矩阵秩的相关问题的探讨.doc

学号 密级 本科毕业论文本科毕业论文 矩阵秩的相关问题的探讨 学 院 名 称 数 学 学 院 专 业 名 称 数学与应用数学 学 生 姓 名 指 导 教 师 二 一二年五月 BACHELOR S DEGREE THESIS OF XXXXX UNIVERSITY Matrix rank of the related question discussion College School of Mathematics Subject Mathematics and Applied Mathematics Name Directed by May 2012 郑郑 重重 声声 明明 本人呈交的学位论文 是在导师的指导下 独立进行研究工作所取得 的成果 所有数据 图片资料真实可靠 尽我所知 除文中已经注明引用 的内容外 本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容 对本论 文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体 均已在文中以明确的方 式标明 本学位论文的知识产权归属于培养单位 本人签名 日期 I 摘摘 要要 本文介绍了矩阵的秩的基本知识 探讨了矩阵的秩在向量的线性关系 求解线性 方程组 判断线性空间中点线面的位置关系 二次性 线性变换等方面的应用 关键词 矩阵的秩 向量 线性方程组 位置关系 二次型 线性变换 II Abstract This article introduces the basic knowledge of the rank of matrix discusses the matrix rank in the vector of the linear relationship solving linear equations judge the halfway point linear space line position secondary sex linear transformation of application Keywords The rank of matrix Vector Linear equations The position relations Quadratic Linear transformation 目录目录 摘 要 I Abstract II 第一章 矩阵的秩 1 1 矩阵的秩的定义及简单的公式 1 第二章 矩阵的秩的相关问题 1 2 矩阵的秩与向量的线性关系 1 3 矩阵的秩与线性方程组的求解 3 4 矩阵的秩与空间中的点线面位置关系 6 5 矩阵的秩与二次型 10 6 矩阵的秩与线性变换 12 参考文献 16 第 1 页 共 16 页 第一章第一章 矩阵的秩矩阵的秩 矩阵理论是高等代数的主要内容之一 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用 在矩阵理论中 矩阵的秩是一个重要的概念 它是矩阵的一个数量特征 而且是初等变 换下的不变量 本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系 线性方程组的求解 空间中点 面位置关系 二次型理 线性变换等问题的密切的联系 1 矩阵的秩的定义及简单的公式 1 1 矩阵的秩的定义矩阵的秩的定义 定义 一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩 所谓 1 矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩 矩阵的行 秩等于矩阵的列秩 并统称为矩阵的秩 另外 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高 阶数 这是矩阵的秩的行列式定义 1 2 矩阵的秩的几个简单性质 性质性质 1 秩 0 当且仅当是零矩阵 AA 性质性质 2 秩 当且仅当 0 AnA 性质性质 3 设是 矩阵 则秩 AmnA min m n 性质性质4 秩秩 秩 AB AB 性质性质5 设 分别为与矩阵 则秩min 秩 秩 ABn mm s AB ABnms 第二章第二章 矩阵的秩的相关问题矩阵的秩的相关问题 2 矩阵的秩与向量的线性关系 高等代数中 判断向量组的线性相关性时 我们的依据是向量组中的其中一个向 量是否可以由其余的向量线性表出来 这种做法简单易懂 但对一些较为复杂的这类 第 2 页 共 16 页 问题时解法复杂 上述方法有一定的局限性 我们可以用矩阵的秩的相关知识来解决 这类问题 首先 有以下的结论 2 1 线性相关性的判断 定理2 1 设 令 其中是矩阵 为维列 12 n s P A 12 s Ans i n 向量 且 则x 12 s x xx 线性相关 0有非零解秩 