数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--9章.pdf

第九章 数项级数 习 题 9 1 数项级数的收敛性 第九章 数项级数 习 题 9 1 数项级数的收敛性 1 讨论下列级数的收敛性 收敛的话 试求出级数之和 1 2 1 n nn 1 13 2 n n n 1 2 1 1 n nnn 1 3 1 2 1 n nn 1 1 n n n 1 2 11 3 45 n n nn 1 122 n nnn 1 3 12 n n n 0 cos n n qn 1 q 解解 1 n k n kk S 1 2 1 n k kk 1 2 11 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 nn 所以 4 3 lim n n SS 2 因为0 3 2 lim n n x 所以级数发散 3 n k n kkk S 1 2 1 1 n k kkk 1 2 1 1 21 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 nn 所以 4 1 lim n n SS 4 n k kk n S 13 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 n 3 1 1 3 1 1 3 1 n 所以 2 1 lim n n SS 5 因为 所以级数发散 01lim n n x 1 课后答案网 w w w k h d a w c o m 6 n k k kk n S 1 2 11 3 45 9 5 1 9 5 1 9 1 n 9 4 1 9 4 1 9 16 n 所以 20 9 3lim n n SS 7 1212 nnSn 所以 n n SS lim12 8 设 n k k n k S 13 12 则 n k k n k S 1 1 3 12 3 1 03 12 n k k k 两式相减 得到 n n k k n n S 3 12 3 2 12 1 1 n n n 3 12 3 1 1 3 1 1 3 2 1 1 所以 1lim n n SS 9 n k i n i ikk qe qe eq 0 1 1 1 由1 q 得到 0n inne q n k i ikk n qe eq 01 1 lim 利用 Euler 公式 对上式两边取实部 得到 sincosiei 0 cos n n nq 2 cos21 cos1 qq q 2 确定 x 的范围 使下列级数收敛 1 1 1 n n x 1 e n nx 1 1 n n xx 解解 1 由1 1 1 1 x 解得 2 0 x 2 由解得 1 x e 0 x 2 课后答案网 w w w k h d a w c o m 3 当时显然级数收敛 当1 x1 x时 收敛 范围是 所以当 1 1 n n xx 1 1 n n xx 1 1 x 1 1 x时级数收敛 3 求八进制无限循环小数 36 0736073607 8 的值 解解 36 0736073607 8 0 443424 8 1 6 8 1 3 8 1 7683 n nnn 4095 478 30 4 设 求级数的和 1 0 2 1 dxxxx n n 1n n x 解解 1 0 2 1 dxxxx n n 1 0 2 1 dxxxn 3 1 2 2 1 1 nnn 于是 n k kn xS 1 3 1 2 1 3 1 2 1 nn 所以 1n n x 6 1 lim n n S 5 设抛物线 n l n nxy 1 2 和 n l 1 1 1 2 n xny 的交点的横坐标 的绝对值为 n a 2 1 n 1 求抛物线与所围成的平面图形的面积 n l n l n S 2 求级数 1n n n a S 的和 解解 1 容易求出抛物线 n l n nxy 1 2 和 n l 1 1 1 2 n xny 的 交点的横坐标的绝对值为 1 1 nn an 于是 n a n dx n xn n nxS 0 22 1 1 1 1 2 3 3 4 n a 2 1n n n a S 1 2 3 4 n n a 3 4 1 1 3 4 1 n nn 3 课后答案网 w w w k h d a w c o m 习习 题题 9 2 上极限与下极限上极限与下极限 1 求下列数列的上极限与下极限 1 x n 12 n n 5 2 cos n 2 n 1 xn n n n1 2 3 x n 1 n n 2 4 xn n n1 sin 3 n 5 2 1 xn n 1 3 2 1 1 nn 解解 1 2 1 lim n n x 5 cos 2 1 lim n n x 2 n n xlim 0lim n n x 3 n n xlim n n xlim 4 2 3 1lim n n x 2 3 1lim n n x 5 5lim n n x 5lim n n x 2 证明 1 n lim xn n limxn 2 n lim c xn 0 lim 0 lim cxc cxc n n n n 证证 仅对 