第一章数学美学(1).doc

第四节 无限世界的另一面一、教学目标：1、进一步理解数学的强有力、数学方法的力量；2、理解数学中用定性分析的途径证明的存在性理论；3、充分认识算术公理第五条性质。二、教学重点、难点： 了解数学中无限其它方面。三、教学过程：前面以无限集为背景观察了一下无限世界。每个无限集都可以讨论它们的个数，这种数已非一般有限数，而是无限数了。记正整数集的元素个数为，记实数集元素个数为。与都是无限数，但我们已知：我们讨论过超越数，似乎很稀罕，除了，还有些什么呢？19世纪的一位法国数学家还特地构造过超越数。人们所知之具体的超越数，当时还很少很少。对无限集的认识，一下子使我们的认识有所突破。事情是这样的，我们已经看到，从无限集中去掉几个甚至按特定方式去掉无限个，它的元素个数是不变的，例如，从实数集中去掉有理数集，它的个数是不变的，亦即 并不难证明，全体有理系数多项式的零点(即代数数)的个数也是。在实数集中去掉全体实代数数后，剩下的就是实超越数，而从实数集中去掉个代数数后其个数也不变，。这样，我们不仅说明了超越数存在，而且说明了超越数很多很多，跟全体实数一样多。数学中的这种方法本身是很有意思的，它并不具体地给出那个事物，却可以证明它存在，并且还能够知道那种事物有多少个。这应当可以使人产生数学强有力、数学方法很有力量的那种感觉。存在性的理论强有力地指导实践，指导人们具体地寻找，并且是满怀信心地寻找，因为它一定是存在的。实际上，这也表明，欲证明一个事物的存在，有两条途径：一种途径是实际地找到它，一种途径则是通过逻辑的办法推证它必存在。相应地，在数学中，有两种存在性证明。一种是构造性的途径，一种是定性分析的途径或非构造性途径。无限风光在险峰。个个无限集就像一座座山峰，我们认识它，也就像登上了山峰一样。进人到无限，你可以看到在有限世界里看不到的许多现象。例如，正整数集的元素个数是，但是 亦即，这个式子在正整数领域只对= 1或0成立，可是，当= 1时，。正是利用这一性质，我们知道了代数数集元素也是个及其他许多性质。但是，而且。这个符号是这个符号的沿用，表示由个元素的集合的一切子集为元素的集类(仍是集)的元素个数，则表示由个元素的集合的一切子集为元素的集类的元素个数。所以，也很好理解。对于无限和，我们也将能看到一些异样的风光。看看下面的这个无限和(代数和)： 两边同乘以2： 将右边同分母的项合并，且仍按分母大小顺序排列： 此时，右边又等于，于是，我们看到了：这样就必须等于0。然而，都是大于0的，所以。怎么会出现这样令人奇怪的现象呢？现在，微积分的知识很容易告诉我们：=1n 2，即2以e为底的对数值：1n 2 = 06931在和中的每一项都是有理数，而其和却成了无理数ln 2(其无理性可以证实)，且是用对数来表示的。有理数的无限和可能不有理了!对数是15世纪就出现了的，等式1n 2则是17世纪才知道的。对数的发明者无论如何在二百年前没有想到，对数竟有如此之大的作用，它与其他一些数竟有如此广泛的联系。我们已经知道，当时与1n x之比是趋向于1的，这结果深刻地揭示了素数存在的数量性质。这个式子说明，当n充分大时，不超过n的素数个数当然比n少，可是，n与之比却和1n x“差不多”(即同一级无穷大)。这里，我们也看到，素数个数的问题竟然也是由对数来刻画的。再看看以下级数(称其为调和级数)： 似乎所加进去的项，其值越来越小，但是，减小的速度并不快，而且可以断言，会越加越大，以致无穷大，因为这样就有无穷多个大于的“片段”了。 也是无穷大的，数学术语称这个级数是发散的，因为这样就有无穷多个大于的“片段”了。调和级数是发散的，用极限的语言说就是：它的部分和是趋向无穷大，用式子表示便是：可是，从这一和式之值减去之后情况就发生了根本变化，当时，其差不趋于无穷大了，而具有有限极限了，即是一常数，c =0.577 215 664 9。这是一个神奇的数，其性质我们还不太清楚。与都是趋于无穷大的，可是它们的差不趋于无穷大了，而且当n充分大的时候，两者之差与c =0.577 21差不多了。例如，当n = 1、000时，7.4854706.907755 = 0.577715，即，当n = 1000时两者之差已不过万分之五了!