均值不等式和柯西不等式专项训练.doc

均值不等式和柯西不等式专项训练均值不等式应用一均值不等式常用类型1.（1）若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）2. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）(3)若，则 (当且仅当时取“=”）3.若，则 (当且仅当时取“=”）; 若，则 (当且仅当时取“=”） 若，则 (当且仅当时取“=”）3.若，则 (当且仅当时取“=”） 若，则 (当且仅当时取“=”）4.若，则（当且仅当时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” （3）均值定理可以用来求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题。二.应用（一）求最值1.直接应用 例.求函数 y3x 2 的值域。 2. 应用技巧一：凑项 例.已知，求函数的最大值。3.应用技巧二：凑系数例. 当时，求的最大值。4.技巧三： 分离 例. 求的值域。5.技巧四：亦可使用换元6.技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。7.条件求最值（1）.若实数满足，则的最小值是 .（2）.若，求的最小值.并求x,y的值（3）.已知a0，b0，ab(ab)1，求ab的最小值。（4）.已知x，y为正实数，3x2y10，求函数W的最值.（二）利用均值不等式证明不等式1已知为两两不相等的实数，求证：2. 正数a，b，c满足abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc（三）均值不等式与恒成立问题例：已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。（四）均值定理在比较大小中的应用：例：若，则的大小关系是 .3 课后检测1. 求函数yx的值域。2. 设，求函数的最大值。3.已知，求函数的最大值.4.已知，且，求的最小值。5. 若且，的最小值 6. 已知且，的最小值 7.已知x，y为正实数，且x 21，求x的最大值.8.已知a，b为正实数，2baba30，求函数y的最小值.9.已知a、b、c，且。求证：10.求函数的最大值。柯西不等式一、二维形式的柯西不等式二、二维形式的柯西不等式的变式三、二维形式的柯西不等式的向量形式借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对a2 + b2 + c2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (12 + 12 + 12) * (a2 + b2 + c2)就可以用柯西不等式了。基本方法（1）巧拆常数：例1：设、为正数且各不相等。求证：（2）重新安排某些项的次序：例2：、为非负数，+=1，求证：（3）改变结构：例3、若 求证：（4）添项：例4：求证：检测题【1】、设，则之最小值为_；此时_。【2】 设= (1，0，- 2)，= (x，y，z)，若x2 + y2 + z2 = 16，则的最大值为。【3】设a、b、c为正数，求的最小值 .【4】. 设x，y，z R，且满足x2 + y2 + z2 = 5，则x + 2y + 3z之最大值为【5】、设，试求的最大值与最小值。【6】、设，试求之最小值。【7】 设a，b，c均为正数且a + b + c = 9，则之最小值为【8】、设a, b, c均为正数，且，则之最小值为_，此时_。【9】、设x, y, zR，若，则之范围为何？又发生最小值时，？【10】 设rABC之三边长x，y，z满足x - 2y + z = 0及3x + y - 2z = 0，则rABC之最大角是多少度？【解】x：y：z =：= 3：5：7设三边长为x = 3k，y = 5k，z = 7k则最大角度之cosq = -，q = 120【11】. 设x，y，z R且，求x + y + z之最大值，最小值。【解】由柯西不等式知42 + ()2 + 22 25 1 (x + y + z - 2)25 |x + y + z - 2|- 5 x + y + z - 2 5- 3 x + y + z 7故x + y + z之最大值为7，最小值为 - 3【12】. 求2sinq +cosq sinf - cosq cosf 的最大值与最小值。答. 最大值为，最小值为 -【详解】令向量 = (2sin