第五章 刚体的转动(改).ppt

第五章刚体的转动 5 1刚体的平动 转动和定轴转动 5 2力矩转动定律转动惯量 5 3转动动能力矩的功 5 4角动量角动量守恒定律 理解描述刚体定轴转动的基本物理量的定义和性质 理解力矩 转动动能和转动惯量的物理意义 掌握定轴转动的转动定律和角动量定理 掌握定轴转动的机械能守恒定律和角动量守恒定律 教学要求 5 1刚体的平动 转动和定轴转动一 刚体 理想模型 刚体上的任一直线 在各时刻的位置始终保持彼止平行的运动 叫做平动 因为在平动时刚体上各点的运动轨迹 各时刻的位移 速度 加速度都相同 整个刚体可当作质点来处理 二 平动和转动 刚体的二种基本运动形态 1 平动 在任何外力作用下 形状大小均不发生改变的物体称为刚体 或者说运动中物体上任二点的间距不变 1 理想模型 2 在外力作用下 任意两点间均不发生相对位移 3 内力无穷大的特殊质点系 A B 刚体的平动 如果刚体上的任意一条直线的方位在运动中变了 则称刚体作转动 若轴线固定不动 则称定轴转动 2 转动 刚体的一般运动可视为平动和转动的合成运动 如 滚动 轴心的平动 绕轴心的转动 抛体 质心的抛物线运动 绕质心的转动 进动 绕转轴转动 转轴绕定轴的转动 描述刚体定轴转动的物理量 1 角位置 角位移 y x 0 P t P t dt d 运动方程 角位置 位矢与ox轴夹角 角位移d dt时间内角位置增量 1 刚体上各质点的角位移 角速度和角加速度均相同 2 各质点都在垂直转轴的平面内运动 且作圆周运动 圆心在转轴上 三 定轴转动刚体定轴转动的特点 定轴转动只有两个转动方向 3 线量与角量的关系 方向垂直于和组成的平面 2 角速度和角加速度 规定 位矢从ox轴逆时针方向转动时角位置 为正 反之 为负 若是定值 刚体的运动称为 若是定值 刚体的运动称作 匀角速转动 匀变速转动 或匀加速转动 刚体的定轴转动的公式与一维直线运动的公式相似 例1 一飞轮作减速运动 其角加速度与角速度关系为 解 k k为比例系数 设初始角速度为 0 求 飞轮角速度与时间的关系 当角速度由 0 0 2时 在此时间内飞轮转过的圈数 2 当角速度由 0 0 2时 所需时间为t 在此时间内车轮转过的圈数 一 力矩1 定义 转轴到力的作用点的矢径与作用力的叉积 力矩的表示式 大小 2 注意 合力矩 合力的力矩合力矩 力矩的和 矢量和 对定轴转动而言为代数和 合力为零 合力矩不一定为零 方向 5 2力矩 转动定律 转动惯量 合力矩为零 合力不一定为零 当力不在垂直于转轴的平面内 只有对转轴力矩有贡献 问 一对作用力与反作用力的力矩和等于多少 零 由此推知 质点组对任一轴的内力矩之和为零 力矩合力 中心力 过转轴的力 的力矩 0 力矩 垂直和构成的平面 中学表为 合力矩 M只有两个方向 可用正 负表示 而且有 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩 与转轴平行的力对转轴不产生力矩 刚体内各质点间内力矩的合为零 归结起来 力矩是改变转动状态 即产生角加速度 的原因 转动物体也有保持原有转动状态不变的惯性 转动惯性 实验发现 物体的角加速度与力矩成正比 与转动惯性成反比 若用J表示转动惯性 J称为转动惯量 则有 在国际单位制中 k 1则上式为 它说明了力矩的瞬时作用规律 转动定律相当重要 其在转动中的地位就相当于质点运动中的牛顿第二定律 二 转动定律 把刚体看作质元的集合 对用牛顿第二定律的切向式与法向式 设一刚体绕定轴转动 某质元受内力和外力作用 转动定律可由牛顿第二定律推求 矢量式 法向式 切向式 转轴 以遍乘切向式两端 将遍乘后的切向式求和得 刚体所受的合外力矩 内力不改变角动量 定义 转动定律 注意 1 M J 均对同一轴而言 且具有瞬时性 2 改变刚体转动状态的是力矩 3 转动惯量是刚体转动惯性的度量 