《线性代数考研资料》第三章 向量.doc

专业 权威 轻松 快乐 华慧考研：/第三章 向 量一、向量组地线性相关问题1（97，选4题，3分）设，则三条直线，(其中)交于一点地充要条件是 （A）线性相关 （B）线性无关 （C）秩秩 （D）线性相关，线性无关 【 】【答】应选（D）【分析】三条直线交于一点的充要条件是方程组有惟一解【详解】由题设，三条直线相交于一点，即线性方程组 有惟一解，其充要条件为秩秩2（A），（C）必要但非充分；（B）既非充分又非必要；只有（D）为充要条件，故应选（D）2（98，十一题，4分）设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组有解向量，且，证明：向量组线性无关【分析】向量组是线性无关的，则当时，必有成立【详解】设有常数，使得 则有从而由题设，所以类似地可以证明，因此向量组是线性无关的3（00，选4题，3分）设n维列向量组（mn）线性无关，则n维列向量组线性无关的充分必要条件为（A）向量组可由向量组线性表示（B）向量组可由向量组线性表示（C）向量组与向量组等价（D）矩阵与矩阵等价 【 】【答】应选（D）【分析】向量组线性相关向量组的秩，由定理“若可由线性表出，则”【详解】用排除法（A）为充分但非必要条件：若向量组可由向量组线性表示，则一定可推导出线性无关，因为若线性相关，则，于是必线性相关，矛盾。但反过来不成立，如当m=1时，均为单个非零向量是线性无关的，但并不能用线性表示（B）为既非充分又非必要条件。如当m=1时，考虑均线性无关，但并不能由线性表示，必要性不成立；又如，可由线性表示，但并不线性无关，充分性也不成立（C）为充分但非必要条件，若向量组与向量组等价，由线性无关秩，因此线性无关，充分性成立；当m=1时，考虑均线性无关，但与并不是等价的，必要性不成立故剩下（D）为正确选项。事实上，矩阵与矩阵等价，因此是向量组线性无关的充要条件4(03，选4题，4分)设向量组:可由向量组:线性表示，则 （A）当rs时，向量组必线性相关 （C）当rs时，向量组必线性相关 【 】【答】应选（D）【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组:可由向量组:线性表示，则当rs时，向量组必线性相关，或其逆否命题：若向量组:可由向量组:线性表示，且向量组线性无关，则必有，可见正确选项为（D）。本题也可通过举反例用排除法找到答案【详解】用排除法：如，则，但线性无关，排除（A）；，则可由线性表示，但线性无关，排除（B）；，则可由线性表示，但线性无关，排除（C）故正确选项为（D）5（04，选（12）题，4分）设A，B为满足AB0的任意两个非零矩阵，则必有：（A）A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关（B）A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关（C）A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关（D）A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关 【 】【答】应选（A）【分析】A，B的行或列向量组是否线性相关，可从A，B是否行（或列）满秩或Ax0（Bx0）是否有非零解进行分析讨论【详解1】设A为mn矩阵，B为ns矩阵，则由AB0知， r(A)+r(B)0,r(B)0.可见r(A)n,r(B)n，即A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关，故应选（A）【详解2】AB0知，B的每一列均为Ax0的解，而B为非零矩阵，即Ax0存在非零解，可见A的列向量组线性相关。