在平面直角坐标系中放置一直角三角板.doc

32112AO第24题图Bxy0901如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为，将此三角板绕原点顺时针旋转，得到（1）如图，一抛物线经过点，求该抛物线解析式；（2）设点是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形的面积达到最大时点的坐标及面积的最大值0901解：（1）抛物线过设抛物线的解析式为2分又抛物线过，将坐标代入上解析式得：第24题答案图132112AOxyBP4分即满足条件的抛物线解析式为5分（2）（解法一）：如图1，为第一象限内抛物线上一动点，设则点坐标满足连接8分=12分当时，最大此时，即当动点的坐标为时，14分第24题答案图2G32112AOPEFlxyB最大，最大面积为15分（解法二）：如图2，连接为第一象限内抛物线上一动点，且的面积为定值，最大时必须最大长度为定值，最大时点到的距离最大即将直线向上平移到与抛物线有唯一交点时，到的距离最大6分设与直线平行的直线的解析式为联立得令解得此时直线的解析式为：解得直线与抛物线唯一交点坐标为设与轴交于则过作于在中，过作于则到的距离此时四边形的面积最大的最大值=15分0902已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数（1）求的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；Oxy864224（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围16解：（1）由题意得，为正整数，（2）当时，方程有一个根为零；当时，方程无整数根；当时，方程有两个非零的整数根综上所述，和不合题意，舍去；符合题意AOxy864224B当时，二次函数为，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为（3）设二次函数的图象与轴交于两点，则，依题意翻折后的图象如图所示当直线经过点时，可得；当直线经过点时，可得由图象可知，符合题意的的取值范围为0903.如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，延长AC到点D，使CD=，过D点作DEAB交BC的延长线于点E（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；yDECBOAx11（3）设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）25解：（1），设与轴交于点由可得又，同理可得点的坐标为（2）由（1）可得点的坐标为yDECBOAx11HSMTGF由，可得轴所在直线是线段的垂直平分线点关于直线的对称点在轴上与互相垂直平分四边形为菱形，且点为其对称中心作直线设与分别交于点、点可证，直线将四边形分成周长相等的两个四边形由点，点在直线上，可得直线的解析式为（3）确定点位置的方法：过点作于点则与轴的交点为所求的点由，可得，在中，点的坐标为（或点的位置为线段的中点）0904已知：在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴于A、B两点，交轴于点C，且对称轴为直线（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若点P（0，t）是轴上的一个动点，请进行如下探究：探究一：如图15，设PAD的面积为S，令WtS，当0t4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；探究二：如图16，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与RtAOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由（参考资料：抛物线对称轴是直线）图16yxOCBADyxOCBAD26解：（1）抛物线（）的对称轴为直线，2分3分（2）探究一：当时，有最大值yxOCBADMP抛物线交轴于两点，交轴于点， 4分当时，作轴于，则， 6分7分当时，有最大值，8分探究二：存在分三种情况：yxOCBADMP1EP2当时，作轴于，则，轴，轴，此时，又因为， ，当时，存在点，使，此时点的坐标为（0，2）10分（结论1分，过程1分）当时，则，与不相似，此时点不存在12分（结论1分，过程1分）当时，以为直径作，则的半径，圆心到轴的距离，与轴相离不存在点，使综上所述，只存在一点使与相似14分（结论1分，过程1分）（其它方法可参照此答案给分）0905.已知：是方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点（1）求这个抛物线的解析式；（2）设点是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形是以为对角线的平行四边形，求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在（2）的条件下，当的面积为24时，是否存在这样的点，使为正方形？