第五章 风险衡量.doc

第五章 风险衡量引言风险衡量主要包括以下工作：1、收集有助于估计未来损失的资料。2、整理、描述损失资料。3、运用概率统计工具进行分析、预测。一、损失资料的收集与整理（一）损失资料的收集1、 损失分布与数据收集2、 数据要求（1）完整性。即收集到的数据尽可能充分、完整，这种完善不仅要求有足够的损失数据，而且要求收集与这些数据相关的外部信息。（2）一致性。第一，所有记录在案的损失数据必须在统一的基础上收集。第二，必须对价格水平差异进行调整，所有损失价值必须用同种货币来表示。（3）相关性。过去损失额的确定必须以与风险管理相关性最大为基础。（4）系统性。收集到的各种数据，必须根据风险管理的目标与要求，按一定的方法进行整理，使之系统化，以提供有用的信息，成为预测损失的一个重要基础。（二）损失资料的整理损失数据的排列表5-1 某出租汽车公司车队每次事故的损失金额 （万元）3.119.212.91.28.86.64.66.714.010.53.317.021.32.213.21.17.26.81.912.510.915.322.52.318.14.117.78.19.111.80.34.00.97.95.0表5-2 某出租汽车公司车队每次事故损失金额（按递增排列） （万元）0.34.19.117.70.94.610.518.11.15.010.919.21.26.611.821.31.96.712.522.52.26.812.92.37.213.23.17.914.03.38.115.34.08.817.01、资料分组资料分组就是用来简缩资料的。资料分组首先必须决定要分多少组。组距、组界、组频数。2、频数分布频数分布表（简称频数分布）组距与相应的组频数一起展示。表5-3 某出租汽车公司车队每次事故损失频数分布表组号分组频数频率（%）组中值10.254.751234.32.5024.759.25925.77.0039.2513.75617.111.50413.7518.25514.316.00518.2522.7538.620.50合 计35100.00频数分布表可以着重说明某些损失数据的特征，但有时也存在着缺点。例如表5-3中清楚地表明损失值小于13.75万大于9.25万的占损失次数的17.1%(6/35),而仅有8.6%（3/35）的汽车事故造成18.25万以上的损失。这里得不到每次事故究竟造成多少损失的信息，因此使用频数分布表时，需要估计每组的代表数值，一般使用每组的组中值，组中值是最有代表性的估计值。3、累积频数分布累积频数分布表是一个用以说明损失值在某特定数值以下的损失数据个数的表，各组对应的累积频数是该组及以前所有各组的组频数之和，即：第n组所对应的累积频数=第n-1组所对应的累积频数+第n组的组频数表5-4 某出租汽车公司车队每次事故损失累积频数分布表组号分组频数累积频数10.254.75121224.759.2592139.2513.75627413.7518.25s532518.2522.75335二、损失资料的描述（一）损失资料的图形描述1、条形图2、圆形图3、直方图4、频数多边形（二）损失资料的数字描述两类指标：一类是描述集中趋势的指标，称作位置量数（Measures of Location）；另一类是表明离散趋势的指标，称作变异量数（Measures of Variation）。1、位置量数（1）全距中值全距中值是样本中最小观察值与最大观察值之间的中点数值，即全距中值=（最小观察值+最大观察值）2（2）众数众数是指样本的出现次数最多的观察值。如果有两个或更多的观察值出现相同的次数（它们比任何其他的观察值较多出现），那么众数就不止一个，这个样本称为多峰的。如果只有一个众数，则该样本被称为是单峰的。（3）中位数假设数据资料已按递增顺序排列，而观察值的个数是奇数时，则中位数是位于正中间的观察值。如果观察值的项数是偶数，则中位数应当是两个中间的观察值之间的中点数值。(4）算术平均数最常用的位置量数是算术平均数，简称平均数。