同理，由AB0知，于是有的列向量组线性相关，从而B的行向量组线性相关，故应选（A）6（05，选11题，4分）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则线性无关的充分必要条件是 （A） （B） （C） （D） 【 】【答】应选（B）【分析】本题综合考查了特征值、特征向量和线性相关与线性无关的概念，讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可【详解】按特征值特征向量定义，有线性无关恒为0 恒为0由于不同特征值的特征向量线性无关，所以线性无关于是恒为0而齐次方程组只有零解所以应选（B）7（06，（11）题，4分）设均为n维列向量，A是mn矩阵，下列选项正确的是（A）若线性相关，则线性相关（B）若线性相关，则线性无关（C）若线性无关，则线性相关（D）若线性无关，则线性无关 【 】【分析】本题为判别向量组的线性相关性，可利用线性相关性的定义和矩阵的秩与向量线性相关的关系来求解【详解1】因为若线性相关，则存在不全为0的s个数，使 用A左乘上式两端，得 因不全为零，故线性相关，所以，正确选项为（A）【详解2】设矩阵 则 于是 若线性相关,则,由此得。此时,C的列向量线性相关，所以，正确选项为（A）【详解3】因矩阵A可任意取，故当A0时，可得选项（B），（D）是错误的，而当s=n时，取AE，可得选项（D）也是错误的，所以正确选项只能是（A）二、向量组的秩与向量空间1（97，七（1）题，5分）设B是秩为2的54矩阵，是齐次线性方程组Bx0的解向量,求Bx0的解空间的一个标准正交基【分析】要求Bx0的解空间的一个标准正交基，首先必须确定此解空间的维数以及相应线性无关的解，由题设知解空间的维数，即Bx0的线性无关解的个数等于B的列数减r(B)，显然等于2，而三个解向量两两均是线性无关的，选取任意的两个进行施密特正交化均能得到一个标准的正交基，解不是唯一的【详解】因秩r(B)=2，故解空间的维数为：4r(B)=4-2=2又线性无关，可见是解空间的基先将其正交化：令再将其单位化：令即为所求的一个标准正交基2（03，填4题，4分）从的基到基的过渡矩阵为【分析】n维向量空间中，从基到基的过渡矩阵P满足=,因此过渡矩阵P为：【详解】根据定义，从的基到基的过渡矩阵为2011年考研英语远程辅导全程班考研考什么？考的就是英语！每年考研英语超过60分的考生占总报考人数的比例不足15%，国家最高控制分数线从没超过58分。专业课再优秀，如果英语不过关，也与硕士无缘。可是，英语基础本来就不怎么样，学起来又枯燥；备考时间不多，又苦于没有有效的复习方法；自学的效果非常差，怎样才能在短时间内突破考研英语瓶颈呢？词汇记不住：是我们的记忆有问题，还是学习方法不对？阅读看不懂：是依靠大辞典，还是有更好的办法？写作、翻译无从下手：自认为构思还可以，可就是表达不出来，有什么玄机呢？针对广大考生存在的问题，华慧考研英语专业辅导团队集多年考研辅导经验，精确把握历年考研英语的命题思路，针对学员的英语基础开设不同层次的辅导班。 免费试听网址：/free/index.asp?zt=kaoyan复试指导班（报班300元即赠送此课程）个性化指导 100元基础学习班( 词汇+语法)40课时 原价400元，优惠价350元模块突破班(完型+翻译+阅读+写作)90课时 原价700元，优惠价550元专项突破班(基础学习班+模块突破班)130课时 原价1100元，优惠价780元系统全程班(专项突破班+串讲冲刺班)160课时 原价1600元，优惠价980元 专项突破班结合考试规律，全面提炼课程知识精华，侧重讲解重点、难点和考点。在较短时间内，强化学员对课程内容的掌握，提高学员驾驭和应用所学知识的能力，使学员真正做到举一反三、触类旁通。同时，通过对大量极具代表性的综合习题解题思路及过程的深入剖析，指明未来考题中可能出现的“误区”、“陷阱”所在，帮助学员提高答题技巧，减少答题错误，熟悉考试题型、掌握命题规律、提高解题能力，以达到事半功倍的复习效果。 串讲冲刺班全面串讲、模考等手段，强化应试能力和技巧，结合历年考试特点，预测考试方向，逐一讲解重要考点，分析考点出题形式，讲解答题思路，传授应试技巧，对考试题型进行归纳讲评，使学员适应考试氛围，以最佳状态面对考试。 