路程之和等于 400米，24V +24（V +2 ）=400 易得V = 米/秒 【例 28】 （2003年迎春杯）甲、乙两人同时同地同向出发，沿环