高中立体几何方法分类--垂直.doc

1.如图，ABCD 为直角梯形，DAB=ABC=90，AB=BC=a，AD=2a，PA平面ABCD。PA=a。（1）求证：PCCD。（2）求点B到直线PC的距离。 2.在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C底面ABC （1）若D是BC的中点，求证 ADCC1；（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证 截面MBC1侧面BB1C1C；3.如图，在正三棱锥ABCD中，BAC=30，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H （1）判定四边形EFGH的形状，并说明理由 （2）设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC平面EFGH，请给出证明 4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是直角三角形，ABC=90，2AB=BC=BB1=a，且A1CAC1=D，BC1B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交于DE。求证：（1）A1B1平面BB1C1C；（2）A1CBC1；（3）DE平面BB1C1C。5.点为所在平面外的一点，点为点在平面内的射影，若，求证： 6.已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，F是AC,BD的交点，求证： 7.如图所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点. （1）求证：MNCD；（2）若PDA=45求证：MN平面PCD.8. 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB=60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点，（1）求证：BG平面PAD；（2）求证：ADPB；（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论.9.在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AB2，BCa，又侧棱PA底面ABCD。（1）当a为何值时，BD平面PAC？试证明你的结论。（2）当a4时，求证：BC边上存在一点M，使得PMDM。（3）若在BC边上至少存在一点M，使PMDM，求a的取值范围。 1.如图，ABCD 为直角梯形，DAB=ABC=90，AB=BC=a，AD=2a，PA平面ABCD。PA=a。（1）求证：PCCD。（2）求点B到直线PC的距离。（1）证明：取AD的中点E，连AC、CE，则ABCE为正方形，CED为等腰直角三角形， AC CD，PA平面ABCD，AC为PC在平面ABCD上的射影， PCCD （2）解：连BE，交AC于O，则BEAC，又BEPA，ACPA= A， BE平面PAC过O作OHPC于H，则BHPC，PA=a，AC=a,PC=a， OH=，BO=a，BH=即为所求。2.在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C底面ABC （1）若D是BC的中点，求证 ADCC1；（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证 截面MBC1侧面BB1C1C；（3）AM=MA1是截面MBC1平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由。命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质。 知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质。错解分析：（3）的结论在证必要性时，辅助线要重新作出。技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙地作辅助线。（1）证明：AB=AC，D是BC的中点，ADBC底面ABC侧面BB1C1C，AD侧面BB1C1CADCC1 （2）证明：延长B1A1与BM交于N，连结C1NAM=MA1，NA1=A1B1A1B1=A1C1，A1C1=A1N=A1B1C1NC1B1底面NB1C1侧面BB1C1C，C1N侧面BB1C1C截面C1NB侧面BB1C1C截面MBC1侧面BB1C1C （3）解：结论是肯定的，充分性已由（2）证明，下面证必要性。过M作MEBC1于E，截面MBC1侧面BB1C1CME侧面BB1C1C，又AD侧面BB1C1C MEAD，M、E、D、A共面AM侧面BB1C1C，AMDECC1AD，DECC1D是BC的中点，E是BC1的中点AM=DE=AA1，AM=MA1即是截面的充要条件3.如图，在正三棱锥ABCD中，BAC=30，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H （1）判定四边形EFGH的形状，并说明理由 （2）设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC平面EFGH，请给出证明 （1）证明：AD/面EFGH,面ACD面EFGHHG，AD面ACD AD/HG.同理EFHG，EFGH是平行四边形ABCD是正三棱锥，A在底面上的射影O是BCD的中心，DOBC，ADBC，HGEH，四边形EFGH是矩形 （2）作CPAD于P点，连结BP，ADBC，AD面BCPHGAD，HG面BCP，HG面EFGH 面BCP面EFGH，在RtAPC中，CAP=30，AC=AB=a,AP=a 4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是直角三角形，ABC=90，2AB=BC=BB1=a，且A1CAC1=D，BC1B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交于DE。求证：（1）A1B1平面BB1C1C；（2）A1CBC1；（3）DE平面BB1C1C。证明：（1）三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，侧面与底面垂直，即平面A1B1C1平面BB1C1C，又ABBC，A1B1B1C1从而A1B1平面BB1C1C。（2）由题设可知四边形BB1C1C为正方形，BC1B1C，而A1B1平面BB1C1C， A1C在平面BB1C1C上的射影是B1C，由三垂线定理得A1CBC1（3）直三棱柱的侧面均为矩形，而D、E分别为所在侧面对角线的交点，D为A1C的中点，E为B1C的中点，DEA1B1，而由（1）知A1B1平面BB1C1C，DE平面BB1C1C。5.点为所在平面外的一点，点为点在平面内的射影，若，求证：证明：连结，且（三垂线定理的逆定理）同理，为的垂心，又，（三垂线定理）6已知：如图，在正方体中，是的中点，是的交点，求证：证明：，是在面上的射影又，取中点，连结，为在面上的射影，又正方形中，分别为的中点，（三垂线定理）又，7.如图所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点. （1）求证：MNCD；（2）若PDA=45求证：MN平面PCD.证明 （1）连接AC，AN，BN，PA平面ABCD，PAAC，在RtPAC中，N为PC中点，AN=PC.PA平面ABCD，PABC，又BCAB，PAAB=A，BC平面PAB，BCPB，从而在RtPBC中，BN为斜边PC上的中线，BN=PC.AN=BN，ABN为等腰三角形，又M为底边的中点，MNAB，又ABCD，MNCD.（2）连接PM、CM,PDA=45，PAAD，AP=AD.四边形ABCD为矩形.AD=BC，PA=BC.又M为AB的中点，AM=BM.而PAM=CBM=90,PM=CM.又N为PC的中点，MNPC.由（1）知，MNCD，PCCD=C,MN平面PCD.8. 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB=60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点，（1）求证：BG平面PAD；（2）求证：ADPB；（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论.（1）证明 在菱形ABCD中，DAB=60，G为AD的中点，所以BGAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以BG平面PAD.（2）证明 连接PG，因为PAD为正三角形， G为AD的中点，得PGAD，由（1）知BGAD，PG平面PGB，BG平面PGB，PGBG=G，所以AD平面PGB，因为PB平面PGB，所以ADPB.（3）解 当F为PC的中点时，满足平面DEF平面ABCD.证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF，在PBC中，FEPB，在菱形ABCD中，GBDE，而FE平面DEF，DE平面DEF，EFDE=E，所以平面DEF平面PGB，因为BG平面PAD，所以BGPG又因为PGAD，ADBG=G，PG平面ABCD，而PG平面PGB，所以平面PGB平面ABCD，所以平面DEF平面ABCD.9.分析：本题第（1）问是寻求BD平面PAC的条件，即BD垂直平面PAC内两相交直线，易知BDPA，问题归结为a为何值时，BDAC，从而知ABCD为正方形