咨询时间早上10：00晚上24：00（周六、周日及节假日期间不休息）24小时服务电话电话607在线咨询QQ: 987403892、531060683华慧辅导特色1、顶级师资阵容首师大、北外、北大、清华、人大等国内著名大学的顶级名师亲自授课，精准把握考研英语的命题思路，讲课通俗易懂、条理清晰、重点突出，历年通过率不断攀升，深受学生好评。2、因材施教先对学员进行摸底测试，为学员量身定做个性化的复习计划，真正做到“因材施教”。3、一流的辅导团队具有丰富经验的专业化辅导团队为学员提供系统、专业、高效的全程服务。辅导团队通过摸底考试、章节训练等方式考核学员，根据测评结果制定个性化的备考策略和各阶段复习计划，并有针对性的调整教学内容，让每一位学员的弱项得到弥补，强项得到巩固、提高，从而奠定坚实的备考能力，确保学员轻松掌握重点、难点、疑点。4、零距离互动名师、辅导老师与学员零距离接触，进行水乳交融式的交流，全面解决单调、枯燥的学习环境，学习效果自然独树一帜！5、在线考场与错题库全真在线模拟考场、个人错题库，精准把握考试时间，规避出现考题会做而没有时间去做的考场通病；精准做到对知识点的查漏补缺，把有限的时间花在学不会的知识点上；让学与练通过在线考场融会贯通，真正实现事半功倍的学习效果！6、在线及时答疑依托华慧智能化的网络教学平台，专业辅导团队为您提供及时准确的网上答疑，解决您在学习过程中遇到的一切学习问题。7、个性化动态跟踪辅导。依托华慧智能化的网络教学平台，辅导老师为学员建立个性化的学习档案，随时与学员进行沟通，及时了解学员的需求，督促学员学习，动态跟踪和记录每位学员的学习进度，并对学习效果进行测评，充分调动学员学习的积极性，确保学员处于最佳的复习状态。8、在线及时答疑依托华慧智能化的网络教学平台，专业辅导团队为您提供及时准确的网上答疑，解决您在学习过程中遇到的一切学习问题。9、小班教学，精品服务，限额招生，确保给每位学员最贴心的服务。华慧考研英语大逆转系列丛书介绍考研英语难吗？答案显而易见，名校的考研英语分数线也才50多分，普通院校40多分。考研英语的难度可见一斑。考研英语苦啊！不管原来的英语基础如何，很多考生夜以继日紧张备考，最后还是兵败英语，苦无成效，心有不甘。不考吗？人生难得几回搏，要改变现状，非考研不可。考吗？有点胆怯呢。学了十几年英语，还是门外汉，一直没有找到很好的方法，要考研了，最怕的还是英语，最担心的也是英语，一拿起英语书就头痛。很多考生的案头堆满了考研英语书，可就是找不到适合自己的，很多书到考完了还是新的。可以说，目前充斥各个书店的考研英语资料都是针对英语基础相对比较好的，要靠自己去归纳、总结、纠正学习方法，有些甚至就是题海战术，备考心力憔悴、效果不甚了了。这些资料对英语基础比较弱或者对英语一直怀有“敌意”的考生来说，有如鸡肋，没有任何意义。针对考研英语资料存在的问题，从考生的实际需要出发，华慧考研网总结多年考研辅导经验，独辟蹊径，精心编著出考研英语大逆转系列丛书，旨在帮助考生能有效的突破英语学习的瓶颈，实现从低分到高分的逆转。该丛书分为词汇篇、阅读篇、翻译写作篇，专为或者对英语一直怀有“敌意”或有畏惧感、英语基础比较弱的考生而设计。考研英语大逆转-词汇篇英语词汇对英语学习的重要行不言而喻，妄图逃避词汇记忆，是不可能的。但传统的词汇记忆方法，让很多人望而却步，产生畏难情绪。考研英语大逆转-词汇篇突破传统的机械记忆，独创分级循环、识而不背的词汇学习法，用最简单有效的方法，3个月实现词汇大逆转。考研英语大逆转-阅读篇“得阅读者得天下”，词汇过关，阅读是否就没问题了？殊不知，一篇文章所有的词汇都认识并非就能做对题。传统的阅读方法就是题海战术，效果并不明显。考研英语大逆转-阅读篇将多年的阅读教学、辅导精华浓缩为高效、实用的“四分六问阅读法”，让考生真正掌握阅读的真谛，2个月突破阅读，实现逆转。考研英语大逆转-翻译写作篇翻译和写作是两项高要求的题型，要求考生对英语体系国家的语言奥妙及其所承载的文化有较高程度的理解和掌握。尤其是对母语非英语的我们来说，想要完成翻译，顺利写作成文，是一件非常不容易的