是有界数列给出证明 xn 1 设 n limxn 则对任意给定的 0 存在正整数 N 使得 n x 对一切 nN 成立 且 中有无穷多项 满足 n x n x 于是 n x 中有无穷多项 满足 n x 于是 n lim xn n limxn 2 设 0 c n limxn 则对任意给定的 0 存在正整数 N 使 得 c xn n x中有无穷多项 满足 c xn 于是 n cx中有无穷多项 满足 ccxn 所以 n lim n cx c n climxn 设 00 存在正整数 N 使得 4 课后答案网 w w w k h d a w c o m c xn 对一切 n N 成立 且 n x中有无穷多项 满足 c xn 于 是 n cx中有无穷多项 满足 ccxn 所以 n lim n cx c c n limxn 3 证明 1 n lim xn n y n limxn n lim n y 2 若存在 则 lim n n x n lim xn n y n limxn n lim n y 证证 1 记 n limxn 1 h n lim n y 2 h 则对任意给定的0 存在正整 数 N 对一切 n N 成立 2 1 hxn 2 2 hyn 即 21 hhyx nn 于是 n lim xn n y 21 hh 由 的任意性 即得到 n lim xn n y 21 hh n limxn n lim n y 2 若存在 则由 1 lim n n x n lim xn n y n limxn n lim n y 且 n lim n y n lim nnn xyx n lim nn yx n lim n x n lim nn yx n n x lim 两式结合即得到 n lim xn n y n limxn n lim n y 4 证明 若 x lim n xn0 x 则 1 n lim xn n ylim n n x n lim n y 2 n lim xn n ylim n n x n lim n y 证证 由 x 可知对任意给定的lim n xn0 x 0 x 0 xxx n 记 n lim n yH n lim n yh 则对上述 0 x min HxHx max 由于 1 1 n n 发散 所以 2 2 ln 1 n n 发散 4 因为当有4 n 2 1 1 nn 由于 1 2 1 nn 收敛 所以 1 1 n n 收敛 5 因为 nnn n1ln 2 n n en n 1 n 由于 1 1 n n 发散 所以 1 1 n n n发散 9 设 n n n x 2 2 则 n n n x x 1 lim 1 2 1 由 D Alembert 判别法 1 2 2 n n n 收敛 10 设 12 2 1 2 n nn n x 则 n n n x lim1 4 3 由 Cauchy 判别法 1 12 2 1 2 n n nn 收敛 11 设 则 n n enx 2 n n n x x 1 lim 1 1 e 由 D Alembert 判别法 收敛 1 2 e n n n 12 设 n n n n n x 2 则 n n n x x 1 lim 1 2 a10 n n n x x n 由 Raabe 判别法 级数收敛 3 设 n n x 1 2 1 1 2 1 则 12ln1lim 1 n n n x x n 由 Raabe 判别法 级数发散 4 讨论下列级数的敛散性 1 1 1 0 d 1 n n x x x 2 1 2 2 2 d sin n n n x x x 4 课后答案网 w w w k h d a w c o m 3 1 1 0 d 1ln n n xx 解解 1 当 有 2 n ndx x x 1 0 1nn dxx n 1 2 1 0 n n xdx n 2 2 22 sin 4 1 n8 1 由于 18 1 n n 发散 所以 1 2 2 2 d sin n n n x x x 发散 3 ndxx 1 0 1ln 2 1 0 2 1 n xdx n 由于 1 2 2 1 nn 收敛 所以 1 1 0 d 1ln n n xx收敛 5 利用不等式 1 1 n 1dn n x x n 1 证明 lim n n n ln 1 3 1 2 1 1 存在 此极限为 Euler 常数 见例 2 4 8 证证 设n n xnln 1 3 1 2 1 1 则 nn n xx nn ln 1ln 1 1 1 1 1 n 1dn n x x 0 n x 2 1 d x x 3 2 d x x 1dn n x x n x x 1 d 1dn n x x 0 所以数列单调减少有下界 因此收敛 n x 6 设与是两个正项级数 若 1n n x 1n n ylim n n n y x 0 或 请问这两个 级数的敛散性关系如何 解解 若lim n n n y x 0 则当n充分大时有 nn yx 1n n y 1n n x 1n n x 1n n y 7 设正项级数收敛 则也收敛 反之如何 1n n x 1 2 n n x 解解 设正项级数收敛 则 1n n x0lim n n x 所以当 充分大时有 