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2直角坐标系下二重积分的计算教学目的与要求：(1)掌握二重积分化为累次积分的方法和累次积分的积分次序的交换公式(2)了解二重积分化为累次积分公式的证明教学重点，难点：重点：二重积分化为累次积分的方法难点：二重积分化为累次积分公式的证明教学内容：本节首先讨论定义在矩形区域上二重积分计算问题，然后再把它扩展到较为一般的区域上.定理21.8 设在矩形区域上可积，且对每个，积分存在，则累次积分 也存在，且 = (1)证 令，定理要求证明在上可积，且积分结果恰为二重积分.为此，对区间与分别作分割 , .按这些分点做两组直线 及 ,它把矩形分成个小矩形（图）记为小矩形 ;设)在上的上确界和下确界分别为和.在区间中任取一点，于是就有不等式,其中 .因此 (2)其中.记的对角线长度为 和 .由于二重积分存在，由定理21.4，当时，和 有相同的极限，且极限值等于.因此当时，由不等式(2):= (3)由于当时，必有,因此由定积分的定义，(3)左边=.定理21.9 设在矩形区域上可积，且对每个,积分存在，则累次积分也存在，且=.定理21.9的证明与定理21.8相仿.特别当在矩形区域上连续时，则有=.例1 计算，其中.解 应用定理21.8(或定理21.9)有 =.对于一般的区域，通常可以分解为如下两类区域来计算.称平面点集 (4)为型区域，称平面点集 (5)为型区域.这些区域的特点是当为型区域时，垂直于轴的直线 ()至多与区域的边界交与两点；当为型区域时，直线 ()至多与 的边界交与两点. 许多常见的区域都可以分解成有限个除边界外无公共内点的型区域或型区域(如图).因而解决了型区域或型区域上二重积分的计算问题，那么一般区域上二重积分的计算问题也就得到了解决. 定理21.10 若在如(4)式所示的型区域上连续，其中，在上连续，则 =.即二重积分可化为先对，后对的累次积分. 证 由于与在闭区间上连续，故总存在矩形区域(图)，现作一定义在上的函数 可以验证，函数在上可积，而且= =.类似可证，若为(5)式所示的型区域，其中，在上连续，则二重积分可化为先对，后对的累次积分 =.例 2 设是由直线及围成的区域，试计算：的值.解 若用先对后对的积分，则.由于函数的原函数无法用初等函数形式表示，因此改用另一种顺序的累次积分，则有.例3 计算二重积分，其中为直线及所围的三角形区域(图).解 当把看作型区域时，相应的.所以 =.例4 求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积.解 设圆柱底面半径为,两个圆柱方程为 +=与+=.利用对称性，只要求出第一卦限(即,)部分的体积，然后再乘以8即得所求的体积. 第一卦限部分的体
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