12 s Ax A s 线性无关 0只有零解秩 12 s Ax As 例2 1 设为阶方阵 为个线性无关的维向量 证明 秩 的An 12 n nnAn 充要条件是 线性无关 A 1 A 2 A n 证明 令 那么0 B 12 n B 先证明必要性 设秩 所以0 令AnA 0 2 1 1 1122 nn k AkAkA 用左乘 2 1 1 式得 0 所以 1 A 1122nn kkk 12 0 n kkk 即 线性无关 A 1 A 2 A n 再证明充分性 因为 线性无关 A 1 A 2 A n 所以 0 12 n AAA AB 从而0 即 秩 A An 2 2 极大线性无关组 定理2 2 1 若在中存在 个线性无关的向量 12m r 且都可以由线性表出 则称是 12r 12r 12r 第 3 页 共 16 页 的一个极大线性无关组 且称秩 r 2 两个等价的的向量具有相同的秩 3 若 其中是矩阵 若线 12m 12 s AAsm 12 s 性无关 则秩 秩 12 m A 例2 2 设有向量组 1 1 0 2 2 1 1 3 3 1 1 2 a 1 1 2 3a 2 2 1 6a 3 2 1 4a 试问 当a为何值时 向量组 与 等价 当a为何值时 向量组 与 不等价 解 作初等行变换 有 123123 111122 011211 232364aaaa 102111 011211 001111aaaa 1 当a时 有行列式 0 秩 3 故线性方程组 1 123 1a 123 均有惟一解 所以可由向量组 线性表示 112233 xxx i 1 2 3 i 123 行列式 60 秩 3 故可由向量组 线性表 123 123 123 示 因此向量组 与 等价 2 当a 时 有1 123123 102111 011 211 000202 由于秩秩 线性方程组 无解 故 123 1231 112233 xxx 1 向量不能由线性表示 因此 向量组 与 不等价 1 123 3 矩阵的秩与线性方程组的求解 第 4 页 共 16 页 线性方程组问题是高等代数中极其重要的一类问题 在解决和讨论线性方程组的解 的问题时 我们可以运用矩阵的秩的知识 而线性方程组要解决的问题可以归纳为以下 三类问题 1 方程组是否有解 2 方程组有解时 解的个数是多少 3 如何求出解 对于上述三个问题 无一不与矩阵的秩有关 既有下面的定理 3 1 齐次线性方程组的求解 定理3 1 设齐次线性方程组 2 3 1 1111221 1212222 1122 0 0 0 nn nn mmmnn a xa xa x a xa xa x a xaxa x 系数矩阵的秩 且方程组 3 1 的解空间为 则可以得到下列结 ijm n Aa R Ar V 论 这里表示方程组 3 1 解空间的维数 dim VnR A dim V 例3 1 求下列齐次线性方程组的一个基础解系 并写出全部解 1234 1234 1234 220 240 220 xxxx xxxx xxxx 解 设方程组的系数矩阵为为 将用初等行变换化为阶梯形矩阵AA A 12121212 24110011 12210000 因此 秩 2 基础解系所含向量个数 42 2A 所以 原方程的同解方程组为 1234 34 220 0 xxxx xx 第 5 页 共 16 页 即 124 34 2xxx xx 取 1 0 代入得 0 2 x 4 x 1 x2 3 x 得解向量 1 2 1 0 0 取 0 1 代入得 1 2 x 4 x 1 x1 3 x 得解向量 2 1 0 1 1 所以 为原方程组的一个基础解系 1 2 那么方程组的全部解为 其中 为任意常数 1 122 kk 1 k 2 k 3 2 非其次线性方程组的求解 定理 3 2 设有非齐次线性方程组 3 2 AXB 其中 则有 1212 TT ijnn m n AaXx xxBb bb 线性方程组 3 2 有解R R 即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩 A A B 线性方程组 3 2 有唯一解 R AR A Bn n 为未知数的个数 线性方程组 3 2 有无穷多组解 R AR A Bn 例 3 2 当 取何值时 线性方程组cd 12345 12345 23455 12345 1 323 2263 5433 xxxxx xxxxxc xxxxx xxxxxd 无解 有解 有解时 求出一般解 解 对增广矩阵作一系列初等变换 1111 1 11111 11 32113012263 01226 3012263 54331012265 cc dd 第 6 页 共 16 页 1111 111111 11 00000012263 01226300000 000002000002 c c dd 从而有 当 或者时 故方程组无解 10 c 2d R AR A B 当 且时 0 0 1 2 1 2 