MATLAB(第四章和第八章).doc

第四章 线性代数问题的计算机求解一、实验内容：题目1.Jordan矩阵是矩阵分析中一类很实用的矩阵，其一般形式为J= ,例如J1= 试利用diag()函数给出构造J1的语句。【分析】该题为对角矩阵的问题。对J要利用diag()能够构造对角矩阵和次对角矩阵的性质。J1只需对角矩阵和次对角矩阵相加即可。这里需要对diag()函数的调用。如A=diag(V)-已知向量生成对角矩阵，A=diag(V,k)生成主对角线上第k条对角线为V的矩阵（其中k可为正负）【解答】：输入如下语句：J1=diag(-5 -5 -5 -5 -5)+diag(1 1 1 1,1)按ENTER键，显示如下：J1=-5 1 0 0 0 0 -5 1 0 0 0 0 -5 1 00 0 0 -5 10 0 0 0 -5题目5.试求出Vandermonde矩阵A=,的行列式，并以最简的形式显示结果。【求解】该问题有两个知识点。一个构造是Vandermonde矩阵，另一个是求矩阵的行列式。前者可以利用书中编写的面向符号矩阵的vander()函数构造出Vandermonde矩阵。需要用到V=vander(C)来调用。后者可以用MATLAB的det()函数来求解，他会自动采用解析解法求出其行列式的值。需要注意运用det()的前提是符号矩阵，本题中A已是符号矩阵，所以不用转换。最后，用simple()函数简化一下即可。【解答】：（1）构造矩阵：输入如下语句：syms a b c d e; A=vander(a b c d e)按ENTER键，显示如下：A= a4, a3, a2, a, 1 b4, b3, b2, b, 1 c4, c3, c2, c, 1 d4, d3, d2, d, 1 e4, e3, e2, e, 1（2）以最简单的形式输出行列式：输入如下语句：det(A),simple(ans)按ENTER键，显示如下：ans=(c-d)*(b-d)*(b-c)*(a-d)*(a-c)*(a-b)*(-d+e)*(e-c)*(e-b)*(e-a)15. 试求出线性代数方程组X =，并验证解的正确性【分析】:该题为线性方程的计算机求解问题。 需要考虑的是X=B*A-1，在MATLAB中，需要调用inv(A)*B函数，来得出方程的解。同时需要用到逆运算。【解答】：(1)输入如下语句： A=7,6,9,7;7,1,3,2;2,1,5,5;6,4,2,6;B=2,1,0,1;0,3,1,2;A=A,B=B; x=inv(A)*B,e1=norm(A*x-B),x1=inv(sym(A)*B,e2=norm(double(A*x1-B)语句运行后，显示如下：x = -0.0057 0.4511 0.1034 -0.6207 -0.1609 -0.3678 0.2730 0.3204e1 = 1.5879e-015x1 = -1/174, 157/348 3/29, -18/29 -14/87, -32/87 95/348, 223/696e2 = 0（2）对X进行逆运算，输入以下语句： x1=x1； x1*A语句运行后，显示如下：ans = 2, 1, 0, 1 0, 3, 1, 2二、实验心得这次是第三次上高等应用数学问题的MATLAB求解课程。通过老师上课的细心讲解与演示，我对MATLAB又有了更深的了解。原来MATLAB在线性代数问题矩阵问题中也可以用的如此灵活简便。同时我还学到了很多MATLAB的应用。首先是矩阵的输入，我学会了如何用简单的函数语句直接输入零矩阵，幺矩阵，随机元素矩阵，对角元素矩阵，Hankel矩阵，伴随矩阵等。其调用的语句虽然看似简单，但还是要注意细节。就拿对角元素矩阵说，调用语句A=diag(V,k)是生成主对角线上第k条对角线为V的矩阵，这里要深刻理解k的含义，他可正可负，是对角线上第k条对角线。同时我们还要灵活掌握向量与矩阵的两两转化，不是只掌握一个就可以了。我还学到了矩阵分析的基本概念及求解函数，比如如何做出行列式，迹，秩，范数，特征多项式，逆矩阵，广义逆矩阵，特征值与特征向量等。以行列式为例，我会运用简单的d=det(A)函数来调用，直接求行列式。但是要注意细节的是我们练习的题目中，是Hilbert矩阵，我们要用sym()函数把他符号化，再用det()调用。所以不符号化的话，就会遇到运行错误的问题。