自动控制第二章.doc

南京工程学院教案【教学单元首页】第 26 次课 授课学时 10学时 教案完成时间： 2009.8 章、节第二章 自动控制系统的数学模型第一节 控制系统的微分方程第二节 拉氏变换解微分方程第三节 传递函数第四节 动态结构图第五节 反馈控制系统的传递函数第六节 控制系统数学模型的建立举例主要内容这一单元主要完成第二章自动控制系统的数学模型的教学内容。首先介绍采用解析法建立自动控制系统微分方程的方法，用RC电路、机械位移系统、他激直流电动机和液位系统作为实例进行说明，得出微分方程的一般表达式。简要说明采用拉氏变换解微分方程的思路，并举例说明。简单介绍微分方程线性化的基本概念。然后介绍复数域数学模型传递函数的定义和求取方法，典型环节的传递函数以及单位阶跃响应的求取。再介绍系统动态结构图的建立，两种简化动态结构图求系统传递函数的方法等效变换和梅逊公式。最后介绍几种自动控制系统传递函数的定义和求取，即：开环传递函数，闭环传递函数，误差传递函数，扰动信号对应的传递函数。用一个综合实例介绍系统数学模型的建立过程。目的与要求本单元的教学目的是让学生通过这一章的学习了解和掌握自动控制系统数学模型建立的基本方法以及数学模型之间的相互转换。要求学生了解自动控制系统微分方程建立的步骤和方法，掌握利用拉氏变换求解线性微分方程的基本方法。了解绘制系统动态结构图的过程，掌握简化系统动态结构求系统传递函数的方法，并能根据系统的动态结构图求出系统不同的传递函数。重点与难点本单元的重点：数学模型的建立在自动控制系统性能分析中的重要性，数学模型微分方程、传递函数、动态结构图建立的方法和过程，它们之间的相互关系，动态结构图的简化以及系统几种传递函数求取的方法。 本单元的难点：动态结构图简化求传递函数。教学方法与手段主要采用多媒体教学，在有些数学运算和框图简化时加板书解释。第二章 自动控制系统的数学模型数学模型：描述系统动态过程中各变量之间相互关系的数学表达式。建立系统数学模型的方法主要有两种：解析法：根据系统所遵循的物理定律，经过数学推导,求出数学模型。实验法：在系统的输入端加上一定形式的测试信号，通过实验测试出系统输出信号，再根据输入、输出特性确定数学模型。本章只介绍用解析法建立数学模型的方法。常用的数学模型有：微分方程、传递函数、动态结构图、频率特性等。第一节 控制系统的微分方程 一、建立系统微分方程的一般步骤列写系统微分方程的一般步骤：(1) 确定系统的输入变量和输出变量。(2) 建立初始微分方程组。即根据各环节所遵循的基本物理规律,分别列写出相应的微分方程，并构成微分方程组。(3) 消除中间变量，将式子标准化。将与输入量有关的项写在方程式等号的右边，与输出量有关的项写在等号的左边。二、常见环节和系统的微分方程的建立+-uruc+-CiR1 RC电路电路如图所示。(1) 确定输入、输出量输入量为电压，输出量为电压。 (2) 建立初始微分方程组 根据基尔霍夫定律得 (3) 消除中间变量，使式子标准化 电路的数学模型是一个一阶常系数线性微分方程。2机械位移系统图所示是一个由弹簧、质量物体和阻尼器所组成的机械系统。其中： 为弹性系数，为物体的质量，为阻尼系数。(1) 确定输入、输出量 为输入量， 为输出。(2) 建立初始微分方程组 根据牛顿第二定律可得 其中 (3) 消除中间变量，将式子标准化 机械位移系统是二阶常系数线性微分方程。3他激直流电动机Raeb+-udLaid图为他激直流电动机的原理图。其中 、分别为电枢电压、电流、电阻、电感和反电势。为电磁转矩，为负载转矩，为摩擦转矩。 (1) 确定输入、输出量为输入量；为负载转矩，电动机的转速为输出量。 (2) 列写初始微分方程组根据基尔霍夫定律和电机工作原理，得 为反电势系数 根据电机的动力学方程式 为电机飞轮惯量 为转矩系数(3) 消除中间变量，将式子标准化当 时，得 整理得： 令电磁时间常数： 机电时间常数： 电动机的微分方程式为： 这是一个二阶常系数线性微分方程。4液位系统图所示为一简单的液位控制系统。 ：为流入箱体的流量、通过节流阀流出的流量和液面高度的平衡值。：各量在平衡工作点处的增量。：箱体的截面积。：输入量，输出量 根据物料平衡关系： ：通流口结构形式决定的系数。得系统的微分方程： 通过以上几例微分方程式的建立，可知系统的微分方程是由输出量的各阶导数和输入量的各阶导数以及系统的一些参数构成。