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由QBOAPxy第26题图26（本小题满分12分）（1）解：，1分yxBQAOP第26题图，2分抛物线经过两点解得4分（2）点在抛物线上，位于第三象限，即又6分7分令时，解得，抛物线与轴的交点坐标为，的取值范围为8分（3）当时，得，解得：，9分代入解析式得：，点的坐标为，当点为时，满足，此时，平行四边形是菱形当点为时，不满足，此时，平行四边形不是菱形10分而要使平行四边形为正方形，那么，一定有，此时，点的坐标为，而不在抛物线上，故不存在这样的点，使四边形为正方形12分0906.yxOAEFlMCNB图10如图10，已知直线（）交x轴、y轴于A、B两点，点C、M分别在线段OA、AB上，且OC=2CA，AM=2MB，连接MC，将ACM绕点M旋转180，得到FEM，显然点E在y轴上， 点F在直线l上；取线段EO中点N，将ACM沿MN所在直线翻折，得到PMG，其中P与A为对称点记：过点F的反比例函数图象为，过点M且以B为顶点的二次函数图象为，过点P且以M为顶点的二次函数图象为（1）当m=6时，直接写出点M、F的坐标，求、的函数解析式；（2）当m发生变化时， 在的每一支上，y随x的增大如何变化？请说明理由若、中的y都随着x的增大而减小，写出x的取值范围22解：（1）点M的坐标为（2，4），点F的坐标为（2，8）2分 设的函数解析式为（过点F（2，8）yxOACBEFPGMN 的函数解析式为的顶点B坐标为（0，6）设的函数解析式为过点M（2，4）的函数解析式为6分（2）依题意得，A（m，0），B（0，m），点M坐标为（），点F坐标为（，）设的函数解析式为（过点F（，）在的每一支上，y随着x的增大而增大10分答：当0时，满足题意的x的取值范围为 0x；当0时，满足题意的x的取值范围为x014分（注：答案中的取到端点值不扣分）0907.yxOAEFlMCNB图10如图10，已知直线（）交x轴、y轴于A、B两点，点C、M分别在线段OA、AB上，且OC=2CA，AM=2MB，连接MC，将ACM绕点M旋转180，得到FEM，显然点E在y轴上， 点F在直线l上；取线段EO中点N，将ACM沿MN所在直线翻折，得到PMG，其中P与A为对称点记：过点F的反比例函数图象为，过点M且以B为顶点的二次函数图象为，过点P且以M为顶点的二次函数图象为（1）当m=6时，直接写出点M、F的坐标，求、的函数解析式；（2）当m发生变化时， 在的每一支上，y随x的增大如何变化？请说明理由若、中的y都随着x的增大而减小，写出x的取值范围22解：（1）点M的坐标为（2，4），点F的坐标为（2，8）2分 设的函数解析式为（过点F（2，8）yxOACBEFPGMN 的函数解析式为的顶点B坐标为（0，6）设的函数解析式为过点M（2，4）的函数解析式为6分（2）依题意得，A（m，0），B（0，m），点M坐标为（），点F坐标为（，）设的函数解析式为（过点F（，）在的每一支上，y随着x的增大而增大10分答：当0时，满足题意的x的取值范围为 0x；当0时，满足题意的x的取值范围为x014分（注：答案中的取到端点值不扣分）0908.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；（2）将BCH绕点B按顺时针旋转90后再沿x轴对折得到BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；DABCFEHOyx（第26题图）（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q 问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为13两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由26（14分）DABCFEHOyxQGP解：（1）四边形OBHC为矩形，CDAB， 又D（5，2）， C（0，2），OC=2 2分 解得 抛物线的解析式为： 4分 （2）点E落在抛物线上 理由如下： 5分 由y = 0，得 解得x1=1，x2=4 A（4，0），B（1，0） 6分 OA=4，OB=1 由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，BHC=90， 由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，EFB=90， 点E的坐标为（3，1） 7分 把x=3代入，得， 点E在抛物线上 8分 （3）法一：存在点P（a，0），延长EF交CD于点G，易求OF=CG=3，PB=a1 S梯形BCGF = 5，S梯形ADGF = 3，记S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2， 下面分两种情形： 当S1S2 =13时，此时点P在点F（3，0）的左侧，则PF = 3a，由EPFEQG，得，则QG=93a，CQ=3(93a) =3a 6由S1=2，得，解得；11分 当S1S2=31时，此时点P在点F（3，0）的右侧，则PF = a3，由EPFEQG，得QG = 3a9，CQ = 3 +（3 a9）= 3 a6，由S1= 6，得，解得综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）14分 法二：存在点P（a，0） 记S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，易求S梯形ABCD = 8当PQ经过点F（3，0）时，易求S1=5，S2 = 3，此时S1S2不符合条件，故a3设直线PQ的解析式为y = kx+b（k0），则，解得， 由y = 2得x = 3a6，Q（3a6，2） 10分CQ = 3a6，BP = a1，下面分两种情形：当S1S2 = 13时，= 2； 4a7 = 2，解得；12分当S1S2 = 31时，； 4a7 = 6，解得；综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）14分说明：对于第（3）小题，只要考生能求出或两个答案，就给6分 0910.