称为正惯性指数 为负 i b j ci pj qpq 惯性指数 为符号差 且秩 其中为二次型的矩阵 p qApqAf 例 5 1 求二次型 的秩与符号差 12 n f x xx 2 11 4 n iij iij n Xx x 解 设对应的矩阵为 则 12 n f x xx A A 1222 2222 2122 2212 2221 于是由 EA 1 1 2 1 1 2 n n 1 1 21 n n 可得的特征值为 A 11 1 21 nn n 所以的秩 的符号差 12 n f x xx n 12 n f x xx 1 1 2nn 5 3 矩阵的秩与二次型的正定 设二次型 其中 那么有以下的结论 12 n f x xx x Ax AA 正定的正惯性指数与秩都等于 A fn 负定的负惯性指数与秩都等于 A fn 半正定的正惯性指数与秩相等 A f 例 5 2 设为阶满秩矩阵 试证明 是一个正定二次型 这里 AnXA A XX 第 12 页 共 16 页 12 n x xx 证明 设是满秩矩阵 令 其中 则A Y A XY 1 n yy 是非退化线性替换 且 X 1 AY 5 2 1 XA A X Y 222 12n yyy 由 5 2 1 看出 此二次型的正惯性指数与秩都等于 n 所以 是正定二次型 XA A X 例 5 3 设为阶实对称矩阵 且正定 为实矩阵 为的转置矩阵 AmBm n T BB 试证明 为正定矩阵的充分必要条件是秩 T B AB Bn 证明 先证明充分性 首先 T TT B ABB AB 由秩 知 B0 而为正定矩阵 故 1 0 n xRx Bnx A 0 T x T T B AB xBxA Bx 此即为正定矩阵 T B AB 再证明必要性 用反证法 若秩 则有非零实数解存在 即 0 Bn0Bx 0 xB 0 x 但0 由为正定矩阵 知 0 x T B AB 0 5 3 1 TT 00 xB AB x T 00 BxA Bx 另一方面 因为 0 所以B 0 x 5 3 2 T 00 BBxAx 由于 5 3 1 5 3 2 矛盾 故秩 Bn 所以 为正定矩阵的充分必要条件是秩 T B AB Bn 6 矩阵的秩与线性变换 线性变换问题是高等代数中的一类重要问题 同时也是线性代数的一个主要研究 对象 在线性空间中 基于线性空间的一组基 可以线性变换与矩阵的关系 而矩阵 第 13 页 共 16 页 的秩是矩阵的一个重要的数量特征 因此 可以用矩阵的秩来研究线性变换 6 1 矩阵的秩与核的计算 1 设是上的维线性空间 是的线性变换 则称集合VPn V 0 V 为的核 记为或 1 0 ker 2 若为 V 的一组基 在基下的矩阵为 则 12 n 12 n A i 秩dim ker n A ii 若秩 且的基础解系为 则Ar0Ax 12 n r XXX 其中 且为ker 12 n r L 12 ini X 1 2 inr 12 n r ker 的一组基 6 2 矩阵的秩与值域的计算 1设是上的维线性空间 是的线性变换 则称集合为的VPn V V 值域 记为 V 2 若为的一组基 在基下的矩阵为 则 12 n V 12 n A i 秩dim VA ii 令 为的列向量 若秩 且为的列向A 12 n A AA i AAAr 12 r iii A AA A 量组的极大线性无关组 则 V 其中 12 r iii L 12 j in j i A 1 2 jr 且为的一组基 12 r iii V 3 dim ker dim VdimVn 例例 6 1 设是维线性空间上的线性变换 试证明 秩 秩的充分必要条件AnV 2 AA 是 VAV 1 0A 第 14 页 共 16 页 证明 1 先证明充分性 设 因为VAV 1 0A 6 1 1 2 A VA AVAV 且 存在 使 于是可设AV V A 其中 12 1 12 0AVA 则 22 121 AAAAA AAA V 此即 6 1 2 2 AVA V 由 6 1 1 6 1 2 即证明 故AV 2 A V 秩 dim dim 秩 AAV 2 A V 2 A 再证明必要性 设秩 秩 则A 2 A 秩 dim dim dim A 1 0A AV 1 0A n dim dim 6 1 3 2 AV 1 2 0A 秩 秩 2 A 1 2 0A 于是 dim dim 6 1 4 1 0A 1 2 0A 但是 6 1 5 1 0A 1 2 0A 于是由 6 1 4 6 1 5 有 6 1 6 1 0A 1 2 0A 再证明 6 1 7 AV 1 0A 0 又因为 使得 且 所以 1 0AVA V A 0A 1 221 000AAAA 第 15 页 共 16 页 故 即证明了 6 1 7 0A 由 6 1 3 6 1 7 可得 VAV 1 0A 参考文献参考文献 第 16 页 共 16 页 1 张禾瑞 郝鈵新 高等代数 第五版 M 北京 高等教育出版社 2007 2 北京大学数学系几何与