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圆锥曲线综合问题一、直线与圆锥曲线1.直线与圆锥曲线位置关系的判断：相交：相切：相离：2.过圆锥曲线上一点的切线方程、过圆锥曲线外一点的切点弦方程：椭圆：双曲线：抛物线：3.已知圆锥曲线中的弦中点，求的斜率和方程：（点差法）椭圆：双曲线：抛物线：例1 （05，湖北，21）设是椭圆上的两点，点是线段的中点，试求的取值范围和直线的方程.二、夹角问题：与夹角有关的问题，一般可以考虑用向量积或余弦定理求解.例2（07，四川，20）设、分别是椭圆的左、右焦点，设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线斜率的取值范围.解：显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得： 由得：或.又又，即 故由、得或注：斜率存在的直线方程可设为：；斜率不为0的直线方程可设为：.练习1过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为坐标原点.判断是什么三角形（锐角、直角或钝角）.三、定点问题：一般曲线过定点，把曲线方程变为（为参数），解方程组，即得定点.例3（07，山东，21）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标解：（）由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：，椭圆的标准方程为（）设，联立得.由韦达定理：因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，故，即：.又即：，代入整理得：解得：，且均满足，当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点所以，直线过定点，定点坐标为注：三大圆锥曲线中的顶点直角三角形的斜边所在直线过定点.四、定直线问题：例4已知抛物线，定点不在抛物线上，过点的动直线交抛物线于两点，在直线上取点，满足.求证：点在某定直线上，并求其方程.练习2（08，安徽，22）设椭圆过点，且着焦点为（）求椭圆的方程；（）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上解：（1）由题意： ，解得，所求椭圆方程为 .(2) 设点，由题设，均不为零。且 又 四点共线，可设,于是 （1） （2）由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得 （3） (4)(4)(3) 得 .即点总在定直线上五、最值问题两种求解方法：一是几何方法，即利用几何性质结合图形直观求解；二是建立目标函数，通过求函数最值求解.例5（11
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