如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1（1）求P点坐标及a的值；（4分）（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180后得到抛物线C4抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标（5分）yxAOBPN图2C1C4QEF图（2）yxAOBPM图1C1C2C3图（1）26（本题满分13分）yxAOBPM图(1)C1C2C3HG解：（1）由抛物线C1：得顶点P的为（-2，-5） 2分点B（1，0）在抛物线C1上 解得，a 4分（2）连接PM，作PHx轴于H，作MGx轴于G点P、M关于点B成中心对称PM过点B，且PBMBPBHMBGMGPH5，BGBH3顶点M的坐标为（4，5） 6分 抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到抛物线C3的表达式为 8分（3）抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180得到顶点N、P关于点Q成中心对称 由（2）得点N的纵坐标为5yxAOBPN图(2)C1C4QEFHGK设点N坐标为（m，5） 9分 作PHx轴于H，作NGx轴于G 作PKNG于K 旋转中心Q在x轴上EFAB2BH6 FG3，点F坐标为（m+3，0） H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），根据勾股定理得 PN2NK2+PK2m2+4m+104 PF2PH2+HF2m2+10m+50 NF252+3234 10分 当PNF90时，PN2+ NF2PF2，解得m，Q点坐标为（，0） 当PFN90时，PF2+ NF2PN2，解得m，Q点坐标为（，0）PNNK10NF，NPF90综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形 13分 0911.已知，如图1，过点作平行于轴的直线，抛物线上的两点的横坐标分别为1和4，直线交轴于点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点、，连接（1）求点的坐标；（2）求证：；（3）点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点，过点作交轴于点，是否存在点使得与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由EDCAFBxOylEDCOFxy（图1）备用图（第25题图）25（1）解:方法一，如图1，当时,当时, 1分2分EDCAFBxOyl（图1）设直线的解析式为3分则解得直线的解析式为4分当时,EDCAFBxOyl（图2）GHM5分方法二:求两点坐标同方法一,如图2,作,垂足分别为、,交轴于点,则四边形和四边形均为矩形,设3分4分解得5分(2)证明：方法一：在中，6分在中，由（1）得7分8分方法二：由 （1）知6分同理：7分同理：即8分（3）存在.解：如图3，作轴，垂足为点9分EDCOFxy图3MPlQ又10分设，则当时，11分解得12分当时，13分解得综上，存在点、使得与相似.14分0912.如图13，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴交于点，的面积为（1）求该二次函数的关系式；（2）过轴上的一点作轴的垂线，若该垂线与的外接圆有公共点，求的取值范围；图13yxBACO（3）在该二次函数的图象上是否存在点，使四边形为直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由71. 本小题主要考查二次函数、解直角三角形等基础知识，考查运算能力、推理能力和空间观念满分14分解：（1）设点，其中抛物线过点，抛物线与轴交于两点，是方程的两个实根求的值给出以下两种方法：方法1：由韦达定理得：的面积为，即，解得，所求二次函数的关系式为方法2：由求根公式得，的面积为，即解得，所求二次函数的关系式为（2）令，解得，在中，在中，25题（2）图yxBACO，是直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点的外接圆的半径垂线与的外接圆有公共点，（3）假设在二次函数的图象上存在点，使得四边形是直角梯形若，设点的坐标为，25题（3）图1yxBACOED过作轴，垂足为，如图1所示求点的坐标给出以下两种方法：方法1：在中，在中，解得或，此时点的