牛顿第二定律与转动定律的对应关系 物理量 质点m刚体J M 规律 质点牛顿第二定律刚体转动定律 不一定 例 问 力矩M大 是否 大 不一定 大 是否M大 M大 大 的变化大 可为0 大 并不代表它的变化大 有可能它的M 0 匀角速转动 对分离的质点组 2 转动惯量的物理意义 J是描述刚体转动惯性大小的量度 三 转动惯量 1 转动惯量的定义 对单个质点 对质量连续分布的刚体 J mr2 r为质点到转轴的距离 与刚体的总质量有关 与质量的分布有关 与转轴的位置有关 4 转动惯量J的计算方法 可将质量元变为线元 面元 体元积分求得 3 J与下列因素有关 例1 有一均匀细杆 杆长为l 质量为m c为杆的中点 设转轴oo 通过c点且与杆垂直 杆绕轴转动 求转动惯量Jc 解 取x轴方向如图 杆的线密度为 m l 取小质元dm dx 则 若将转轴移到A点 求JA 仍有小质元dm dx m l 可见转轴不同 转动惯量是不同的 那么将转轴从C点平行移到A点转动惯量改变了多少 移项得 JA JC md2 d是转轴0 0到质心的距离 刚体对某轴的转动惯量J 等于刚体对通过质心的平行轴的转动惯量Jc 加上刚体质量m乘以两平行轴之间的距离d的平方 即 平行轴定理 几种常用简单几何形状 密度均匀物体的转动惯量 例2 质量为m 长度为l的均质细直棍 对通过其中心O且与棍斜交成角的轴的转动惯量 解 取OX轴如图所示 则棍上任一段元dx的质量 至转轴的距离 转动惯量 过棒一端O 仍与棍斜交成角 的轴的转动惯量Jo 讨论 当时 即为棍对于过它的中心且与棍垂直的转轴的转动惯量 由平行轴定理 例3 求质量为m 半径为R的细圆环对过环心垂直于环面的转轴的转动惯量 解 圆环的线密度为 m 2 R环上取小质元dm dl Rd 则 例4 求质量为m 半径为R的薄圆盘对过圆心垂直于盘面的转轴的转动惯量 解 圆盘的面密度为 m R2取一半径为r 宽为dr的圆环为质元dm 2 rdr 注意 转动惯量的计算只能对规则物体进行 不规则的物体的转动惯量通常只能用实验的方法测量 即圆盘对其中心轴的转动惯量为J mR2 2 例5 如图所示 求大圆盘的实心部分对O轴 垂直于盘面 的转动惯量 已知大盘半径R 2r 质量为M 解 先将小盘补上面密度相同的刚体 使之质量变为M 而小盘的质量为m 由于转动惯量有可加性 可以先分别求出大盘和小盘对O轴的转动惯量 再把小盘的除去即得大盘实心部分对O轴的转动惯量 补齐后大盘对O轴的转动惯量 J1 M R2 2小盘对O轴的转动惯量 J2 mr2 2 mr2 3mr2 2 所以实心部分对O轴的转动惯量为 例6 一质量为M 半径为R的定滑轮上面绕有细绳 绳的一端固定在滑轮上 略去轮轴处的摩檫 绳不可伸长不计质量 另一端挂有一质量为m的物体而下垂 求物体m由静止下落h高度时的速度和此时轮的角速度 解 对象 M刚体m质点 受力分析 如图所示 依牛顿第二定律与转动定律列方程 注意T1 T2 T 对物体有 mg T ma 对滑轮有 TR J MR2 2 角量和线量的关系 a R 运动学关系 v2 v02 2ah 2ah 解方程得 在该题中如果在滑轮上加一恒力矩 使物体以v0的速度匀速上升 撤去力矩后 问过多少时间后滑轮开始反向运动 解 分析 撤去力矩后 滑轮和物体受力和前面完全一样 因此对物体应用牛顿第二定律和对滑轮应用转动定律的形式完全一样 对物体有 mg T ma 对滑轮有 TR J MR2 2 角量和线量的关系 a R 运动学关系 v v0 at 0 由第1 2 3个方程可解得 由第4个方程可解得 右图中 滑轮两边张力不相同 两物体的加速度相同 绳不可伸长 2 由于力矩M mg l 2 cos 属变力矩 故由 求角速度 时用积分法 得 例7 质量m 长为l的均质细杆 可绕过固定端O的水平轴转动 将杆从水平位置由静止释放 如图 试求 转到任一角 时 杆的角加速度 等于多少 