其定义为：若用x1,x2,xn表示观察值，平均数用表示，则或者 。对于一个已分组的资料来说，单个观察值就失去了它的个性。由于已有人提供已经分组的资料，任何一个风险管理人员将不再注意原始资料的数值。而此时计算平均数，均根据频数分布表，将各组中的所有观察值与该组的组中值相等来计算。表5-9是按频数分布表5-3所示信息来计算平均数的具体方法。表5-9分组资料平均数的计算组别分组组中值mi频数fifimi10.254.752.50123024.759.257.0096339.2513.7511.50669413.7518.2516.00580518.2522.7520.50361.535303.5fimi/fi=303.5/35=8.67上述计算与实际平均数8.92极为接近。2、变异量数考在风险管理中选用的变异量数有全距、平均绝对差、方差和标准差以及变异系数等。（1）全距全距是最简单的变异量数。（2）平均绝对差平均绝对差与全距不一样，它考虑到全部观察值的情况，任意一组数据，每个数值与算术平均数的离差总和必定等于零，这是因为正的离差与负的离差总和正好抵消。为了解决这个问题，可以将所有的离差都作正值处理，然后再对n个离差算术平均。因平均绝对差是指绝对差的简单的算术平均数，用M.A.D记作平均绝对差，可得式中：xi为经递增整理的数据资料中的第i个数据；为算术平均数；n为数据个数。平均绝对差计算公式是： k为组数 (3)方差和标准差由于绝对差处理上较麻烦，我们用平方和来处理离差，每个离差的平方和再被n-1除就是方差，一般用S2表示方差，S表示标准差。数据未分组的方差：数据未分组的标准差：（4）变异系数一般地，变异系数这是位置量数与变异量数的综合量数，其值变化范围从零到无穷，而不是0到1。用变异系数度量风险，比单独用位置量数或变异量数要优越很多。这是因为，其一，位置量数如平均数不能衡量风险的大小，一个确定的损失，从风险角度而言并不可怕。其二，单独使用标准差，则缺乏反映风险大小的能力。三、风险衡量指标风险是指损失的不确定性，而这种不确定性包括损失发生与否，何时何地发生和一旦发生其损失程度如何等都不确定，其中损失发生与否和损失程度在风险管理中尤为重要。损失发生的可能性称之为损失概率。而损失程度，则表征损失的严重性，在风险衡量中通过以下两个指标反映：1、损失期望值，即未来某一时期内预期的损失平均值。2、损失幅度，指一旦损失发生，可能形成的最大损失。因此衡量一种风险的大小，关键在于估计损失概率、损失期望值和损失幅度。（一）损失概率1、损失概率的含义损失概率是指损失发生的可能性，确定损失概率是风险衡量的一个重要方面。某一事件的发生与否往往存在着一种统计规律性。2、损失概率在风险衡量中的两种说法（1）时间性说法（Temporal Interpretation）此种说法侧重于时间的观念。例如：假设某栋仓库遭受火灾损失的概率为1/10，风险管理人员如以“月”为一单位的话，那么那栋仓库遭受火灾损失的机会为每10个月有一次损失，亦即在长期观察下所得的平均结果。如果风险管理人员以“年”为单位，则上述的概率亦可说，这栋仓库遭火灾损失的概率为每10年一次，故采用此种说法有两点值得注意：其一是时间单位的采用不同，在直觉上损失概率的大小亦不同。如前述10年一次和10个月一次损失，显然前者的说法概率较低。其二是采用此种说法通常是在经济单位并不拥有许多同类风险单位的情况，这是因为经济单位如不拥有许多同类风险单位，则难以短期内预测有多少单位受损，因此采用时间性说法对风险管理人员是有用的。在再保险中，事故超赔分保的层次划分常采用时间性说法，一般将层次分为低层、中层和高层，其一般界限是：低层：预计有损失发生，可能每年一次赔付。中层：仅在较大的巨灾事故时才会有赔付，约10年至39年可能发生一次。高层：当有严重的巨灾事故发生时才会有赔付，约40年以上可能发生一次。（2）空间性说法（Spatial Interpretation）此种说法侧重于特定期内遭受损失的风险单位数，是众多风险单位在空间上的平均结果。