即有 因此收敛 反之 当收敛时 不一定收敛 例如 n10p时 级数 1n p n n x 收敛 又问当 2 1 0 p时 由 p n p n n x n x 2 1 2 1 以及与 1n n x 1 2 1 n p n 的收敛性 可知 1n p n n x 收敛 当 2 1 0 p时 1n p n n x 不一定收敛 例如 nn xn 2 ln 1 则收敛 但 1n n x 1n p n n x 发散 9 设在 xf 1 上单调增加 且Axf x lim 1 证明级数收敛 并求其和 1 1 n nfnf 2 进一步设在 xf 1 上二阶可导 且0 x f 证明级数 收敛 1 n nf 证证 1 级 数的 部 分 和 为 1 1 n nfnf 1 1 fnfSn 由 得到Axf x lim 1 limfASS n n 6 课后答案网 w w w k h d a w c o m 2 由 Lagrange 中值定理以及单调减少 得到 xf 1 0 证明级数 1n n n a 收敛 证证 1 2nn aa 4 0 tan xdx n 4 0 2 tan xdx n 4 0 tantan xxd n 1 1 n 于是 1 2 n nn n aa 1 1 1 1 n nn 2 由及0 n a 2nn aa 1 1 n 可知 n a nn 1 1 1 于是 1 1 nn an 由于 1 1 1 nn 收敛 可知 1n n n a 收敛 11 设 0 xn n n x x 1 n 1 1 n 1 2 证明发散 1n n x 证证 由 0 xn n n x x 1 n 1 1 得到 1 1 使得 1n nx 因而 n xn 1 由 1n n 发散即可知 发散 1n n x 12 设正项级数 发散 1n n x0 n x 2 1 n 证明必存在发散的正 7 课后答案网 w w w k h d a w c o m 项级数 使得 1n n y0lim n n n x y 证证 设 则 n k kn xS 1 n n Slim 令 11 Sy 1 nnn SSy 4 3 2 n 于是 n n k k Sy 1 即是发散的正项级数 且 1n n y n n n x y lim n nn n x SS 1 lim0 1 lim 1 nn n SS 13 设正项级数发散 证明级数 1n n x n k kn xS 1 1 2 n n n S x 收敛 证证 由 可知 1 nn SS nnnn nn n n SSSS SS S x11 11 1 2 由此得到 n n k k k SxS x12 1 1 2 由 n n Slim 得到 1 1 2 2 xS x n n n 14 设为 Fibonacci 数列 证明级数 n a 12n n n a 收敛 并求其和 解解 首先 Fibonacci 数列具有性质 11 nnn aaa与2 2 15 lim 1 n n n a a 见例 2 4 4 设 n n n a x 2 则 1 4 15 lim 1 a 解解 1 设级数 1 2 1 3 1 4 1 5 1 的部分和数列为 n S 则 n k n k n kk S 11 2 2 1 12 1 由于级数 1 2 1 n n 收敛 1 12 1 n n 发散 所以 n n S2lim 因此级数 1 2 1 3 1 4 1 5 1 发散 2 级数 1 1 1 n n xn xn 当 充分大 即n0 xn 时是交错级 数 且 xn 1 单调减少趋于零 所以 1 1 1 n n xn xn 收敛 又由 于 xn n 1 1 n 1 n 1 1 n n 发散 所以级数 1 1 1 n n xn 条件 收敛 xn 1 课后答案网 w w w k h d a w c o m 3 当时0 x 1 1 sin 1 n n n x 的一般项都为零 所以级数绝对收敛 设 0 x 1 1 sin 1 n n n x 当 充分大 即n x n 2 时是交错级数 且 n x sin单调减少趋于零 所以 1 1 sin 1 n n n x 收敛 又由于 n x n sin 1 1 n x n 1n n x 发散 所以级数 1 1 sin 1 n n n x 条件收敛 4 1lim n n n 因此 n n n n 1 1 lim 不存在 所以 1 1 1 n n n n 发散 5 2 2 ln 1 n n n n 是交错级数 当 8 n n n 2 ln 单调减少趋于零 所以 级数 2 2 ln 1 n n n n 收敛 又由于 2 2 ln n n n 发散 所以级数 2 2 ln 1 n n n n 条 件收敛 6 设 1 3 cos 1 n n n 的部分和数列为 n S 则 n S6 n k k k 2 1 1 232 1 n k k k 2 1132 1 n k k k 2 13 1 由于 1 1 232 1 n n n 1132 1 n n n 和 13 1 n n n 都是 Leibniz 级数 即都是收敛 的 所以存在且有限 容易证明 n n S6lim 16 lim n n S 26 lim n n S 36 lim