此时的角速度 等于多少 当 2 杆转到竖直位置 时 讨论 越小 值越小 越大 值越大 所以刚体的转动动能 一 转动动能刚体转动时 各质点都绕定轴作圆运动 都具有动能 刚体的转动动能就等于刚体中所有质点的动能之和 第i个质点的动能为1 2 mivi2 1 2 miri2 2则刚体总动能为 与平动动能形式相同 量纲也相同 单位也相同 Ek m r2 2 ML2T 2 5 3转动动能 力矩的功 刚体转过d 角 合外力F作的元功为 二 力矩的功 当刚体在F力作用下 从 1转到 2时所作的功为 因为外力的功也就是外力矩的功 所以有 转动动能定理 合外力 矩 对刚体所作的功 等于刚体转动动能的增量 使用中应注意 凡是涉及杆的转动问题 应使用转动动能定理 Ek转是相对量 转动动能定理的表达式为标量式 应用该定理时只需分析始态与末态 解 对象 杆 由转动动能定理有 下面用转动动能定理求解例6 只有保守力作功时 机械能守恒 即 例用机械能守恒定律求解例6中的 解 在杆转动的过程中 由于只有重力作功 故机械能守恒 取杆的水平位置为势能零点 有 三 机械能守恒定律 一 质点的角动量 动量矩 和角动量守恒定律 质点的角动量 5 4角动量定理角动量守恒定律 质点角动量原理 质点所受冲量矩 质点角动量的增量 当质点所受合外力矩M 0时 质点角动量守恒 质点角动量守恒定律 例1 一小球在光滑平面上作圆运动 小球被穿过中心的线拉住 开始时绳半径为r1 小球速率为v1 后来 往下拉绳子 使半径变为r2 小球速率变为v2 求v2 解 受力分析如图 mg N而T为小球圆运动的向心力 所以合外力不等于T 但过转轴而无力矩 合外力矩为0 小球角动量守恒 有 L mvr 恒量即 mv1r1 mv2r2 二 绕定轴转动的刚体的角动量和角动量守恒定律 刚体对定轴转动的角动量等于刚体中所有质点对转轴的角动量之和 由刚体的转动定律 刚体的角动量 刚体的角动量定律 刚体的角动量定理 刚体定轴转动的角动量守恒定律 当M 0时 即 刚体受外力矩为零时 动量矩 角动量 保持不变 刚体定轴转动的角动量守恒定律 合外力矩的冲量矩 角动量的增量 推广至人 人非刚体 只要满足人所受的则人的角动量也守恒 2 使用中的几种情况 一个刚体 质点 J不变 不变 L 恒量 注意守恒定律的使用 1 条件分析 即力矩的和为零 几个刚体 几个质点 J变 变 不变 合力 0 合力矩不一定等于零 合力矩 0 合力不一定等于零 但 例2 一根长为l 质量为m1的均匀细棒 其一端挂在一个水平光滑轴上而静止于竖直位置 今有一质量为m2的子弹以水平速度v0射入棒下端距轴高度为a处如图 子弹射入后嵌入其内并与棒一起转动偏离铅直位置30o 求子弹水平速度v0的大小 解 对象 棒 刚体子弹 质点 过程分析 第一阶段 m2与m1碰撞 第二阶段 m1 m2一起转动 角动量守恒 只有重力作功 故机械能守恒 列方程 取摆轴处为重力势能的零势点 解得 例3 质量为M 长为L的均匀直棒 可绕垂直于棒的一端的水平轴O无摩擦地转动 它原来静止在平衡位置上 现在有一质量为m的弹性小球飞来 正好在棒下端与棒垂直相碰撞 碰撞后 棒从平衡位置处摆动到最大角度 300 如图所示 求 1 小球碰撞前的速度v0 2 碰撞时 小球受到多大的冲量 解 1 选小球和棒为研究对象 碰撞时系统所受合外力矩为0 系统角动量守恒 有 由于是弹性碰撞 动能守恒有 碰撞后棒从平衡位置摆到 角的过程中 系统只有重力作功 机械能守恒 有 1 代入 2 中有 1 4 得 将 3 式代入得 2 碰撞时小球所受冲量等于小球动量的增量 负号表示冲量方向与原方向相反 例4 在一质量为M 半径为R 角速度为 1的旋转圆台上 当一质量为m的人从R 2处走到边缘时 圆台的角速度将变为多少 解 选人和台为研究对象 因系统所受合外力矩为0 所以系统角动量守恒 第一状态 人和台组成的系统的转动惯量为 第二状态