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7.3 湍流的动能平衡众所周知，湍流的瞬时速度也可看成是时间平均速度与叠加脉动速度的和。因此，平均速度场的动能不同于瞬时动能的平均值，而后者包含脉动动能的时间平均值： . (7.20)动能不满足守恒定律，因此湍流动能的平衡不是守恒定律公理，它只能由动量平衡方程衍化而成。很明显，从实用的观点上看，许多重要的方程都是项的平衡式。然而，和的平衡等式也会对湍流的属性提供很有价值的信息。动量平衡推导为了得出湍流总动能的平衡等式，把动量方程乘上时间平均后的速度。用这种方法我们可以得到： . (7.21)逐项了解各项求平均值过程。对于左边第一项：.与成线性关系的项消失了。左边第二项（对流项）求平均值也是这种情况。因此该项可以分解为下面各项的和：.稍加变换并考虑div，得出的平均值结果为：;方程右边第一项很明显为:,而对于右边第二项我们有:.与脉动成线性关系的项消失了，因为流体的不可压缩性最后两项也等于零。最后，方程右边的最后一项（粘度项）的平均值也能求出。求平均值前先做以下修改：.既然S和都是对称二阶张量，它们由导数张量和表示的积可以用和代替。把所有的项代入等式(7.21)，我们得到总动能方程：. (7.22)对于封闭在任意有限体积为、边界面积为()的流体质量的湍流，以相似的方法用Gauss理论得出总动能方程：. (7.23)这个方程表明总动能的变化率包括以下五项：平均速度动能的本地导数和迁移导数；脉动平均动能的本地导数；后者（这依赖于它作为平均速度或脉动的函数是否有一些质点通过界面）迁移导数的两个分量。损耗函数包括两部分：一项是与平均流量有关的损耗函数，另一项是由于湍流速度脉动衰减引起的不可逆内能转化。湍流的速度脉动从一点到另一点强度大且无规律；它们的导数张量比平均速度场的导数张量大得多，特别是在远离边界区。因此，与湍流损耗函数相比，粘度损耗函数可以忽略掉：动能平衡方程的各项代表了外力所
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