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文档简介

1 第三章 线性方程组 2 本章讨论关于线性方程组的两个问题 一 探讨n个未知数m个方程的线性方程组的解法 即下面介绍的高斯消元法 二 从理论上探讨线性方程组解的情况 何时有解 何时无解 若有解 则有多少组解 若有无穷多解 如何表示 运用n维向量的理论可全面地解决第二个方面的问题 3 第一节解线性方程组的消元法 例1 用高斯消元法解线性方程组 解 4 5 6 用 回代 的方法求出解 7 小结 1 上述解方程组的方法称为高斯消元法 2 始终把方程组看作一个整体变形 用到如下三种变换 1 交换方程次序 2 以不等于 的数乘某个方程 3 一个方程加上另一个方程的k倍 8 3 上述三种变换都是可逆的 由于三种变换都是可逆的 所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的 故这三种变换是同解变换 9 因为在上述变换过程中 仅仅只对方程组的系数和常数进行运算 未知量并未参与运算 若记 称为方程组 1 的增广矩阵 对方程组的变换完全可以转换为对增广矩阵的行变换 10 用矩阵的初等行变换解方程组 1 11 12 对应的方程组为 由下到上逐个解得 13 例2 解线性方程组 解 解得唯一解 14 例3 解线性方程组 解 最后一个为矛盾方程组 故方程组无解 15 线性方程组 系数矩阵 增广矩阵 16 方程组有解的充分必要条件是 17 线性方程组解的判定定理 在有解的情况下 18 例4 t为何值时线性方程组 解 有解 并求解 方程组有无穷多解 19 称下面形式的线性方程组为齐次线性方程组 显然零向量必为它的解 称为零解 20 例5 解线性方程组 解 这是一个齐次线性方程组 且方程个数小于未知 个数 故必有非零解 只需对系数矩阵施以初等行变换 21 求得全部解为 22 例6 下面的线性方程组当a b为何值时有解 在有解 解 的情况下 求出全部解 23 此时一般解为 24 例7 当a b为何值时 线性方程组 解 无解 有唯一解 有无穷多
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