因此风险管理人员不能仅考虑本经济单位自己的风险单位的过去损失情况，尤其要考虑不同经济单位，甚至不同国家的风险单位损失经验。例如，要考虑某经济单位拥有的汽车在来年发生损失的概率，由于该经济单位自有汽车较少，采用时间性立法，显然不适用未来一年内的损失估计。因此，必须考虑所处城市所有汽车的损失经验，以此估计企业自有汽车的损失概率。又如民航飞机失事率，则不仅要考虑一个国家民航失事经验，更重要的应考虑全球民航飞机失事经验。飞机保险的费率依据之一就是全球民航失事率。当然，如果一个经济单位自己拥有很多独立的同质风险单位，也可采用空间性说法。在采用空间性说法时，应注意的是观察的风险单位应该是相互独立的和同质的。所谓“相互独立”，是指风险单位之间绝对存在差异，此种差异可能来自各种原因（如所在地区、防护等级等），就某种风险而言，一个风险单位遭受损失并不影响其他风险单位遭受损失。至于“同质的”不仅指风险单位面临相同的风险而且指风险单位所遭受的来自特定风险事故的损失概率和损失程度相同。例如有十栋房屋，其中一栋价值200万元，另外九栋仅值50万元，如发生火灾价值200万元的房屋损失幅度大于另外九栋，故值200万元的房屋所面临的火灾风险与其他房屋是不同质的。（二）损失期望值损失期望值表征某一时期的平均损失，它可以通过损失数据的算术平均数来估计，如果已得到损失的概率分布，则可精确计算出来。损失期望值在保险经营中常常用于制订纯费率，而在其他经济单位中，风险管理人员常用于拟定风险处理方案。如果不进行风险处理，那么经济单位在相当长的时期内每年（月、季）将承担相当于损失期望值大小的损失，尽管对某一特定年（月、季）实际发生的损失可能并不是损失期望值。如果经济单位拥有的过去损失资料比较稳定，损失与期望损失相差不多，此时风险管理人员可根据期望值的大小考虑安排保险，或者自留，或者研究损失发生的原因以及是否有办法控制损失的发生。如果经济单位拥有的过去损失资料不够稳定，或数据太少，那么据此得到的损失期望值可信度低，此时应结合标准差等其他指标来考虑安排保险。（三）损失幅度损失幅度是指一旦发生致损事故，其可能造成的最大损失值。风险管理人员根据经济单位自身特点，可用不同的方法来衡量损失幅度，最基本的是估测单一风险单位在每一事件发生下的最大可能损失（Maximum Possible Loss）和最大预期损失（Maximum Probable Loss）。对最大可能损失与最大预期损失概念有不同的解释，其中较为有名的是Richard Prouty的观点。他认为最大可能损失强调的是单一风险单位在企业生命存在期间，单一事件发生下可能最坏的损失，其特征是以企业生命存在期间为观察期间。而最大预期损失强调的是单一风险单位，在单一事件发生下可能的最坏损失，其特征是不以企业生命存在期间为观察期间。 我们认为，最大可能损失是一种客观存在，与人们的主观认识无关。而最大预期损失则是一种与概率估算相关，即与人们的主观认识有关的概念，它随着人们选择的概率水平的不同而有所不同。因此最大可能损失不会低于最大预期损失。例如一幢建筑物价值1000万，那么最坏的可能是全损，即最大可能损失 1000万。而从概率的角度考虑，或许有人测算此栋建筑约40年有一次损失超过800万，由于这种可能极为微小，因此认定最大预期损失为800万，或许有人测算40年有一次损失超过850万，故最大预期损失为850万。估测最大预期损失较为困难，但也最为有用。仅估测最大可能损失与最大预期损失是不够的，有时还需要估计年度最大可能损失和年度最大预期损失。年度最大可能损失与年度最大预期损失均可成因于单一风险，或者成因于多种风险，它们可包括各种风险事故所致众多风险单位的所有类型损失。年度最大预期损失是面临风险的单个单位或单位群体在一年内可能遭受的最大总损失量。与最大预期损失一样，这种损失量依风险管理人员选择的概率水平而定。但与最大预期损失不同的是，这种量度并不仅仅是指一次事故的严重性，相反依事件的个数以及它们的严重性而定。