华理概率论习题1答案-2012.pdf

1 华东理工大学 概率论与数理统计 作业簿 第一册 学院 专业 班级 学号 姓名 任课教师 第一次作业 一 填空题 1 设 20 xxS 1 2 1 xxA 2 3 4 1 xxB 具体写出下列 各事件 BA 113 1x 422 xx 或或者者 BA S BA B AB A 2 设A B C表示三个随机事件 试将下列事件用A B C表示出来 1 事件 ABC 表示A B C都发生 2 事件ABC表示A B C都不发生 3 事件ABC表示A B C不都发生 4 事件ABC 表示A B C中至少有一件事件发生 5 事件ABACBC 或ABACBC 表示A B C中最多有一事件 发生 二 选择题 1 设 10 3 2 1 5 3 2 A 7 5 4 3 B 7 4 3 1 C 则事件 BCA A A 10 9 8 6 1 B 5 2 C 10 9 8 6 2 D 10 9 8 6 5 2 1 2 对飞机进行两次射击 每次射一弹 设事件 A 恰有一弹击中飞机 事件 B 至少有一弹击中飞机 事件C 两弹都击中飞机 事件 D 两 弹都没击中飞机 又设随机变量 为击中飞机的次数 则下列事件中 C 不 表示 1 2 A 事件AB 事件CB C 事件CB D 事件CD 3 设A B是两个事件 且 A B 则 BABA 表示 D A 必然事件B 不可能事件 C A与B不能同时发生D A与B中恰有一个发生 4 以A表示事件 甲种产品畅销 乙种产品滞销 则其对立事件A表示 D A 甲种产品滞销 乙种产品畅销 B 甲 乙两种产品均畅销 C 甲种产品畅销 D 甲种产品滞销 或乙种产品畅销 三 计算题 1 写出下列随机试验的样本空间 并把指定的事件表示为样本点的集合 1 随机试验 考察某个班级的某次数学考试的平均成绩 以百分制记分 只取整数 设事件A表示 平均得分在 80 分以上 2 随机试验 同时掷三颗骰子 记录三颗骰子点数之和 设事件A表示 第一颗掷得 5 点 设事件B表示 三颗骰子点数之和不超过 8 点 3 随机试验 某篮球运动员投篮练习 直至投中十次 考虑累计投篮的次 数 设事件A表示 至多只要投 50 次 解 1 样本空间可以表示为 100 3 2 10 事件 100 82 81 A 2 样 本 空 间 可 以 表 示 为 18 5 4 3 事 件 17 8 7 A 8 4 3 B 3 样本空间可以表示为 12 11 10 事件 50 12 11 10 A 2 某电视台招聘播音员 现有三位符合条件的女士和两位符合条件的男士前 来应聘 1 写出招聘男女播音员各一名的样本空间 2 写出招聘两名播音员的样本空间 设事件A表示 招聘到两名女士 把该 事件表示为样本点的集合 解 用 i W 表示招聘了的第 3 2 1 ii 位女士 用 j M 表示招聘了第 2 1 jj 位 男士 1 231322122111 MWMWMWMWMWMW 3 2 21231332221231212111 MMMWMWWWMWMWWWWWMWMW 323121 WWWWWWA 3 如果事件A与事件B互为对立事件 证明 事件A与事件B也互为对立事 件 证 由于A与B互为对立事件 故 ABAB 因此就有 ABAB 所以 A与B 也互为对立事件 4 化简事件算式 ABABABAB 解 ABABABABABABABABAA 5 证明下列等式 AABBAB 证明 因为 AABBAAB BAAB BAAB B ABABBABAB 所以 AABBAB 6 设A B为两个事件 若 BAAB 问A和B有什么关系 解 A和B为对立事件 第二次作业 一 填空题 1 10个螺丝钉有3个是坏的 随机抽取4个 则恰好有两个是坏的概率是0 3 4 个全是好的概率是 0 1667 2 把 12 本书任意地放在书架上 则其中指定的 4 本书放在一起的概率 55 1 12 4 9 3 10 层楼的一部电梯上同载 7 个乘客 且电梯可停在 10 层楼的每一层 求不 发生两位及两位以上乘客在同一层离开电梯的概率06048 