我还会运用了矩阵的基本变换，知道了矩阵的正交分解，三角分解，对称矩阵的Cholesky分解，一半矩阵的伴随分解，Jordan变换等。我了解了线性代数方程对唯一解、无穷解、无解等问题的处理，矩阵方程的据算机求解等。就拿线性方程组的计算机求解来说，已AX=B为例，其实很简单，只要输入A,B矩阵，再运用X=inv(A)*B函数就可以编写出了。第八章 数据插值、函数逼近问题的计算机求解一、实验内容：1 用生成一组较稀疏的数据，并用一维数据插值的方法对给出的数据进行曲线拟合，并将结果与理论曲线相比较。【分析】：该题为一维差值问题。该题可以利用函数interp1(),其调用格式为y=interp1(x,y,x1,f方法)。插值方法有很多，一般默认为可以选择linear线性插值，nearest对近点等值方法,cubic三次Hermite插值spline 三次分段样条插值。本题运用最精确的三次分段样条插值进行求解，并用理论曲线与拟合的直线共同显示在一起进行比较。【解答】： (1) 根据所给函数用MATLAB生成较稀疏的数据，输入如下语句：t=0:0.2:2;y=t.2.*exp(-5*t).*sin(t);plot(t,y,o)显示图片如下：(2) 调用一维插值函数interp1(),并用最精确的插样方法spline(三次分段样条插值)。输入如下语句:ezplot(t.2.*exp(-5*t).*sin(t),0,2); hold onx1=0:0.01:2; y1=interp1(t,y,x1,spline);plot(x1,y1,g)如图所示，曲线拟合与原曲线完全一样。还可以用四种方式求解，输入如下数据： t1=0:0.02:1;y0=t1.2.*exp(-5*t1).*sin(t1);y1=interp1(t,y,t1);y2=interp1(t,y,t1,nearest);t1=0:0.02:1;y0=t1.2.*exp(-5*t1).*sin(t1);y1=interp1(t,y,t1);y2=interp1(t,y,t1,cubic);y3=interp1(t,y,t1,spline);y4=interp1(t,y,t1,nearest);plot(t1,y1,y2,y3,y4,:,t,y,o,t1,y0)e1=max(abs(y0(1:49)-y2(1:49),e2=max(abs(y0-y3),e3=max(abs(y0-y4)按ENTER键，输出如下：e1 = 1.4195e-004e2 = 1.0990e-004e3 =0.0018并显示图片：比较e,由结果可知三次分段样条插值的精确度最好。2 用在(0; 3) 区间内生成一组较稀疏的数据，并用一维数据插值的方法对给出的数据进行曲线拟合，并将结果与理论曲线相比较【分析】：该题目和第一题一样，同样先生成数据，然后再用spline(三次分段样条插值)函数进行拟合。该问题需要考虑步长的取值，步长的大小取决了其精确度。【解答】：(1) 用MATLAB生成一组较稀疏的数据，输入如下语句：0:0.2:3;y=sin(10*t.2+3); plot(t,y,o)图片显示如下：（2）画出理论曲线，拟合一维数据插值，进行比较,输入如下语句：ezplot(sin(10*t2+3),0,3)plot(t,y,r)ezplot(sin(10*t2+3),0,3); hold onx1=0:0.001:3; y1=interp1(t,y,x1,spline);plot(x1,y1,r)由图可知拟合的曲面一开始与原函数吻合的很好，但是却到后面越来越偏离，所以需要再减小样本点的步长，输入如下语句： t=0:0.1:1,1.1:0.01:3; y=sin(10*t.2+3); plot(t,y,o)ezplot(sin(10*t2+3),0,3); hold onx1=0:0.001:3; y1=interp1(t,y,x1,spline);plot(x1,y1,r)显示图片如下：即与原函数完全吻合。该题还可以用四种插值方法进行求解，输入如下数据： t1=0:0.01:3; y0=sin(10.