高三数学复习 数列通项的求法大全.doc

数列通项公式的求法数学备课组下面就几种常见的数列的通项公式的求法作简单的介绍。一 观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，（2）（3）（4）解：（1）变形为：1011，1021，1031，1041， 通项公式为： （2） （3） （4）.点评：观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系。 二、公式法例2： 已知数列an是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q的(qR且q1)的等比数列，若函数f (x) = (x1)2，且a1 = f (d1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q1)，(1)求数列 a n 和 b n 的通项公式；解：(1)a 1=f (d1) = (d2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，a3a1=d2(d2)2=2d，d=2，an=a1+(n1)d = 2(n1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q1)=(q2)2，=q2，由qR，且q1，得q=2，bn=bqn1=4(2)n1点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。三、叠加法例3：已知数列6，9，14，21，30，求此数列的一个通项。解 易知 各式相加得点评：一般地，对于型如类的通项公式，只要能进行求和，则宜采用此方法求解。四、叠乘法例4：在数列中， =1, (n+1)=n，求的表达式。解：由(n+1)=n得，= 所以点评：一般地，对于型如=(n)类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。五、Sn法 (利用 (2)例5：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。（1）。 （2）解： （1）=3此时，。=3为所求数列的通项公式。（2），当时 由于不适合于此等式 。 点评：要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。六、待定系数法： 例6：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn解：设 点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则，（b、为常数），若数列为等比数列，则，。七、辅助数列法例7：已知数的递推关系为，且求通项。解： 令则辅助数列是公比为2的等比数列即 例8： 已知数列中且（），求数列的通项公式。解： ， 设，则故是以为首项，1为公差的等差数列 点评：这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。八、归纳、猜想例9：在数列中，则的表达式为 。分析：因为，所以得：，猜想：。点评：对难以用上各法求通项的数列，常先由递推公式算出前几项，找到规律，归纳、猜想出通项公式。九、用不动点法求数列的通项定义：方程的根称为函数的不动点.利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.证明：因为 是的不动点由得所以是公比为的等比数列.定理2：设，满足递推关系，初值条件（1）：若有两个相异的不动点，则 （这里）（2）：若只有唯一不动点，则 （这里）证明：由得，所以（1）因为是不动点，所以，所以令，则（2）因为是方程的唯一解，所以所以，所以所以令，则 例1：设满足，求数列的通项公式解：作函数，解方程求出不动点，于是，逐次迭代得由此解得例2：数列满足下列关系：，求数列的通项公式解：作函数，解方程求出不动点，于是所以是以为首项，公差为的等差数列所以，所以定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,证明: 是的两个不动点 即 于是, 方程组有唯一解例3：已知数列中,求数列的通项.解:作函数为,解方程得的两个不动点为 再经过反复迭代,得由此解得其实