0 3125 189 107 7 10 A 4 袋中装有编号为n 2 1 的n个球 每次从中任意摸一球 若按照有放回 4 方式摸球 则第k次摸球时 首次摸到 1 号球的概率为 k k n n 1 1 若按照无 放回方式摸球 则第k次摸球时 首次摸到 1 号球的概率为 n 1 二 选择题 1 为了减少比赛场次 把 20 个球队任意分成两组 每组 10 队 进行比赛 则 最强的两个队被分在不同组内的概率为 B A 2 1 B 19 10 C 19 5 D 10 1 2 从一副扑克牌 52 张 中任取 4 张 4 张牌的花色各不相同的概率 C A 13 1 B 4 52 13 C C 4 52 4 13 C D 49505152 134 三 计算题 1 将长为a的细棒折成三段 求这三段能构成三角形的概率 解 设三段分别为 x y axy 样本空间 0 0 xayaxya 能构成三角形须满足 图中阴影部分 2 0 2 0 0 0 2 a xy xyaxy yaxyx a x axyxy a xaya y 故这三段能够成三角形的概率为 1 4 2 同时掷五颗骰子 求下列事件的概率 5 1 A 点数各不相同 2 B 至少出现两个 6 点 3 C 恰有两个点数相同 4 D 某两个点数相同 另三个同是另一个点数 解 1 5 5 6 6 P AP 2 5 4 5 5 6 5 5 6 5 1 BP 3 54 25 6 3456 5 2 5 C CP 4 648 25 6 56 5 2 5 C DP 3 将 10 根绳的 20 个头任意两两相接 求事件 A 恰结成 10 个圈 的概率 解 19 1 20 20 AP 4 从 5 双不同的鞋子中任取 4 只 求此 4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的 概率 解 122112 524225 4 10 13 21 C C C C CC P C 5 在区间 0 1 中随机地取两个数 求两数之差的绝对值小于 2 1 的概率 解 样本空间为 01 01x yxy 记 1 2 Ax yx yxy 4 3 S S AP A 6 在正方形 11 11Dx yxy 中任取一点 求使得关于u的方程 0 2 yxuu有 1 两个实根的概率 2 有两个正根的概率 解 1 方程有两个实根 要求04 2 yx 即点的坐标满足 6 04 2 yxDyxyx 见如图阴影部分 因此概率为 24 13 4 4 22 1 0 2 dx x S S P D 阴阴 2 方程有正根 要求0 2 4 2 yxx 也就是要求 0 0 yx 因此点的坐标满足 0 004 2 yxyxDyxyx 见图阴影 部分 因此概率为 48 1 4 4 0 1 2 dx x S S P D 阴阴 7 在一张印有方格的纸上投一枚直径为 1 的硬币 试问方格边长a要多大才能 使硬币与边线不相交的概率小于 1 解 7 由于投掷的等可能性 只需考虑硬币投入一个方格的情况 如图所示 样本 空间对应于面积为 2 a的区域 若硬币与边线不相交 则硬币中心应落入面积 为 2 1a 的中心阴影区域中 故 2 2 1 0 01 a P a 硬硬币币与与边边线线不不相相交交 于是有 10 9 a 8 n个人随机地围绕圆桌就座 试问其中A B两人的座位相邻的概率是多少 解 2 3 1 12 n Pn n A BA B两两人人座座位位相相邻邻 9 一部五卷的选集 按任意顺序放在书架上 求 1 各卷自左至右或者自右至左的卷号顺序恰为 1 2 3 4 5 的概率 2 第一卷及第五卷分别在两端的概率 3 第一卷及第五卷都不在两端的概率 解 1 21 5 60 P 2 2 3 1 5 10 P 3 2 3 3 3 5 10 P P 第三次作业 一 填空题 8 1 已知6 0 3 0 7 0 BPBAPAP 则 BAP0 1 2 设A B是任意两个事件 则 PABABABAB 0 3 设事件A B满足ABA B 则 P AB 