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第四节 函数单调性与极值一、 函数单调性的判别法引例：（1）在内单增，当时，。 （2）在内单减，当时，。定理1：设函数在上连续，在内可导； （1）如果在内，则函数在上单调增加； （2）如果在内，则函数在上单调减少；推论1：设函数在上连续，在内可导； （1）如果在内，则函数在上严格单调增加； （2）如果在内，则函数在上严格单调减少；例1：讨论下列函数的单调性（1），（2），例2：讨论函数的单调性注：（1）一般地，如果函数在某个区间上连续，且其导数除在有限个点处为零外，而在其余点处都有（或），则函数在该区间上单调增加（单调减少）。 （2）可以发现函数单调增加区间与单调减少区间的分界点可能是导数为零的点和导数不存在的点。 （3）可利用函数的单调性证明一些不等式。例3 ：证明：当时，。二、函数的极值及其求法（一） 引例讨论函数在点、的附近的单调性，（二） 函数极值的概念定义：设函数在点的某邻域内有定义，如果对，恒有（或），则称为函数的一个极大值（或极小值），称为函数的极大值（或极小值）注：（1）函数极值是一个局部概念，只是将函数在某一点处的函数值与其邻域的函数值进行比较；而极小值并不一定小于极大值。 （三） 函数取得极值的充分必要条件 由引例1知函数在点、处取得极值，而该函数在这些点处的导数为零或导数不存在。1、 必要条件定理1：设函数在点处可导，且在点处取得极值，那末该函数在点处的导数为零，即。注：（1）称使得函数的导数为零的点为函数的驻点。 （2）定理1表明可导函数的极值点一定是驻点。但函数的驻点不一定是函数的极值点，不是函数的驻点的点也可能是函数的极值点。2、 第一充分条件定理2：设函数在点连续，且在点的某去心邻域内可导。（1） 若当时，有；而当时，有。则函数在点处取得极大值。（2） 若当时，有；而当时，有。则函数在点处取得极小值。（3） 如果当时，有（或），则函数在 点 处没有极值。 3、 第二充分条件定理3：设函数在点处二阶可导，且，； 那么（1）当时，函数在点处取得极大值， （2）当时，函数在点处取得极小值。 注：（1）定理2、定理3的条件都是充分的。（2）对定理3，若时，则不能利用定理进行判别，此时函数在点处可能取得极值，也可能没有极值。如：，。4、求函数极值的步骤（1） 求出函数的定义域，（2） 正确求出，找出的全部驻点及使不存在的点，（3） 确定在上述这些点两侧的符号，（4） 判别函数
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