圆周运动辅导班讲义.doc

圆周运动1、定义：物体运动轨迹为圆称物体做圆周运动。2、分类：匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在任意相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。物体在大小恒定而方向总跟速度的方向垂直的外力作用下所做的曲线运动。注意：这里的合力可以是万有引力卫星的运动、库仑力电子绕核旋转、洛仑兹力带电粒子在匀强磁场中的偏转、弹力绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转、重力与弹力的合力锥摆、静摩擦力水平转盘上的物体等 变速圆周运动：如果物体受到约束，只能沿圆形轨道运动，而速率不断变化如小球被绳或杆约束着在竖直平面内运动，是变速率圆周运动合力的方向并不总跟速度方向垂直3、描述匀速圆周运动的物理量（1）轨道半径（r）：对于一般曲线运动，可以理解为曲率半径。（2）线速度（v）：定义：质点沿圆周运动，质点通过的弧长S和所用时间t的比值，叫做匀速圆周运动的线速度。定义式：线速度是矢量：质点做匀速圆周运动某点线速度的方向就在圆周该点切线方向上，实际上，线速度是速度在曲线运动中的另一称谓，对于匀速圆周运动，线速度的大小等于平均速率。（3）角速度（，又称为圆频率）：定义：质点沿圆周运动，质点和圆心的连线转过的角度跟所用时间的比值叫做匀速圆周运动的角速度。大小： (是t时间内半径转过的圆心角)单位：弧度每秒（rad/s）（4）周期（T）：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。（5）频率（f，或转速n）：物体在单位时间内完成的圆周运动的次数。各物理量之间的关系：计算时，采用国际单位制，角度的单位采用弧度制。（6）圆周运动的向心加速度定义：做匀速圆周运动的物体所具有的指向圆心的加速度叫向心加速度。大小：（还有其它的表示形式，如：）方向：其方向时刻改变且时刻指向圆心。对于一般的非匀速圆周运动，公式仍然适用，为物体的加速度的法向加速度分量，r为曲率半径；物体的另一加速度分量为切向加速度，表征速度大小改变的快慢（对匀速圆周运动而言，=0）（7）圆周运动的向心力向心力的大小为：）；向心力的方向时刻改变且时刻指向圆心。(8)离心运动当物体受到的合外力时，物体做匀速圆周运动；当物体受到的合外力时，物体做离心运动当物体受到的合外力时，物体做近心运动几种常见的圆周传动装置及其特点装置特点同轴传动1.角速度相同，即AB2.周期相同，即TATB3.线速度与半径成正比，即皮带传动1.线速度大小相等，即vAvB2.周期与半径成正比，即3.角速度与半径成反比，即齿轮传动1.线速度大小相等，即vAvB2.周期与半径成正比，即3.角速度与半径成反比，即1、皮带传动问题如图所示，为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则（ ）A. a点与b点的线速度大小相等B. a点与b点的角速度大小相等C. a点与c点的线速度大小相等D. a点与d点的向心加速度大小相等解析：皮带不打滑，故a、c两点线速度相等，选C；c点、b点在同一轮轴上角速度相等，半径不同，由 ，b点与c点线速度不相等，故a与b线速度不等，A错；同样可判定a与c角速度不同，即a与b角速度不同，B错；设a点的线速度为 ，则a点向心加速度 ，由 ， ，所以 ，故 ，D正确。本题正确答案C、D。点评：处理皮带问题的要点为：皮带（链条）上各点以及两轮边缘上各点的线速度大小相等，同一轮上各点的角速度相同。2、 水平面内的圆周运动转盘：物体在转盘上随转盘一起做匀速圆周运动，物体与转盘间分无绳和有绳两种情况。无绳时由静摩擦力提供向心力；有绳要考虑临界条件。如图所示，水平转盘上放有质量为m的物体，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间的最大静摩擦力是其正压力的 倍。求：（1）当转盘的角速度 时，细绳的拉力 。（2）当转盘的角速度 时，细绳的拉力 。解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为 ，则 ，解得 （1）因为 ，所以物体所需向心力小于物与盘间的最大摩擦力，则物与盘产生的摩擦力还未达到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为0，即 。（2）因为 ，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力 ，由牛顿第二定律得 ，解得 。圆锥摆：圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动。其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平。也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力（弹力的竖直分力和重力互为平衡力）。3、 竖直面内的圆周运动竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及题型分类。（1）弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有 ，即 ，否则不能通过最高点；（2）弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有 ， ，否则车将离开桥面，做平抛运动；（3）弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速度大小v可以取任意值。但可以进一步讨论：a. 