*(t1.2)+3); y1=interp1(t,y,t1); y2=interp1(t,y,t1,cubic); y3=interp1(t,y,t1,spline); y4=interp1(t,y,t1,nearest); plot(t1,y1,y2,y3,y4,:,t,y,o,t1,y0) e1=max(abs(y0(1:49)-y2(1:49),e2=max(abs(y0-y3),e3=max(abs(y0-y4)按ENTER键，显示如下：e1 = 0.0023e2 = 0.0282e3 =0.5748由图可知比较并比较e,由结果可知三次分段样条插值的精确度最好。题目三：用原型函数生成一组网格数据或随机数据，分别拟合出曲面，并和原曲面进行比较。【分析】：该题考了两个方法。一个是生成一组网格数据，拟合曲面。另一个是生成随机数据，拟合曲面。前者应先绘制已知数据的网格图，再采用spline拟合曲面，最后要对比插值结果和新网格下的函数值精确解，绘制出绝对插值误差曲面。后者应先选择随机分布的样本点，绘制出已知数据点的分布和已知数据点的三维分布图。然后对产生的三维曲面数据进行v算法差值，最后用abs()与原曲面进行比较，进行误差分析.【解答】:(1)形成网格数据：绘制已知数据的网格图，输入如下语句：x,y=meshgrid(0.2:0.2:2);z=exp(-x.2-y.4).*sin(x.*y.2+x.2.*y)./(3*x.3+y);surf(x,y,z)按ENTER键，图片显示如下：采用三次分段样条插值方法，输入如下语句： x1,y1=meshgrid(0.2:0.02:2);z1=interp2(x,y,z,x1,y1,spline);surf(x1,y1,z1)按ENTER键，图片显示如下：对三次样条插值方法进行误差分析，对比插值结果和新网格下的函数值精确解，可以绘制出绝对插值误差曲面，如输入如下语句： z0=exp(-x1.2-y1.4).*sin(x1.*y1.2+x1.2.*y1)./(3*x1.3+y1);surf(x1,y1,abs(z1-z0)按ENTER键，图片显示如下：由图可知，三次样条插值方法拟合的较为精确。(2) 形成随即数据：选择随机分布的样本点，输入如下语句： x=0.2+1.8*rand(400,1); y=0.2+1.8*rand(400,1);z=exp(-x.2-y.4).*sin(x.*y.2+x.2.*y)./(3*x.3+y);plot(x,y,.)figure, plot3(x,y,z,v)显示已知数据点的分布，已知数据点的三维分布图片如下：（数据点分布）（数据点三维分布）对产生的三维曲面数据进行v算法差值，输入如下语句：x1,y1=meshgrid(0.3:0.02:1.9);z1=griddata(x,y,z,x1,y1,v4);surf(x1,y1,z1)按ENTER键，图片显示如下：与原曲面进行比较，进行误差分析，输入如下语句： z0=exp(-x1.2-y1.4).*sin(x1.*y1.2+x1.2.*y1)./(3*x1.3+y1);surf(x1,y1,abs(z1-z0)由图可知该方法的拟合结果较为精确。但是边界值还是存在较大误差。题目四：假设已知一组数据，试用插值方法绘制出x 2 (2; 4:9) 区间内的光滑函数曲线，比较各种插值算法的优劣。xiyi-20.10289-1.70.11741-1.40.1318-1.10.14483-0.80.15656-0.50.16622-0.20.173320.10.17750.40.178530.70.1763510.171091.30.16302xiyi1.6 0.152551.90.14022.20.126552.50.112192.80.097683.10.083533.40.070153.70.057864 0.046874.30.037294.60.029144.900.02236【分析】：该题可以利用linear线性插值，nearest对近点等值方法,cubic三次Hermite插值spline 三次分段样条插值这四种方法本题进行求解，并用理论曲线与拟合的直线共同显示在一起进行比较。同时计算精确度，比较e的大小即可。