由于损失概率往往较小，而一旦发生，其造成的财务负面影响对经济单位来说却常常又是可怕的，甚至是毁灭性的。因此估算损失幅度比估算损失概率更为重要。但是，并不是说任何情况都是如此，有时也存在估测损失概率比估测损失幅度重要的时候。例如，一家保险企业对其承保的建筑物火险。由于保单的赔偿额有一定的限制，如设置责任限额，因此保险企业就较为注重损失概率的估测。四、损失概率与损失程度的估测（一）每年损失事故发生的次数损失次数可使用二项分布、泊松分布等来估计。1、用二项分布估测损失次数假设n个风险单位均遭到同一风险事故的威胁。如果记n 风险单位在一年中发生所述的风险事故的次数为X，且满足下列条件：（1）每个风险单位发生同样风险事故的概率相同，设为p；（2）任一风险单位发生风险事故都不会影响其他风险单位发生同样风险事故（独立性）；（3）同一个风险单位在一年中发生二次以上的事故可能性极小，可以认为这一概率为零。则X为一服从二项分布的随机变量，且分布律为 其中q=1-p是标的一年中不发生事故的概率。二个或二个以上风险单位发生事故的概率：或通过下式计算：我们无法确定究竟会发生多少次风险事故，但可以了解n个风险单位在下一年度中发生事故的平均次数及其偏离程度就可以了。X的期望值E（X）=np，标准差。例1：某公司有5家工厂，假设任何一家在一年中发生火灾概率为0.1，并且各个工厂之间就火灾而言是互不相关的，同一个工厂一年中发生二次以上火灾概率认为是零。请估算该公司下一年度中发生火灾的次数分布概况，以及平均将有几家工厂遭受火灾？解：设X为公司5家工厂在一年中发生火灾的次数。因为每一家在一年中发生火灾的概率为0.1 ,，故X服从b( 5，0.1),分布律为 k=0,1,5发生火灾工厂数目及相对应的概率见表5-15。表5-15 发生火灾工厂数目及相对应的概率发生火灾工厂数X=k概率012345下一年将有E（X）=np=50.1=0.5（次），即下一年发生火灾的工厂数目预期为0.5。可能的偏离程度，即标准差2、用泊松分布估测损失次数设有众多风险单位，每年估计平均有个风险单位发生事故，每一风险单位发生事故的概率相同，则一年中发生致损事故数X为一服从参数为的泊松分布，分布律为 k=0,1,2该分布的期望与标准差分别为和。因此关键问题是通过损失资料获得的估值，例如一个车队在过去的三年内共发生二次碰撞事故，即每年平均约2/3次，则估值为2/3。例2：假定有一个5辆车组成的车队，该车队约每两年有一次撞车事故，试估算该车队下一年中发生撞车事故次数的分布状况。解：记X为一年中发生撞车事故次数，由于年平均撞车次数为0.5，故X服从参数=0.5的泊松分布，下一年撞车次数的概率分布计算如表5-16所示。期望值E（X）=0.5，标准差。无撞车事故的概率：。多于三次撞车事故的概率为： 多于一次撞车事故的概率：。表5-16撞车次数X=k概率0123456泊松分布常见于稠密性的问题，因此对风险单位数很多的情况特别有效。一般说来，要求风险单位数不少于50，所有单位遭受损失的概率都相同并小于0.1。在风险管理问题中，许多情况均满足上述条件，损失发生概率往往很小，如果风险单位数不够，风险管理人员可通过分割风险期间来增加风险单位数，或者根据同行的损失资料，并入自己的损失资料中，来增加风险单位数。（二）每次事故的损失金额为估测每次事故的损失金额，我们将利用一些概率分布，如正态分布、对数正态分布和帕累托分布等，这些分布将会给出一次事故中损失金额可能取值的概率。1、用正态分布估测损失额对于一些损失频率分布类似一个正态分布的密度函数图形，即只有一个峰，且图形关于峰是近似对称的。这样的损失频率分布可用正态分布来拟合，并通过正态分布来估测损失额落在某区间上的概率，以及损失额超过某一数值时的概率。我们通过实例来说明估测方法。例3；某地若干年间夏季出现暴雨共84次，每次暴雨以一天计算，一个夏季（59月）共153天。表5-17每次暴雨造成的损失频率分布表，试估算下次暴雨的（1）期望损失；（2）损失额落在什么区间的概率为95%；（3）损失额大于100万的概率的多大？