当 时物体受到的弹力必然是向下的；当 时物体受到的弹力必然是向上的；当 时物体受到的弹力恰好为零。b. 当弹力大小 时，向心力有两解 ；当弹力大小 时，向心力只有一解 ；当弹力 时，向心力等于零，这也是物体恰能过最高点的临界条件。如图所示，杆长为 ，球的质量为 ，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为 ，求这时小球的瞬时速度大小。解析：小球所需向心力向下，本题中 ，所以弹力的方向可能向上也可能向下。（1）若F向上，则 ， ；（2）若F向下，则 ， 例：一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球A、B，质量分别为 、 ，沿环形管顺时针运动，经过最低点的速度都是 ，当A球运动到最低点时，B球恰好到最高点，若要此时作用于细管的合力为零，那么 、 、R和 应满足的关系是 。解析：由题意分别对A、B小球和圆环进行受力分析如图所示。对于A球有 对于B球有 根据机械能守恒定律 由环的平衡条件 而 ， 由以上各式解得 例：如图所示，一根轻质细杆的两端分别固定着A、B两个质量均为m的小球，O点是一光滑水平轴，已知 ， ，使细杆从水平位置由静止开始转动，当B球转到O点正下方时，它对细杆的拉力大小是多少？解析：对A、B两球组成的系统应用机械能守恒定律得 因A、B两球用轻杆相连，故两球转动的角速度相等，即 设B球运动到最低点时细杆对小球的拉力为 ，由牛顿第二定律得 解以上各式得 ，由牛顿第三定律知，B球对细杆的拉力大小等于 ，方向竖直向下。4、圆周运动的极值问题例：如图所示，用细绳一端系着的质量为 的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为 的小球B，A的重心到O点的距离为 。若A与转盘间的最大静摩擦力为 ，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度 的取值范围。（取 ）解析：要使B静止，A必须相对于转盘静止具有与转盘相同的角速度。A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成。角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O。对于B： 对于A： ， 联立解得 ， BAm所以 例：如图所示，两绳系一质量为m=0.1kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的AB两处，上面绳长l=2m，两绳拉直时与轴的夹角分别为30和45，问球的角速度在什么范围内两绳始终有张力?解析设两细线都拉直时，A、B绳的拉力分别为、，小球的质量为m，A线与竖直方向的夹角为，B线与竖直方向的夹角为，受力分析，由牛顿第二定律得：当B线中恰无拉力时， 由、解得rad/s 当A线中恰无拉力时， （3分） 由、解得rad/s所以，两绳始终有张力，角速度的范围是rad/s rad/s例：如图，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B，相距 ，长 的柔软细线一端拴在A上，另一端拴住一个质量为500g的小球，小球的初始位置在AB连线上A的一侧，把细线拉直，给小球以2m/s的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动，由于钉子B的存在，使细线逐步缠在A、B上，若细线能承受的最大拉力 ，则从开始运动到细线断裂的时间为多少？解析：小球转动时，由于细线逐步绕在A、B两钉上，小球的转动半径逐渐变小，但小球转动的线速度大小不变。小球交替地绕A、B做匀速圆周运动，线速度不变，随着转动半径的减小，线中拉力 不断增大，每转半圈的时间t不断减小。在第一个半圆内 ， 在第二个半圆内 ， 在第三个半圆内 ， 在第n个半圆内 ， 令 ，得 ，即在第8个半圆内线还未断，n取8，经历的时间为万有引力定律一.开普勒三定律以及三定律出现的过程：（1）所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。（2）任何一个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。（3）所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。即R3 T2=k二.牛顿的万有引力定律1.内容：自然界任何两个物体之间都存在着相互作用的引力，两物体间的引力的大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比.表达式：F其中G，叫万有引力常量，卡文迪许在实验室用扭秤装置，测出了引力常量.2.适用条件：公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点. 均匀球体可视为质点，r为两球心间的距离.3.万有引力遵守牛顿第三定律，即它们之间的引力总是大小相等、方向相反.三.用开普勒第三定律、向心力、牛顿第三定律推导牛顿的万有引力定律:四、用万有引力定律分析天体的运动1.基本方法：把天体运动近似看作圆周运动，它所需要的向心力由万有引力提供，即 2.估算天体的质量和密度 “T 、 r”法由G得：即只要测出环绕星体M运转的一颗卫星运转的半径和周期，就可以计算出中心天体的质量.由，得：R为中心天体的星体半径当时，即卫星绕天体M表面运行时，由此可以测量天体的密度.“g、R”法 3.卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系(1)由得: 即轨道半径越大，绕行速度越小(2)由得： 即轨道半径越大，绕行角度越小(3)由G得： 即轨道半径越大，绕行周期越大.4.