【解答】：输入如下语句，进行四种方法的求解： x=-2,-1.7,-1.4,-1.1,-0.8,-0.5,-0.2,0.1,0.4,0.7,1,1.3,.1.6,1.9,2.2,2.5,2.8,3.1,3.4,3.7,4,4.3,4.6,4.9;y=0.10289,0.11741,0.13158,0.14483,0.15656,0.16622,0.17332,.0.1775,0.17853,0.17635,0.17109,0.16302,0.15255,0.1402,.0.12655,0.11219,0.09768,0.08353,0.07019,0.05786,0.04687,.0.03729,0.02914,0.02236; x1=-2:0.02:4.9; plot(x,y,x,y,o)y1=interp1(x,y,x1);y2=interp1(x,y,x1,cubic);y3=interp1(x,y,x1,spline);y4=interp1(x,y,x1,nearest);plot(x1,y1,y2,y3,y4,:,x,y,o,x,y)显示图片如下：输入如下数据，比较精确度： e1=max(abs(y0(1:49)-y2(1:49),e2=max(abs(y0-y3),e3=max(abs(y0-y4)显示如下：e1 = 0.0039e2 = 0.0274e3 =0.5479由图可知三次分段样条插值的吻合度最好。比较e的大小，三次分段样条插值的e值最小。题目五：假设已知实测数据由下表给出，试对(x; y) 在(0:1; 0:1) ，(1:1; 1:1) 区域内的点进行插值，并用三维曲面的方式绘制出插值结果【分析】：该题应采用最精确的三次分段样条插值方法spline进行拟合，然后可以利用axis(0.1,1.1,0.1,1.1,min(),max()函数进行制图。若该题不考虑插值数值，则可以直接采用MATLAB 下的shadinginterp 命令来实现。【解答】：（1)直接采用最精确的三次分段样条插值方法，得出插值曲面输入如下语句：x,y=meshgrid(0.1:0.1:1.1);z=0.83041,0.82727,0.82406,0.82098,0.81824,0.8161,0.81481,0.81463,0.81579,0.81853,0.82304;0.83172,0.83249,0.83584,0.84201,0.85125,0.86376,0.87975,0.89935,0.92263,0.94959,0.9801;0.83587,0.84345,0.85631,0.87466,0.89867,0.9284,0.96377,1.0045,1.0502,1.1,1.1529;0.84286,0.86013,0.88537,0.91865,0.95985,1.0086,1.0642,1.1253,1.1904,1.257,1.3222;0.85268,0.88251,0.92286,0.97346,1.0336,1.1019,1.1764,1.254,1.3308,1.4017,1.4605;0.86532,0.91049,0.96847,1.0383,1.118,1.2046,1.2937,1.3793,1.4539,1.5086,1.5335;0.88078,0.94396,1.0217,1.1118,1.2102,1.311,1.4063,1.4859,1.5377,1.5484,1.5052;0.89904,0.98276,1.082,1.1922,1.3061,1.4138,1.5021,1.5555,1.5573,1.4915,1.346;0.92006,1.0266,1.1482,1.2768,1.4005,1.5034,1.5661,1.5678,1.4889,1.3156,1.0454;0.94381,1.0752,1.2191,1.3624,1.4866,1.5684,1.5821,1.5032,1.315,1.0155,0.62477;0.97023,1.1279,1.2929,1.4448,1.5564,1.5964,1.5341,1.3473,1.0321,0.61268,0.14763;x1,y1=meshgrid(0.1:0.02:1.1);z1=interp2(x,y,z,x1,y1,spline);surf(x1,y1,z1)axis(0.1,1.1,0.1,1.1,min(z1(:),max(z1(:)绘制三维曲面如下显示：（2）该题还可以用MATLAB 下的shadinginterp 命令来实现，输入如下语句： surf(x,y,z); shading interp按ENTER键，显示图片如下：由图可知，该插值曲面更光滑，这样的插值方法更好，但是该方法没有像样条差值一样能很好地吻合数据点。