奇妙之处又是对数能描绘一些难以被描绘的数学事实，对数在无限中成了美丽的花朵。在积分里，我们还可看到这类现象，当初等函数的原函数可由初等的有限形式表达时，对数函数又充当一个主要角色，这是基于下面的式子： 这一切都是对数的创造人未曾想到的，当初的人们注意到如下两个数列之间的关系0 1 2 3 4 5 6 7 8 91 2 4 8 16 32 64 128 256 512人们发现，下排的数是比上排的数要大得多的，但下排较大的两个数相乘可以通过上排的两个数相加得到，即两数积可通过两数和得到。例如，下排的4与8相乘，可以从上排相应的两个数2与3相加得5，然后在上排的5之下即得4与8之积；又例如，下排的8与32相乘，在上排相应的两数是3与5，3 + 5=8，然后在上排的8之下可找到8与32的积；求1632之积，则只需求4 + 5等于9，而9所对应的是512，于是得到1632=512。这样的途径使大数变小数，使求积变成求和，便大大简化了计算，节约了计算量。 上面的计算过程，按照我们现在的符号表示，则是，欲求，先求，而 ，把，与求出(已有表可查出)后相加(即求和)，然后求反对数(亦有表可查)，即得积这就是一个把求积转换为求和，再回过去求得积的过程。经过了两百多年之后，人们陆续发现了对数在研究无限之中的各种作用。多少年来，大家常听到“把有限的生命投入到无限的为人民服务之中去”的话，这反映的是一种人文精神。为他人服务是无止境的，也正是因为意识到生命的有限，才深切地感受到一种理想的无限，并通过有限生命能量的充分发挥去靠近或把握那个无限。在现实生活中，人们直感到的几乎全是有限的对象，而能够靠近或把握无限且把握得越多，则生活越充实，意味越深长，越富于理想的色彩。数学中更普遍地涉及有限与无限的关系，它并不是上面那种精神的移植。数学更严密地研究着有限与无限的关系，大大提高了人类认识无限的能力。而人们在这一研究中欣喜的心情，尤其是在获得了对于似乎难以捉摸的无限世界的越来越多、越来越深刻的认识的时候所表现的惊叹和欣喜，也充分代表了人的精神的重要方面。获得把握无限的能力和技巧，那是人类的智慧；在获得这些成果过程中体现出来的奋斗与热情，那是人类的情感。对无限的认识成果，则是人类智慧与热情的共同结晶。普通的人，若把自己的智慧与热情也融人数学学习之中，也会产生一种特别的感受。如果这样，数学的学习不仅不是难事，而且充满乐趣。我们再看一个极平常、极简单的例子。若问正整数有多少个，那就所有的人都能回答：无穷个。为什么是无穷个?那就不是所有的人都能说出点理由来的。也许还有人觉得：这还用得着去说理由吗?就像苹果为什么往地下掉而不往天上飞这样的问题很难被人注意到一样，；就像这种问题似乎不值得去问一样。理由却又是那样简单：正整数，首先可以从1，2数(shu)起，然后数(shu)到任何n，接下去还有，n + 1仍是正整数。这个道理简单得无人不知，然而，就是这一条构成了正整数集这一“最小”无限集的基本特性。现在，大家都知道，数学以逻辑严谨著称，了解更深一点的，便知道，数学的逻辑方法是以公理方法的形式出现的。这首先是从几何开始的，然后扩展了数学的许多分支。几何在两千多年前就有了公理系统，其他分支建立公理系统则晚得多，有些分支的公理在20世纪才建立起来。说来好像不易使人相信，算术系统的公理体系建立得并不早，直至一百年前才建立起来(意大利数学家皮亚诺完成)。这个公理体系共5条，如同几何公理中的第五公理特别引人注目一样，算术公理中特别引入注目的也是第五条。这个第五条的内容，实际上就是我们前面讲的那一条刻画了正整数集基本特性的原理。这一原理(公理)成为几乎每一位高中学生都熟悉的数学归纳法的基础。数学归纳法的含义是：假定一个命题P与正整数走有关，于是可将P写 P ( k )，如果P ( k )满足条件(1) P ( 1 )是真的(即P对k = 1是真的)；(2) 若P ( k )是真的，则P ( k+1 )也是真的，那么，P ( k )对所有正整数都是真的。数学归纳法为什么是有效的呢?为什么有条件(1)与(2)就能表明命题P对所有正整数都能成立呢?事实上，我们先证明：若记使命题P( k)成立的正整数构成的集为M，那么，M必是正整数集N+ 的一个子集：MN+ 。证明了(1)，就是证明了1M；证明了(2)，就是证明了，若