表5-17 若干年间夏季暴雨致损金额分布表组别分组（万元）频数fi频率（%）152540.04762254580.095234565140.166746585190.2262585105210.25006105125100.1190712514550.0595814516530.0357840.9999解：从上述损失分布的直方图可以看出分布近似于正态分布。（1）用损失资料的算术平均数去估计正态分布的数学期望，即用算术平均数估计暴雨的平均损失，见表5-18。表5-18组别组中值mi频数fifimimi2fimi21154602259002358280122598003551477030254235047519142556251068755952119959025189525611510115013225132250713556751822591125815534652402572075846820644900故，因而下一次暴雨的期望损失是81.19万元。（2）由于标准差故根据正态分布的特点 ，损失额落在（81.1933.142，81.19+33.142）,即落在(14.91,147.47) 内的概率为95%。（3）因损失分布是N（81.19 ,33.14）而要求的是损失值X大于100万的概率，即其中是标准正态分布的分布函数，已编制成表可供查阅，经查，即Px100=10.7157=0.2843，所以损失值大于100万的概率为0.2843。2、用对数正态分布估测损失值需要注意的是，大多数损失分布并不是正态分布，而常常是分布密度呈右偏状，即小额损失发生概率大，大额损失发生概率小，如对数正态分布、威布尔分布等，另外如地震损失分布，则是左偏的。利用对数正态分布来估测损失值与正态分布相比要复杂得多，我们用一个示意的例子来说明估测方法。假设企业过去火灾损失数据为：2，2，3，3，3，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，6，6，6，7，7，8，9，其频率分布表如下：表5-19分组1.5-2.52.5-3.53.5-4.54.5-5.55.5-6.56.5-7.57.5-8.58.5-9.5频数36543211对应的直方图及频数多边形如图5-8所示，对每个数据取对数得到另一个序列：0.693,0.693,0.693,1.099,1.099,1.099,1.099,1.099,1.099,1.386,1.386,1.386,1.386,1.386,1.609,1.609,1.609,1.609,1.792,1.792,1.792,1.946,1.946,2.079,2.197。图5-8表5-20 新数据的分组及其他相关数据组别分组频数fi组中值mifimimi2fimi210.40.930.651.950.42251.267520.91.4111.1512.651.322514.547531.41.971.6511.552.722519.057541.92.442.158.64.622518.49002534.7553.3625， 因其取对数的数据构成的经验分布与正态分布近似，故取对数后损失服从N（1.39, 0.462），这样火灾损失服从参数为1.39，0.462的对数正态分布。对数正态分布的数学期望等于，标准差等于，故损失的平均值为4.46（单位），未来损失落在的概率为68。落在内的概率为95。如果要计算未来损失额大于7的概率，根据对数正态分布的分布函数F（x），可得（三）每年的总损失金额年总损失金额是指具有同类风险的众多风险单位在一年中因遭遇相同风险所致事故而产生的损失总和。估测年总损失金额同样要解决三个基本问题：（1）年平均损失多少？（2）企业遭受特定损失金额的概率。（3）“严重损失”将发生的概率。表5-21是一个假设得概率分布，描述了5辆汽车每年总损失金额的分布状况，每辆汽车的价值4000元。我们用此例来说明估测方法。