阶系统微分方程描述： （） 第二节 拉氏变换解线性微分方程用拉氏变换求解微分方程的基本思路和方法是：拉氏变换 线性微分方程（时域t） 代数方程（复数域s） 求解拉氏反变换 微分方程的解（时域t） 代数方程的解（复数域s）一、拉氏变换的定义如果有一函数满足下列条件：（1）t 0 时 f(t)=0 （2）t0 时 f(t)是分段连续的 （3）记作 F(s)=Lf(t)拉氏反变换为： f(t)=L-1F(s)f(t)的拉氏变换为：二、常用函数的拉氏变换1 单位阶跃函数I(t)2 单位脉冲函数(t)3单位斜坡函数t4 正弦函数sint5 余弦函数cost6. 指数函数三、拉氏变换的定理7. 抛物函数1. 线性定理2. 微分定理3. 积分定理4. 延迟定理 5. 位移定理6. 初值定理7. 终值定理 四、拉氏反变换 1. 相等实数极点2. 复数极点3. 重极点五用拉氏变换解线性微分方程例 设系统的微分方程式为 已知 求系统的输出响应。解 将方程两边求拉氏变换，得 对上式取拉氏反变换得 响应曲线如图所示: 第三节 传递函数传递函数为系统在复数域内的数学模型R(s)C(s)G(s)r(t)c(t)一、传递函数的定义及求取设系统的结构如图所示： 传递函数的定义：在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与系统输入量的拉氏变换之比。传递函数可用表示: 例 求图所示串联电路的传递函数。设输入量为，输出量为。+_uruc+_CLRi解 根据基尔霍夫定律得 拉氏变换得： 传递函数为： 例 求液位控制系统的传递函数 解 求拉氏变换得 设 ， 得 阶系统的微分方程： （） 取拉氏变换得 系统传递函数的一般表达式为： （） 因式分解后： （） 式中： 为的零点；为的极点。二、典型环节的传递函数及其动态响应 自动控制系统可由若干个典型环节所组成。研究和掌握这些典型环节的特性将有助于对系统性能的了解。1比例环节微分方程为： 取拉氏变换得： R(s)C(s)K传递函数为： 框图表示为：+R1R2+-ur(t)(b)uc(t)r(t)c(t)(c)-+urR1uc(a)R2比例环节的实例如图所示： 2惯性环节 微分方程为： R(s)C(s)1+Ts1传递函数： 惯性环节的方框图：惯性环节单位阶跃响应： R+-Lucur(a)-+urR1uc(a)R0c 惯性环节的实例图3积分环节 微分方程和传递函数： R(s)C(s)Ts1积分环节的方框图：-+uruc(a)Rc单位阶跃响应： +-Ud(b)M_积分环节的实例图4微分环节理想微分环节 r(t)c(t)0t理想微分环节的方框： 单位阶跃响应函数为 R(s)C(s)Ts -+uruc(a)Rc+-uc+-CR(b)ur微分环节的实例如图所示： 实用微分环节的单位阶跃响应： r(t)c(t)0t 比例微分环节传递函数为 比例微分环节的单位阶跃响应 5振荡环节 设二阶微分方程为 振荡环节的传递函数为 单位阶跃响应： 单位阶跃响应曲线： 6时滞环节R(S)C(S)e -as数学表达式为： 时滞环节的方框图为了分析方便对时滞环节作近似处理： 第四节 动态结构图 动态结构图又称框图，是系统数学模型的另一种形式一、建立动态结构图的一般方法+-uruc+-CiR 设电路如图。列出电路的初始微分方程组:对两式取拉氏变换得 用方框表示各变量之间的关系如图：I(s)Uc(s)1CsI(s)Ur(s)Uc(s)_1R根据信号的流向，将各方框依次连接起来，得系统的动态结构图： Ur(s)I(s)Uc(s)1Cs_1R 绘制动态结构图的一般步骤为:(1)确定系统中各元件或环节的传递函数。(2)绘出各环节的方框。(3)根据信号在系统中的流向，依次将各方框连接起来。例 建立他激直流电动机的动态结构图。解 如果考虑负载转矩，而忽略摩擦转矩，微分方程组为： 令 得 令 则有 Id(s) IL(s)RaCeTmsN(s)_各式用方框表示：CeN(s)Eb(s)Ua(s)1/RaTas+1_Id(s)Eb(s)将各方框按相同的变量依次连接起来，即得电动机的动态结构图：1/Ra1+TasRaCeTmsIL(s)Ce _Eb(s)Ud(s)N(s)例 液位控制系统如图所示，试建立系统的动态结构图。 杠杆hr(s)h(t)机构阀门水箱浮球结构框图如图：与之间的传递函数我们在前面已经求得假设浮球的质量可以忽略不计，流量的变化量与液位的偏差量成正比。H(s)-H(s)bAbs+1P 系统的动态结构图如图所示：例 试建立随动系统的动态结构图。解 （1） 电位器 （2）放大器 （3）电动机 忽略电动机的电感不计，可得电动机的动态结构图如图所示：1RaUd(s)Ia(s)-RaCeTms1sm(s)-Ce(s)(4) 齿轮减速器 综合以上各部分，得系统的动态结构图：IL(s)_KSKar(s)1RaUd(s)_m(s)c(s)RaCeTms1sCe(s)1i_例 求图所示电路的动态结构图。