1 P AB 0 4 已知 ABABABABC 且 1 3 P C 则 P B 2 3 5 设随机事件A B及其和事件的概率分别是 0 4 0 3 0 6 若B表示B的对 立事件 那么 P AB 0 3 二 选择题 1 从数列 1 2 n 中随机地取三个数 1 k n 则一个数小于 k 一个数等于 k 而一个数大于 k 的概率 D A n k1 B 2 1 n knk C 2 1 1 nnn knk D 2 1 1 6 nnn knk 2 箱子中装有 5 个白球和 6 个黑球 一次取出 3 只球 发现都是同一种颜色的 在此前提下得到的全是黑色概率为 A A 3 2 B 11 3 C 11 6 D 33 4 3 设事件A与B互不相容 则 D A 0P AB B P ABP A P B C 1 P AP B D 1P AB 4 设A B是任意两个互不相容的事件 且 0P A P B 则必有 D A A与B 互不相容B A与B 相容 C P ABP B D P ABP B 5 设A B是任意两个事件 则使减法公式 P ACP AP C 成立的C为 C A CA B CAB C CABAB D CABBA 9 三 计算题 1 设 3 1 AP 2 1 BP 试就下列三种情况下分别求出 BAP的值 1 A与B互不相容 2 BA 3 8 1 ABP 解 1 2 1 BPABPBAP 2 6 1 3 1 2 1 APBPABPBAP 3 8 3 8 1 2 1 ABPBPABPBAP 2 已知 10 只晶体管中有两只是次品 在其中取两次 每次任取一只 作不放 回抽样 求下列事件的概率 1 两只都是正品 2 两只都是次品 3 一只是正品 一只是次品 4 第二次取出的是次品 解 设 i A 第 i 次取出的是正品 则 1 12211 8728 10945 P A AP AA P A 2 12211 211 10945 P AAP AA P A 3 12121212 822816 10910945 P A AA AP A AP A A 4 21121212 82211 1091095 P APAAAP A AP A A 3 某旅行社 100 人中有 43 人会讲英语 35 人会讲日语 32 人会讲日语和英 语 9 人会讲法语 英语和日语 且每人至少会讲英语 日语 法语 3 种语 言中的一种 试求 1 此人会讲英语和日语 但不会讲法语的概率 2 此人只会讲法语的概率 解 设A B C分别为会讲英语 日语 法语 1 329 0 23 100100 P ABCP ABP ABC 2 10 1 433532 10 54 100100100 P ABCP ABCABP AB 4 在空战中 甲机先向乙机开火 击落乙机的概率是 0 2 若乙机未被击落 就进行还击 击落甲机的概率是 0 3 若甲机未被击落 则再攻击乙机 击落 乙机的概率是 0 4 试求在这几个回合中 1 甲机被击落的概率 2 乙机被击落的概率 解 设在这三次攻击中 击落敌机 事件分别为A B C 则依题意有 0 2 0 3 0 4P AP B AP C AB 1 0 24PP ABP A P B A 甲甲机机被被击击落落 2 0 424 PP AA B CP AP A B C P AP A P B A P C A B 乙乙机机被被击击落落 5 设A B是两个随机事件 已知 1 3 P B 1 4 P A B 1 5 P A B 试 求 P A 解 1 1 1 2111423 10 7667 3433530 P AP ABP BP ABP A BP BP B P A B P B P A BP BP BP A B 6 从数字 1 2 3 9 中 可重复地 任取n次 求n次所取的数字的乘 积能被 10 整除的概率 解 定义事件 取到数字 定义事件 取到偶数 854 1 1 1 9 nnn n P ABP ABP AP BP AB 7 某班n个战士各有一支归个人保管使用的枪 外形完全一样 在一次夜间 紧急集合中 每人随机地取了一支