表5-21 5辆车年总损失金额的概率分布每年损失金额xi概率pi00.6065000.27310000.10020000.01550000.003100000.002200000.001总计1.000表5-22 表5-21中总损失金额等于或大于某些特定价值的发生概率特定价值x概率p5000.39410000.12120000.02150000.006100000.003200000.0011、年平均损失估测在估测年平均损失时，既要考虑年度损失资料的适用性，又要考虑年度损失数据的变化趋势，如果一列年度损失数据按时间次序呈递增状的话，则显然来年的年度总损失仍有一种递增的趋向，此时如再用平均值来估计将产生较大的误差，应使用时间序列分析方法来估算。许多风险单位遭受损失的总和值，根据中心极限定理，只要各风险单位之间就某一风险是相互独立的且所致损失分布相同，那么总损失金额近似服从正态分布。如一辆车发生碰撞，不影响所研究的另一辆车发生碰撞，而且损失分布相同，如果汽车数很多，则所有汽车的损失金额就服从正态分布。这样通过估计正态分布两个参数，就可完全了解总损失金额的分布状况。并且用正态分布的数学期望来估计年平均损失，这个估计额叫做期望总损失金额。期望总损失金额即长期的年平均损失金额，既反映了损失频率，又反映了损失的严重性，表5-21所示的损失期望值等于这种衡量表明：如果企业自留这种风险，则它在长期中将蒙受这种年平均损失。2、遭受特定损失金额的概率风险管理人员常常需要知道年总损失金额大于或等于某一特定数值的概率，为风险管理决策提供依据。如年总损失金额大于等于购买全部保险所需的保险费的概率有多大？如果风险自留，会引起企业严重财务问题的损失应大于什么数额，发生这样的“严重损失”概率有多大？表5-22车辆总损失金额大于等于特定数值的概率，其计算很简单，如要计算年总损失金额X500的概率，只要计算PX500。 或者在考虑年总损失金额大于等于购买全部保险所需的保险费的概率时，应将损失和保费换算成税后价值。因为同样金额的损失和保费其税后价值是可以不同的。现假定表5-21的损失为税后损失，且全部保险的税后保费600元，则据表5-22知税后损失金额大于等于600元保费的概率约为0.12。假定税后损失大于等于18000元被认为是重大财务损失，则产生严重财务问题的概率为 PX18000=PX20000=0.001，如果我们得到了精确的统计分布，则上述概率问题也可精确地通过理论概率分布计算出来。3、最大可能损失与最大预期损失最大可能损失（Maximum Possible Loss）与最大预期损失（Maximum Probable Loss）都用以表征研究对象的损失幅度。保险人经常使用这两个概念，以确定是否设置责任限额或办理分保。企业风险管理人员也常用此来估测特别严重损失发生的可能，并在事前选择恰当的风险管理方法来处理。我们这里所称的最大可能损失是指单一风险单位遭遇单一风险事故所致的最大事故。例如，一价值100万元的建筑物对火灾风险来说，其最大可能损失为100万元。而这里的最大预期损失是在一定的概率水平下，单一风险单位因单一风险事故所致的最大损失。例如风险管理人员相信不可能有发生机会小于1的，那么最大预期损失对于建筑物来说就要小于100万元。假定我们已知这栋建筑物的损失分布，记X为单一事故所致的损失金额这个随机变量，则在1的概率水平下，最大预期损失L可通过下式求得PXL1这里的L应是满足不等式的最小L。因此一旦概率水平不同，则最大预期损失也将不同，可以肯定选定的概率水平越小，最大预期损失越接近于最大可能损失。至于年度最大可能损失，它可以指一个风险单位在一年中因遭受同一风险的多次风险事故所致的最大总损失，也可以指许多同质风险单位在一年中遭受同一风险的不同风险事故所致的最大总损失。根据年损失次数的估测，同一风险单位在一年内发生多于一次的相同性质风险事故的概率是很小的。但是年度最大可能损失仍不能用简单的代数和将最大可能损失累加而成，需要考虑损失次数的分布情况而定。年度最大预期损失与最大预期损失在有些地方类同，它是在一定