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1 第九章狭义相对论基础 目录 1 伽利略变换与力学相对性原理2 狭义相对论的基本假设与洛仑兹变换3 狭义相对论时空观4 狭义相对论动力学基础 2 伽里略变换与力学相对性原理 一 伽里略变换 Z O X X Y Y Z O 伽里略变换的实质就是牛顿力学所持的经典时空观 认为存在与物质的运动无关的绝对时间和绝对空间 3 力与参考系无关 故得到 反过来 由时空绝对性 伽里略变换 和绝对质量的概念 可以得到力学相对性原理 力学定律在一切惯性系中都是相同的 即所有惯性系都是等价的 说明了质量的绝对性 与运动无关 三 力学的相对性原理 由伽里略变换 力学相对性原理 4 狭义相对论的基本假设与洛仑兹变换 进行伽里略坐标变换 上式说明 在不同的惯性系中波动方程呈现不同的形式 即光速在不同的惯性系中有差异 将相对性原理应用于电磁学理论时 面临着严重的抉择 以一维为例 5 问题二 迈克尔孙 莫雷实验 著名的否定性实验 1881 1887 动摇了经典物理学的基础 实验原理如图 光源发出的光束被分成两束后 被镜片反射 其往返时间分别为 其中u设定为地球相对 以太 速度 6 仪器转动90度所引起的两光束的时间差的变化为 时间差的改变将导致干涉仪干涉条纹的移动 但观察的结果却出乎意料 观察不到预期值 估计移动0 4个条纹 多次改进实验仍是如此 实验得到的负结果困扰了当时的科学界 7 一 狭义相对论的两条基本假设 原理 1 相对性原理 物理定律在所有惯性系中都相同 即不存在特殊的惯性系 物理定律的绝对性 2 光速不变原理 在所有惯性系中 光在真空中的速率都等于常量c 真空中光速大小的绝对性 狭义相对论建立的历史标志 是1905年由爱因斯坦发表题为 论动体的电动力学 的文章 该文以极其清晰和高度简洁的观点叙述了两条基本假设 8 二 洛仑兹变换 爱因斯坦否定了牛顿的绝对时空观 也就否定了伽利略变换 他毅然选择了洛仑兹变换的时空变换关系 9 例题9 1试从爱因斯坦狭义相对论的两个基本假设出发 导出洛仑兹变换 解 设两个惯性参考系的坐标原点重合时 位于原点0处发出一光脉冲 根据光速不变原理 应有 由于时空的均匀性 新的时空关系必须是线性的 故可设 显然 如图 在S系中观测到系的各点 S系中的坐标为x 的速度为u 沿x轴方向 即dx dt u 然而 根据式 c 若 则有 Z O X X Y Y Z O 10 故有 联立 a b c d 四式 可解得 代入式 c 即可得到所要求的洛仑兹变换式 11 三 洛仑兹速度变换 逆变换 其中 正变换 12 例题9 2刚性长杆与X轴夹角为300 当杆沿Y轴正向以v 2c 3的速度平动时 杆与X轴的交点A的运动速度为多少 这是否与狭义相对论速率极限的理论相矛盾 解 交点A的运动速度为 尽管A点的运动速率大于光速c 但并不与狭义相对论的理论相矛盾 因为杆与X轴的交点并不是真实的物体 所以其速度可以大于光速 光速是一切物体运动的极限速率 是说真实物体在真空中相对任一参考系的运动速度 不能通过外力加速而得到光速 13 例题9 3飞船A中宇航员观察到飞船B正以0 4c的速度尾随而来 已知地面测得飞船A的速度为0 5c 求 1 地面测得飞船B的速度 2 飞船B中测得飞船A的速度 即地面参考系测得飞船B的速度为0 75c 解 1 设地面为S系 飞船A为S 系 则已知量为u 0 50c vx 0 40c 求vx 根据速度变换公式有 分析 求解这类题的关键是要分清各个已知量之间与未知量之间的关系 不要把坐标系搞混 只要掌握住这一点 就显得容易了 14 即飞船B测得飞船A的速度为 0 40c 由解题过程可以看出 若求在B中测得飞船A的速度 就必须先求出地面测得的飞船B的速度 