三种宇宙速度 (1)第一宇宙速度(环绕速度)：vm/s是人造地球卫星的最小发射速度，最大绕行速度.“飘”起来的速度(2)第二宇宙速度(脱离速度)：vkm/s是物体挣脱地球的引力束缚需要的最小发射速度.(3)第三宇宙速度(逃逸速度)：vkm/s是物体挣脱太阳的引力束缚需要的最小发射速度.5.地球同步卫星所谓地球同步卫星是指相对于地面静止的人造卫星，它的周期T24h要使卫星同步，同步卫星只能位于赤道正上方某一确定高度h（高度、运行方向、加速度、角速度、线速度大小相同，质量不同）由（）得：=表示地球半径六、万有引力复习中应注意的几个问题1、不同公式和问题中的r，含义不同万有引力定律公式中的r指的是两个物体间的距离，对于相距很远因而可以看做质点的物体，指的是两个球心的距离。而向心力公式中的r，对于椭圆轨道指的是曲率半径，对于圆轨道指的是圆半径。开普勒第三定律中的r指的是椭圆轨道的半长轴。因此，同一个r在不同公式中所具有的含义不同。2、万有引力、向心力和重力对于赤道上的某一个物体 ，有 当速度增加时，重力减小，向心力增加，当速度（即第一宇宙速度）时，mg = 0，物体将“飘”起来，星球处于瓦解的临界状态。天体表面重力加速度的计算例：一物体在地面上受到的重力为160N，将它放置在航天飞机中，当航天飞机以a=g/2的加速度随火箭向上加速升高的过程中，某时刻测得物体与航天飞机中的支持物的相互挤压力为120N，求此时航天飞机距地面的高度（地球半径取6.4106m,g取10m/s2） 天体质量和密度的计算例：宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量M。解析：设抛出点的高度为h,第一次平抛的水平射程为x,则有 x2+h2=L2 由平抛运动规律得知，当初速度增大到2倍时，其水平射程也增大到2x,可得 （2x）2+h2=(L)2 设该星球上的重力加速度为g，由平抛运动的规律得： h=gt2 由万有引力定律与牛顿第二定律得： mg= G 联立以上各式解得M=。例：中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T=s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G=6.6710m/kg.s)解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。设中子星的密度为，质量为M ，半径为R，自转角速度为，位于赤道处的小物块质量为m，则有 由以上各式得，代入数据解得：。黄金代换公式的应用2005年我国成功发射并回收了“神州”六号载人飞船。设飞船绕地球做匀速圆周运动，若飞船经历时间t绕地球运行n圈，则飞船离地面的高度为（已知地球半径为R，地面的重力加速度为g）（ ）A. B. C. D. 双星问题例1两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动现测得两星中心距离为R，其运周期为T，求两星的总质量 解析：设两星质量分别为M1 M2，都绕连线上O点作周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O的距离分别为l1 12由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得 l1 +12=R 联立解得说明：双星是一个整体，围绕着它们的质心转动，所以角速度相同，两星之间由万有引力相维系，它们到质心的距离与它们的质量成反比黑洞问题例：神奇的黑洞是近代引力理论预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A和不可见暗星B构成，两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的点O做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图56所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率V和运行周期T0A图56BO（1）可见星A所受暗星的B引力FA等效为位于O点处质量为m/的星体(视为质点)对它的引力。设A和B的质量分别为m1、m2，试求m/（用m1、m2表示）；（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率V、运行周期T和质量m1之间的关系式；（3）恒星演化到末期，如果其质量大小太阳质量m0的2倍，它将有可能成为黑洞。若可见星的速率2.7105m/s，运行周期T=4.7104s，质量m1=6 m0，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？(G6.6710-11N.m2/kg2, m0=2.01030kg)解析：（1）设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设为，由牛顿运动定律，有设A、B之间的距离为r，又r= r1+r2，由上述各式得 由万有引力定律有将式代入得令（1） 由牛顿第二定律有又可见星A的轨道半径由解得（3）将m1=6 m0代入式得代入数据得 设m2=n m0（n0），将其代入式，得 可见的值随n的增大而增大，试令n=2，得若使式成立，则n必大于2，即暗星B的质量m2必而在于2倍的m0，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞。卫星变轨问题例：2006年9月3日欧洲航天局的第一枚月球探测器“智能1号”成功撞上月球。已知“智能1号”月球探测器环绕月球沿