n n S 46 lim n n S 56 lim n n S n n S6lim 由此可知级数 1 3 cos 1 n n n 收敛 由于 n n n2 1 3 cos 1 12 1 nn 发散 所以级数 1 3 cos 1 n n n 条件收 敛 2 课后答案网 w w w k h d a w c o m 7 当 6 6 kkx时 由于 n nn n x nn x sin4 1sin4 1 2 2 1 1sin40 2 x 8 当 2 k x 时 级数的一般项都为零 所以级数 1 1cos 1sin n p n xnxn 绝对收敛 设 2 k x 当时 由于1 p pp nn xnxn1 1cos 1sin 所以级数 1 1cos 1sin n p n xnxn 绝对收敛 当时 由于 10 p p n xnxn 1cos 1sin pp n x n nx 2 2sin 2 2sin 由 Dirichlet 判别法 12 2sin n p n nx 收敛 而 12 2sin n p n x 发散 所以级数 1 1cos 1sin n p n xnxn 发散 当时 由于级数的一般项不趋于零 所以级数 0 p 1 1cos 1sin n p n xnxn 发散 3 课后答案网 w w w k h d a w c o m 9 设 n n n n x n x 2 1 2 1 则 2 lim x x n n n 所以 当2x时 n n n n x n 1 2 1 2 1 发散 当2 x时 级数的一般项不趋于零 所以 n n n n x n 1 2 1 2 1 也发散 10 设 1 ln 2 32 32 n n u nn 由于 n u单调减少趋于零 所以 1 1 1 n n n u 是 Leibniz 级数 因此收敛 因为 n u n3 2ln n 13 2ln n n 发散 所以级数条件收敛 1 1 1 n n n u 11 设 nn x x qp n n ln 则xx n n n lim 所以 当1x时 级数 2 ln n qp n nn x 发散 当时 1 x 2 ln n qp n nn x 2ln 1 n qp nn 因此当或1 p1 1 qp时级数 绝对 收敛 在其他情况下级数发散 当时 1 x 2 ln n qp n nn x 2ln 1 n qp n nn 因此当或时级 数绝对收敛 当或 1 p1 1 qp 1 1 qp10 qp时级数条件收敛 在 其他情况下级数发散 12 设 n n n a a n x 1 1 1 4 课后答案网 w w w k h d a w c o m 当时 1 a1 1 lim a x n n n 所以级数 1 1 1 1 n n n a a n 绝对收敛 当时 1 a 1 1 1 1 n n n a a n 1 1 2 1 n n n 级数条件收敛 当时 由于10 nnn 6 1 26 n n 由于 可以取任意大 由 Cauchy 收敛原理可知级数发散 n 2 设级数的一般项为 则 n x nnn xxx 62313 nnn6 1 63 1 33 1 6 1 6 n n 由于 可以取任意大 由 Cauchy 收敛原理可知级数发散 n 3 设正项级数收敛 单调减少 利用 Cauchy 收敛原理证 明 0 1n n x n x n n nx lim 证证 由收敛 对任意给定的 1n n x0 存在正整数 对一切 成立 0 N Nnm 2 0 21 2 N n 于是成立 22 0 1 22 nnnn xxxx n 5 课后答案网 w w w k h d a w c o m 即 和任意正整数 p 存在 pN 使得 1 n x 2 n x pn x 和任意正整数 p 取 p pN 当 pNn 时 n n x 于是当n充分大时 n n n x 时 级数 1n n n x 也收敛 证证 1n n n x 1 1 00 n n nn x 由于 1 0 n n n x 收敛 0 1 n 单调有界 利用 AbelAbel 判别法 可知级数 1n n n x 收敛 注注 本题也可利用 Dirichlet 判别法证明 9 若 收敛 收敛 则级数收敛 n nx 2 1 n nn xxn 1n n x 证证 令 则 利用 Abel 变换 得到 nnn axb 1 kbB k i ik 1 n k n k kknk xxknxx 1 1 1 1 由于 1 1 n nn xxn 1 1 1 1 n n xxn n nn 因为数列 1n n 单调有界 级数收敛 由 Abel 判别法 收敛 再由数列 的收敛性 即可 知级数收敛 1 1 1 n nn xxn 2 1 n nn xxn 1 1 n nn xxn n nx 1n n x 7 课后答案网 w w w k h d a w c o m 10 若绝对收敛 收敛 则级数收敛 2 1 n nn xx 1n n y 1n nny x 证证 由于收敛 可知 1n n y0 NNnNp pn nk k y 1 由于 绝对收敛 所以收敛 于是可知 2 1 n nn xx n x有界 设Axx n nn 2 1 Bxn 令 knnnkn