北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑(二).doc

学科：数学教学内容：导数与微分经点答疑（二）2函数f（x）的不可导点有哪些类型？（1）函数f（x）在不连续点不可导如，符号函数sgnx，在x0点不连续，在x0点不可导（2）函数f（x）在连续点不可导有以下几种类型：左、右可导，但左、右导数不相等；例如，函数f（x）|x|，在点x0左、右可导，但左、右导数不相等左、右两侧至少有一侧不可导；左、右导数至少有一个是无限大3函数f(x)在点可导，是否函数f(x)在点的某邻域内每一点都可导？在点0可导，（当然在点0连续），事实上显然，函数f（x）在任意点x0都不连续，即除点0外，函数f（x）在任意点都不可导由此可见，一个函数可能仅仅在一点可导4什么是导函数？导数与导函数有什么区别与联系？怎样求导函数？如果函数f（x）在开区间（a,b）内每一点都可导，称函数f（x）在开区间（a,b）内可导，并称函数f（x）是（a,b）内的可导函数如果函数f（x）在闭区间a,b内可导，且与都存在，称函数f（x）在闭区间a，b上可导，此时称f（x）为闭区间a，b上的可导函数如果函数f（x）在区间I可导，此时对每一个点xI，都有惟一一个导数与之对应，这样按照函数的定义，在I上定义了一个新的函数，称为函数f（x）在I上的导函数，记注意到，前面介绍的函数f（x）在点处的导数是一个值，这里给出的导函数是一个函数，这是二者的根本区别函数f（x）在点的导数与函数f（x）在I上的导函数的关系是：导数等于导函数在点处的函数值，即有时，在导函数与导数不至于发生混淆的情况下，导函数简称导数例如，求某一函数的导数，而没有特别指明是某一点的导数，这时实际上是求导函数的从导函数的结构我们可以看出，导函数的结构从形式上就是函数f（x）在任一点x处的导数因此要求函数f（x）在区间I上的导函数，只需要求出f（x）在I上任一点x处的导数即可，而要求f（x）在点x处的导数，只需把极限求出来即可例1 求函数yx的导数思路启迪 在本题中，实际上是求函数yf（x）的导函数的，只须把函数f（x）在任一点x处的导数求出来即可规范解法 f（x）x,f（xx）xx,x0，yf（xx）f（x）xxxx例2 求函数思路启迪 这里是求导函数的，可先求出处的导数，再把换成x即为所求规范解法 5.导数的几何意义是什么？它有哪些物理意义？由引例2，我们知道，若函数f（x）在点可导，则曲线yf（x）在点的切线存在，且切线的斜率k就是函数f（x）在点处的导数,即故函数yf（x）在点处的导数的几何意义是：表示曲线yf（x）在点处切线的斜率，即因此，若函数f（x）在点处可导，则曲线yf（x）在点处的切线方程是：法线方程是导数的物理意义，根据函数f（x）的物理意义不同而不同如若当函数f（x）表示质点作变速直线运动的路程时（x表示时间），其导数表示质点在时刻x的瞬时速度；当函数f（x）表示质点的速度函数时，其导数表示质点的瞬时加速度；当函数f（x）表示电量函数时（x表示时间），其导数表示时刻x的瞬时电流强度等等例1 求曲线在点（1，1）处的切线方程与法线方程思路启迪 按照导数的几何意义，只要求出函数在点x1处的导数即为该曲线在点（1，1）处的切线斜率，再利用直线的点斜式方程即可求出切线与法线方程规范解法 于是所求的切线方程为y13（x1）,即3xy20例2 求曲线思路启迪 根据导数的几何意义，求曲线yf（x）上切线平行于已知直线的点，也即是求函数yf（x）在哪些点的导数与已知直线的斜率相等因此，只要找出函数yf（x）与已知直线的斜率相等的点即可规范解法 故所求的点是（1，1）和（1，1）点评 解决此题的关键是能正确理解并掌握导数的几何意义6函数的可导性与连续性的关系是什么？由具有极限的函数与无穷小量的关系我们知道，存在一个当x0时的无穷小量，即函数yf（x）在点x处连续因此我们有：若函数yf（x）在点x可导，则函数yf（x）在点x必连续反之，不一定成立，即若函数yf（x）在点x处连续，但它在点x不一定可导例 函数规范解法 如图3-3，f（x）在点x0连续，事实上：f（0）0故f（x）在点x0连续但是，f（x）在点x0不可导（见1中的例2）由上面的讨论可知，函数f（x）在点x连续是函数f（x）在点x可导的必要条件，但非充分条件即函数f（x）在点x处可导必连续，连续不一定是可导，不连续一定不可导7若函数f（x）与g（x）在点都不可导，它们的和H（x）f（x）+g（x）与积G（x）f（x）g（x）在点是否也不可导？不一定例如，函数f（x）|x|与g（x）|x|在x0都不可导，但是，它们的和与积H（x）f（x）+g（x）0与在x0却都可导8求哪些函数个别点的导数或左、右导数应用导数的定义？（1）函数在个别点的函数值单独定义的，其余点的函数值用统一解析式定义的（函数在个别点连续）例如，函数在点x0的导数要应用导数的定义（2）求分段函数在分段点的导数例如，函数求函数f（x）在点x0的左、右导数，函数g（x）在点x0与x1的左、右导数要应用导数的定义9导数有哪些基本公式和运算法则?在导数的定义中，我们不仅阐明了导数概念的实质，也给出了利用定义求函数的方法但是，如果对每一个函数，都直接按定义去求它的导数，往往是极为复杂和困难的，甚至是不可能的因此，我们希望找到一些简单函数的导数（作为我们的基本公式）与运算法则，借助它们来简化导数的计算过程证明：设yf（x）C，注：以后可以证明，当n取任意实数时，这个公式仍然成立例1 求规范解法 公式请读者自己证明证明：设特别，当ae时，有公式（6）公式（7）证明：设令，则又当t0时，有t0，于是特别，当ae时，有例2 求规范解法 法则（1） 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）即用同样的方法可将此结果推广到有限个函数代数和的导数情形例3 求下面函数的导数思路启迪 这两个函数都是由几个初等函数的代数和构成，求它们的导数只要利用和与差的求导法则及前面的导数公式即可得出正确的答案规范解法 法则（2）两个函数乘积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函乘以第二个函数的导数即证明：设yuv，u（x）、（x）均可导，当x取增量x（x0）时，有相应的增量u、v、y，于是在x处对于有限个函数的乘积的导数可类推例如三个可导的函数u（x），和的乘积的导数是：例4 求函数思路启迪 该函数是由两个基本初等函数与cosx的积所构成，而与cosx的导数（公式）我们知道，两个函数的积的求导法法则我们学过，因此只要能正确运用两个函数的积的求导法则与和cosx的求导公式，该题将迎刃而解规范解法 由两个函数和积的求导法则得例5 设思路启迪 本例与上例基本相同，所不同的是本函数是由三个函数的积所构成，因此只要正确运用积的求导法则及公式即可例6 当思路启迪 要使抛物线规范解法 法则（3）两个可导函数之商的导数仍是一个商，这个商的分子等于原来的商的分子的导数乘以分母，