思科数学第10讲对数与对数函数.doc

第10讲对数与对数函数基础梳理1对数(1)对数的概念如果a(a0，a1)的b次幂等于N，就是abN，那么，数b叫做以a为底N的对数，记作logaNb，其中a叫做对数的底数，N叫做对数的真数(2)常用对数通常将log10N叫做常用对数，记作lg_N.自然对数：通常将以无理数e2.718 28 为底的对数叫做自然对数，记作ln_N.(3)对数的性质零和负数没有对数；loga10(a0，且a1)；logaa1(a0，且a1)；alogaNN(a0，且a1，N0)logaamm(a0，a1)2对数的运算性质如果a0，a1，M0，N0，那么(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logalogaMlogaN；(3)logaMnnlogaM(nR)；(4)logaM(c0，且c1)3对数函数的图象与性质关于对数的底数和真数从对数的实质看：如果abN(a0且a1)，那么b叫做以a为底N的对数，即blogaN.它是知道底数和幂求指数的过程底数a从定义中已知其大于0且不等式1；N在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于0的对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数ylogax(a0，且a1)的定义域应为x|x0，对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0a1和a1进行分类讨论双基自测1函数y的定义域是_解析由题意知，log0.5(4x23x)0log0.51，由于00.51，所以从而可得函数的定义域为.答案2(2011泰州市学情调查)若函数f(x)则f(log43)_.解析f(log43)4log433.答案33(2011盐城市检测)已知f(x)lg(x28x7)在(m，m1)上是增函数，则m的取值范围是_解析由x28x70，得x28x70，解得1x7.又由x28x7(x28x)7(x4)29，得f(x)的增区间为(1,4，于是有(m，m1)(1,4，所以1m3.答案1,34(2011盐城市检测)已知f(x)log3x2(x1,9)，则函数yf(x)2f(x2)的最大值是_解析f(x)log3x2(x1,9)，yf(x)2f(x2)中x满足1x9且1x29.1x3，0log3x1.所以yf(x)2f(x2)(log3x2)2log3x22(log3x)26log3x6(log3x3)23.所以当x3时，ymax13.答案135函数yloga(x1)2(a0，a1)的图象恒过一定点是_答案(2,2)考向一对数式的化简与求值【例1】(1)计算；(2)设3a4b36，求的值审题视点 (1)利用对数的运算法则；(2)将指数转化为对数，利用换底公式即可解(1)1.(2)由3a36,4b36得alog 336，blog436.由换底公式得：log363，log364，2log363log364log36361. (1)利用换底公式及logamNnlogaN(a0，a1，N0)，尽量转化为同底的和、差、积、商的运算；(2)利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算【训练1】 计算：(1)lg 25lg 2lg 50(lg 2)2；(2)(log32log92)(log43log83)解(1)原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2.(2)原式.考向二对数函数图象及其应用【例2】已知函数f(x)|log2x|，正实数m，n满足mn且f(m)f(n)，若f(x)在区间m2，n上的最大值为2，则m，n的值分别为_审题视点 画图象求解，由图可先确定m与n的取值范围解析yf(x)|log2x|的图象如图所示，于是由0mn时，f(m)f(n)，得0m1n，又由f(m)f(n)，得|log2m|log2n|，即log2mlog2n，log2(mn)0，所以mn1.因为0m2m1，且f(x)在(0,1)上单调递减，所以f(x)在m2，n上的最大值为f(m2)|log2m2|2log2，解得m，从而n2，故m，n2.答案2 数形结合是解函数问题的基本方法之一，将函数部分项加上绝对值，通过分类讨论或图象法求解往往较为方便【训练2】 (2011泰州学情调查)已知函数f(x)|lg x|，若0ab，且f(a)f(b)，则a2b的取值范围是_解析由题意，知0a1b，于是由|lg a|lg b|，得lg alg b，所以lg ab0，ab1，所以a2ba，可判断此函数在(0,1)上为减函数，所以a2b3.答案(3，)考向三对数函数的单调性及其应用【例3】(2011南京模拟)已知f(x)loga(a0，a1)是奇函数(1)求m的值；(2)讨论f(x)的单调性审题视点 (1)利用奇函数的定义有f(x)f(x)0，可求m；(2)可采用导数讨论解(1)f(x)是奇函数，f(x)f(x)logalogaloga0对定义域内的任意x恒成立，1，(m21)x20，m1.当m1时，1，函数无意义，m1.(2)由(1)知f(x)loga，定义域为(，1)(1，)，设tg(x)1.当a1时，f(t)logat在(0，)上为增函数，g(x)在(，1)与(1，)上为减函数，f(x)在(，1)与(1，)上是减函数；当0a1时，f(t)logat在(0，)上为减函数，g(x)在( ，1)与(1，)上为减函数，f(x)在(，1)与(1，)上是增函数 研究与对数函数有关的复合函数的单调性时，一种方法是利用导数，这时应注意正确地进行求导运算，另一种方法是根据复合函数单调性的判断规则“同增异减”进行判断，对于含有参数的函数，必须进行分类讨论【训练3】 已知函数f(x)logax(a0，a1)对任意的x2，)，恒有|f(x)|1成立，则a的取值范围是_解析若0a1则x2，)时，f(x)logax0，所以|f(x)|f(x)logax在2，)上是增函数，因此由|f(x)|1对任意x2，)恒成立，得loga21，解得1a2.若0a1，则x2，)时，f(x)logax0，所以|f(x)|f(x)logax在2，)上是增函数，因此由|f(x)|1对任意x2，)恒成立，得loga21，解得a1.综上，得1a2或a1.答案(1,2难点突破6与指数、对数函数求值问题有关的解题基本方法指数与对数函数问题，高考中除与导数有关的综合问题外，一般还出一道填空题，