yyyB 21 利 用 Abel 变换 得到 1 1 1 1 BABxxBxyx pn nk kkkpnpn pn nk kk n n n x x n 首先可知当 充分大时有 即数 列当充分大时是单调减少的 然后取 n 1 nn xx n xn0 0 使得 0 可知当n充分大时 成立 n n nnx x n n 1 1 1 1 1 从而 1 1 n xn n xn A Axn n n A xn 0 从而数列趋于零 因此交错级数是 Leibniz 级数 所以 收敛 n x n n n x 1 1 1 14 利用 1 2 1 3 1 n 1 ln n n 其中 是 Euler 常数 见例 2 4 8 求下述 1 1 1 n n n 的更序级数的和 1 3 1 2 1 5 1 7 1 4 1 9 1 11 1 6 1 解解 设 n b 1 1 2 3 1 1 lnn n 设级数 1 3 1 2 1 5 1 7 1 4 1 9 1 11 1 6 1 nnn2 1 14 1 34 1 的部分和数列为 则 n S ln 2 1 3 nbS nn 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 14 1 34 1 nn 32 11 ln ln2 ln4 22 nnnn Sbnbnb 4 n 于是 9 课后答案网 w w w k h d a w c o m 2ln 2 3 2 1 2 1 243 nnnn bbbS 由 n n blim 得到 2ln 2 3 lim 3 n n S 由于 所以 13 lim n n S 23 lim n n S n n S3lim 2ln 2 3 lim n n S 15 利用级数的 Cauchy 乘积证明 1 0 1 n n 0 1 n n n 1 2 0n n q 0n n q 0 1 n n qn 2 1 1 q q 1 解解 1 设 0 1 n n 0 1 n n n 0n n c 则1 0 c 且当时 1 n nji j n ji c 1 j nji ji n n 1 1 0 11 1 n n 所以 0 1 n n 0 1 n n n 1 2 设 则 0n n q 0n n q 0n n c n nji ji n qnqqc 1 又由于1 q 所以 q q n n 1 1 0 从而得到 0n n q 0n n q 0 1 n n qn 2 1 1 q 1 qp 解解 1 1 2 2 1 n n n 1 2 1 1 1 nn 由于 1 2 1 1 nn 收敛 所以 1 2 2 1 n n n 收敛 2 2 1 1 n n n 2 1 1 1 1 n n n 1 1 2 11 1 1 nn n 1 1 n n 由于 2 1 1 n n 发散 所以 2 1 1 n n n 发散 3 3 cos n n 3 2 2 sin21 n n 由于 3 2 2 sin2 n n 收敛 所以 3 cos n n 收敛 4 1 1 sin n n n 1 sin1 1 1 n n n n n 1 sin1 6 1 2 n n 11 课后答案网 w w w k h d a w c o m 由于 1 2 6 1 nn 收敛 所以 1 1 sin n n n收敛 5 1 1 e n nx 1 1 11 n nx e 1 1 x n e 1 n n x 当时 由于1 x 1 1 x n n 收敛 所以 1 1 e n nx 收敛 当时 由于1 x 1 1 x n n 发散 所以 1 1 e n nx 发散 6 因为对任意 x 1 22 2 nn x 收敛 所以 1 22 2 1 nn x 收敛 7 当2qp 1 cos 1 1 n qp nn 收敛 当时 1 2 min qp 1 cos 1 1 n qp nn 发散 2 计算下述无穷乘积的值 1 2 2 1 1 n n 2 1 2 1 n nn 3 2 3 3 1 1 n n n 解解 1 由于 n kk2 2 1 1 n kk kk 2 2 1 1 n n1 2 1 所以 2 2 1 1 n n2 11 1lim 2 2 n k n k 2 由于 n k kk 2 1 2 1 n k kk kk 2 1 2 1 n n2 3 1 所以 2 1 2 1 n nn3 1 1 2 1 2 n k kk 3 由于 n kk k 2 3 3 1 1 n kkkk kkk 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 2 2 nn nn 所以 2 3 3 1 1 n n n 3 2 1 1 lim 2 3 3 n k n k k 3 设 0 n x 2 收敛 则收敛 1 2 n n x 1 cos n n x 证证 设 nn x 1cos 则 13 课后答案网 w w w k h d a w c o m 22 2 1 2 sin2cos10 n n nn x x x 由于收敛 所以收敛 1 2 n n x 1 cos n n x 4 设 n a 4 收敛 则 1 n n a 1 4 tan n n a 绝对收敛