2 设地面为参照系S 飞船B为S 系 则已知量为 u 0 75c vx 0 50c 需要求解的是vx 根据速度变换公式可得 15 例题9 4从S 系坐标原点沿轴正向发出一光波 而S 系相对于S系以0 5c的速率沿x轴负向运动 用两种方法求S系测得的光速 解二 用坐标变换求解 因为 解一 用速度变换公式求解 16 即 u 0 5C时 得 17 一 同时的相对性 狭义相对论时空观 由洛仑兹变换所描述的时空性质彻底改变了经典的时空观念 1 时钟的同步 需要确定一种方法使所有时钟的零点都对好 这种操作称为时钟同步 比较妥善的办法采用光信号使各时钟同步 如 自中央台发出一个零时信号 则各地接收到中央零时信号时 分别把时钟拨到 所有时钟也就同步了 思考 如何用其他办法使时钟同步 18 S系中不同地点同时发生的事件 在S 系不是同时发生的事件 2 同时的相对性 A B 19 设S 系中同一地点先后发生两个物理事件 对S系则有 说明 1 同时的相对性是光速不变和随之而来的不同惯性系的各时钟只能在各自惯性系作同步操作的必然结果 2 相互运动的惯性系不再有统一时间 即否定了牛顿的绝对时空观 20 从惯性系S中的观测者来看 运动着的物体中发生的过程所费的时间变长了 变为固有时间的 倍 对事件发生地点 同一地点 相对静止的惯性系中测得的固有时间最短 即时钟变慢 这种现象称为钟慢效应 注意 此命题强调同一地点先后发生的两事件 如何理解时间膨胀的概念 用光速不变原理设计一种光信号钟 如图 相距为d的两端各有一面镜子 而钟固定于系中 并一起以匀速v相对于S系沿垂直于d的方向运动 在系中 光信号一个来回经历的时间间隔为 21 但在S系中看 光信号沿两条斜线传播 按光速不变原理 则有 孪生子佯谬 一对孪生兄弟 哥哥告别弟弟 登上访问牛郎织女的旋程 归来时阿哥仍是风度翩翩一少年 而胞弟却是白发苍苍一老翁 解释 从逻辑上看 这种佯谬并不存在 因为天 地两个参考系是不对称的 原则上讲 地 可以是一个惯性参考系 而 天 却不能 否则它将一去不复返 兄弟永别了 22 三 长度的相对性长度缩短 S 系沿x 轴静止放置直杆 固有长度L0 x 2 x 1 在S系中同时测量直杆两端坐标 尺缩效应 物体沿运动方向的长度比其固有长度短 23 测量形象 观测者 和视觉形象 观看者 测量形象 测量运动杆长度必须同时测量其两端点坐标 才能由坐标差得出长度的测量值 视觉形象 是由物体上各点发出后 同时到达 眼睛或 照相机 的光线所组成 这些光线不是同时从物体发出的 尺缩效应的形象是人们观测物体上各点对观察者参考系同一时刻的位置构成的 测量形象 而不是物体产生的 视觉形象 相对论中的 观测者 指的就是这种 测量者 而作为 观看者 看到的高速运动的物体 除了应考虑由相对论效应引起的畸变外 还应考虑到由光学效应引起的畸变 故看到的物体仍是原有的形状 不过转过了一个角度 24 比较 与物体 包括时钟 固定在一起的参考系称为本征参考系 在本征参考系中进行的测量称为本征测量或原测量 测得的长度 时间间隔为本征长度或固有长度 本征时间间隔或固有时 25 例题9 5惯性系S和S 为约定系统 u 0 90c 在S 系的x 轴上先后发生两个事件 其空间距离为1 0 102m 时间间隔为1 0 10 6s 求 在S系中观察到的时间间隔和空间间隔 分析 在这个约定系统中 S 系沿S系x轴正向以0 9c的速度运动 在S 系中发生的事件既不同时也不同地 故不能按长度收缩和时间膨胀来处理 而应按洛仑兹变换来求解 根据洛仑兹变换有 26 由此式可以看出 只有同时发生的两件事 上式中第二项为0 才能应用长度收缩公式 这点定要记牢 同理 这就是在S系中发生的地点和发生的时刻 由已知各条件得 27 例题9 6相当于 静止的坐标系中测得 的自发衰减的平均寿命为2 