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圆锥曲线与方程中的数学方法和技巧一、要掌握解析几何的基本方法坐标法求曲线的方程是解析几何的两大任务之一，要使求出的曲线方程简单优美，更容易研究性质，选择恰当的坐标系是关键课本中圆锥曲线的标准方程都是在选定恰当的坐标系下求出的，它们的形式都特别简单因此选择恰当的坐标系是简化曲线方程形式的关键例已知抛物线形拱桥的顶点距离水面2m时，测得水面宽8m，当水面升高1m后，求水面的宽度解：如图，以为坐标原点，以与平行的直线为x轴，建立直角坐标系抛物线的方程可设为在抛物线上，抛物线的方程为，得水面的宽度为点评：本题也可以以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，但此种解法较繁琐，所以一般地，根据标准方程的图象性质建系，所得方程简单二、要重视求曲线方程的常用方法直接法、定义法、相关点法、待定系数法等1直接法是求轨迹方程的基本方法，直接利用题设条件建立x，y之间的关系即可例2已知直角坐标系内点和圆，动点到圆的切线长与的比等于常数求动点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？解：如图2，设切点为，则，设，则，整理，得，当，即时，方程化为，它表示一条平行于轴的直线；当，即且时，方程化为，它表示圆心为，半径为的圆2定义法是指利用圆锥曲线的定义来解题特别地，当思路受阻或解法较繁琐时，回归定义，常能起到打通思路，简化计算的作用例3已知，椭圆过两点，且以点为其中一个焦点，求椭圆另一个焦点的轨迹方程解：设另一焦点为，且，点的轨迹是以为焦点，实轴长为2，焦距为14的双曲线的左支故点的轨迹方程为3相关点法又称代入法，其特点是动点的坐标取决于已知曲线上的点的坐标，可先用表示，再代入曲线的方程，即得点的轨迹方程例4已知点是椭圆上的任意一点，为线段上一点，且，求点的轨迹方程解：设，则，代入，得点的轨迹方程为4待定系数法是指在已知曲线类型的前提下，先设出曲线的方程再去求解的方法例5求焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆的标准方程解：椭圆的方程可设为椭圆经过和两点，解得所求椭圆的标准方程为点评：如果圆锥曲线的焦点位置不确定，就会很自然地想到分情况进行讨论，但本题如果分焦点在x轴，焦点在y轴两种情况讨论则比较繁琐，而上述解法避免了讨论因为若，则椭圆的焦点在x轴上，若，则椭圆的焦点
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