+uruc-+-i2R2R1ci1解 根据电流和电压平衡定律及复阻抗的概念可画出电路的动态结构图。 Uc(s)I1(s)I2(s)+Ur(s)Uc(s)_Cs1R1+R2 例 画出图所示电路的动态结构图。+ur-C1i1 uc+-C2i2R1R2解 1R1I1(s)_1R2Ur(s)UC(s)I2(s)_U1(s)1 C2s1 C1s 二、结构图的等效变换与化简为了便于分析系统和求出其传递函数，常需将复杂的动态结构图进行化简。1动态结构图的等效变换等效变换：被变换部分的输入量和输出量之间的数学关系，在变换前后保持不变。（1）串联R(s)C(s)G2(s)G1(s)C(s)R(s)G1(s)G2(s) 串联环节的等效传递函数等于各相串联环节传递函数的乘积 （2） 并联+G2(s)R(s)C(s)G2(s)R(s)C(s)+G2(s)G1(s)由图得 并联环节的等效传递函数等于各并联环节的传递函数的代数和 （3）反馈连接G(s)C(s)R(s)E(s)B(s)H(s)G(s)1G(s)H(s)C(s)R(s)根据图可得 （4）综合点和引出点的移动1) 综合点之间或引出点之间的位置交换abcabcaacbbcaaaaaaaa 注意：一般不将综合点与引出点的位置作交换。2) 综合点相对方框的移动R(s)G(s)C(s)1G(s)F(s)R(s)C(s)F(s)G(s)R(s)G(s)C(s)F(s)R(s)C(s)G(s)F(s)G(s) 3) 引出点相对方框的移动1G(s)R(s)C(s)G(s)C(s)R(s)G(s)C(s)R(s)C(s)G(s)G(s)R(s)R(s)R(s)G(s)C(s)G1(s)G2(s)H(s)_+R(s)C(s)G3(s)_+例 化简图所示的系统的结构图，求传递函数。解 将图中的综合点移动，然后求出并联方框和反馈内环的传递函数，G1(s)G2(s) G1(s)GG2(s)H(s) _R(s)C(s)G3(s)_+最后利用反馈变换求出系统的传递函数。G1(s)G2(s)+G3(s)_R(s)C(s)1+G2(s)H(s)1例 求图所示串联网络的传递函数。11C1S11_R(S)C(S)R1R2C2SC(s)R(s)_1R1C1S1R2C2SR1C2S_解11R(s)C(s)1+R1C1S1+R2C2S_R1C2S2梅逊公式梅逊公式为： ：特征式 ：各回路传递函数之和。回路传递函数是指回路内前向通道和反馈通道传递函数的乘积。：两两互不相接触回路的传递函数乘积之和。：所有三个互不相接触回路的传递函数乘积之和。：第条前向通道的传递函数。：将中与第条前向通道相接触的回路所在项去掉之后的剩余部分，称为余子式。G1G2G3H1H2_C(s)+R(s)L1L2L3L4L5G4例 求系统动态结构图的传递函数。解 系统有5个回路，各回路的传递函数为 将以上各式代入梅逊公式便可得到系统的传递函数：G1_+C(s)+R(s)L2L3G3H1G2+L1例 求图示动态结构图的传递函数。解 该动态结构图有3个回路 _C(s)+R(s)G1(s)G2(s)例 系统的结构如图所示，求系统传递函数。解 （1）用梅逊公式求传递函数 （2）用等效变换法求传递函数_+_R(S)C(S)G1(s)G2(s)_+G1(s)G2(s)G2(s)G1(s)对于结构复杂的系统，可以利用等效的原理，先将结构图中的交叉线去掉，再求传递函数。 第五节 反馈控制系统的传递函数_B(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+D(s)G1(s)H(s)闭环控制系统的典型结构如图所示。一、系统的开环传递函数开环传递函数：系统反馈量与误差信号的比值。 二、系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数分为给定信号作用下的闭环传递函数和扰动信号作用下的闭环传递函数。1给定信号R(s)作用 设，闭环控制系统的典型结构如图可改画成：_B(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)G1(s)H(s) 2扰动信号D(s)作用设，闭环控制系统的典型结构如图可简化为：_G2(s)R(s)C(s)G1(s)H(s) 三、系统的误差传递函数系统的误差信号为，误差传递函数也分为给定信号作用下的误差传递函数和扰动信号作用下的误差传递函数。1给定信号R(s)作用_D(s)E(s)H(s)G2(s)G1(s)设，闭环控制系统的典型结构如图可简化为： 2扰动信号D(s)作用设，