15 10 6s 在离地面6000m高空所产生的 子相对于地面0 995c的速率垂直向地面飞来 试问它能否在衰变之前到达地面 解 解法1 设地面参考系为惯性系S 子参考系为 按题意 系相对于S系的运动速率为 子在系中的寿命为 根据相对论时间延缓效应 对于S系来说 子的寿命为 所以 子在衰减之前 地面已经碰上 子了 子在时间内运动的距离为 28 解法2 在相对 子静止的惯性系S 中 子衰减之前地球朝 子运动的距离为 所以 子在衰减之前 地面同样会碰上 子 然而 对S 系来说 地面与 子之间的距离存在长度收缩效应 也就是说 S 系中的观测者所测得的地面与 子的距离为 29 例题9 7两惯性系S S 沿X轴相对运动 当两坐标原点o o 重合时计时开始 若在S系中测得某两事件的时空坐标分别为x1 6 104m t1 2 10 4s x2 12 104m t2 1 10 4s 而在S 系中测得该两事件同时发生 试问 1 S 系相对S系的速度如何 2 S 系中测得这两事件的空间间隔是多少 解 设S 系相对S的速度为u 由洛仑兹变换 S 系中测得的两事件的事件坐标分别为 由题意 30 得 式中负号表示S 系沿S系x轴的负方向运动 2 设在S 系中测得两事件的空间坐标分别为x1 x2 由洛仑兹变换 由题意 31 狭义相对论动力学基础 在相对论中 动力学的一系列物理概念和规律都面临着重新定义的问题 重新定义新物理量的原则是 洛伦兹协变性 粒子或粒子系统的动力学方程必须在洛伦兹变换下形式不变 对应原则的限制 即u c时 新定义的物理量必须趋于经典物理学中对应的物理量 尽量保持基本守恒定律继续成立 一 动量和质量 根据实验结果 在相对论中 定义动量P为 32 动量的定义式的一种解释是 物体的质量m随速率v的增大而增大 即把动量的定义式写成 物体在相对静止的惯性系中测出的质量 物体对观测者有相对速度u时测出的质量 其中 可以证明 相对论的动量定义式满足爱因斯坦的狭义相对性原理 特别是 在任一惯性系中动量守恒定律成立 动量的定义式的另一种常用的解释是 物体学中只有一个质量m 即上述的静质量 它与参考系的选择无关 这时动量的定达式应写成 33 二 力 功和动能 在相对论中 仍然保留力作为动量的变化率这一定义 但动量由上面定义式决定 故 动力学方程 34 在相对论中 功能关系仍具有经典力学的形式 动能定理仍然成立 即 由 1 35 分析 牛顿力学中定义的动能 故相对论动能等于因运动而引起质量增加量乘以光速的平方 2 3 式代入 1 式得 36 三 能量质能关系 爱因斯坦将动能表式中出现的这一恒量 解释为粒子因静质量而具有的能量 称为静能 而称为质点的总能量E 由此即得著名的质能关系 爱因斯坦指出 如果使粒子系统的静质量减少 它就能释放出数量为的巨大能量 实验表明 原子核的静质量小于组成它的所有核子的静质量之和 其差额称为原子核的质量亏损B 即 37 说明 一个静质量为零的粒子 在任一惯性系中只能以光速运动 永远不会停止 质能关系预示了原子能时代的来临 与此相应的静能 称为原子核的结合能 即 能量和动量的关系 分析 38 例题9 8已知二质点A B静止质量均为m0 若质点A静止 质点B以6m0c2的动能向A运动 碰撞后合成一粒子 若无能量释放 求 合成粒子的静止质量 解 二粒子的能量分别为 由能量守恒定律求合成后粒子的能量 根据相对论质能关系 由质速关系求粒子的静止质量 39 接下来关键问题是求复合粒子的速度u 联立 1 4 四式得 40 例题9 9已知电子的静质量 求 1 电子的静能 2 从静止开始加速到0 60c的速度需作的功 3 动量为0 60MeV C时的能量 2 加速到0 60c时电子的能量为 解 1 电子的静能为 41 3 当P 0 60MeV C时 其能量为E 则有