题目九：已知如下的样本点(xi; yi) 数据，试对其进行分段三次多项式样条插值。xi12345678910yi244.0221.0208.0208.0211.5216.0219.0221.0221.5220.0【分析】： 该题为对已知数据点进行三次多项式样条差值。在MATLAB中可以利用csapi()函数来定义，其调用格式为S=csapi（x,y）。其中X=X1，X2，Xn,Y=Y1,Y2,Yn.样条函数对象的插值结果可以用fnplt()绘制出来。其条用格式为fnplt(S), Y=fnplt(S，xp).【解答】：对样本点进行三次多项式样条差值，输入如下语句：x=1:10;y=244.0,221.0,208.0,208.0,211.5,216.0,219.0,221.0,221.5,220.0;S=csapi(x,y);S.coefs按ENTER键，显示差值多项式如下：ans =1.0e+002 *0.01144795602886 0.01565613191343 -0.25710408794229 2.440000000000000.01144795602886 0.05000000000000 -0.19144795602886 2.21000000000000-0.02723978014428 0.08434386808657 -0.05710408794229 2.080000000000000.00251116454827 0.00262452765373 0.02986430779801 2.08000000000000-0.00780487804878 0.01015802129852 0.04264685675026 2.115000000000000.00370834764686 -0.01325661284782 0.03954826520096 2.16000000000000-0.00202851253865 -0.00213156990725 0.02416008244589 2.19000000000000-0.00059429749227 -0.00821710752319 0.01381140501546 2.21000000000000-0.00059429749227 -0.01000000000000 -0.00440570250773 2.21500000000000绘制效果图，输入如下语句： fnplt(S); hold on; plot(x,y,o)按ENTER键，显示如下：题目十五：假设习题5 中数据的原型函数为试用最小二乘方法识别出a， b;，c， d， e 的数值。【分析】：该题为最小二乘曲线拟合问题。该题首先应输入一直参数，求解a,b,c,d,e的值。然后再绘制拟合的曲线图。【解答】：（1）用最小二乘的方法求出a,b,c,d,e的值，输入如下语句：x,y=meshgrid(0.1:0.1:1.1);z=0.83041,0.82727,0.82406,0.82098,0.81824,0.8161,0.81481,0.81463,0.81579,0.81853,0.82304;0.83172,0.83249,0.83584,0.84201,0.85125,0.86376,0.87975,0.89935,0.92263,0.94959,0.9801;0.83587,0.84345,0.85631,0.87466,0.89867,0.9284,0.96377,1.0045,1.0502,1.1,1.1529;0.84286,0.86013,0.88537,0.91865,0.95985,1.0086,1.0642,1.1253,1.1904,1.257,1.3222;0.85268,0.88251,0.92286,0.97346,1.0336,1.1019,1.1764,1.254,1.3308,1.4017,1.4605;0.86532,0.91049,0.96847,1.0383,1.118,1.2046,1.2937,1.3793,1.4539,1.5086,1.5335;0.88078,0.94396,1.0217,1.1118,1.2102,1.311,1.4063,1.4859,1.5377,1.5484,1.5052;0.89904,0.98276,1.082,1.1922,1.3061,1.4138,1.5021,1.5555,1.55