变量代换法求解常微分方程.pdf

2010 年 11 月 第 16 卷第 4 期 安庆师范学院学报 自然科学版 Journal of Anqing Teachers College Natural Science Edition N ov 2010 Vol 16 No 4 变量代换法求解常微分方程 张 海 谢秀娟 安庆师范学院 数学与计算科学学院 安徽 安庆 246133 摘 要 本文总结了变量代换法在常微分方程中的应用 借助恰当的变量代换将微分方程简化为可解类型 求出其 通解或者特解 同时举出实例加以说明 关键词 常微分方程 变量变换法 通解 特解 中图分类号 O175 文献标识码 A 文章编号 1007 4260 2010 04 0082 06 0 引 言 变量代换法不仅是一种重要的解题技巧 也是一种重要的数学思维方法 常微分方程通解的求法 具有多样性 不同类型的微分方程有不同的解法 1 8 其中变量代换法是求解常微分方程行之有效的 方法 我们如果能通过适当的变量代换法将复杂的微分方程化为可解类型 这样能使求解问题大为简 化 进而求出通解 本文就变量代换法在常微分方程课程中的应用展开探讨 给出各种类型常微分方程 恰当的变量代换求其通解或者特解 1 变量代换法求解一阶微分方程 1 对于齐次微分方程dy dx g y x 这里g u 是u的连续函数 作变量变换 u y x 使方程化为变量 分离方程du dx g u u x 可求解 2 对于准齐次微分方程dy dx a1x b1y c1 a2x b2y c2 这里 a1 b1 c1 a2 b2 c2均为常数 当a 1 a2 b1 b2 c1 c2 k 常数 时 方程直接化为dy dx k 有通解 y kx c c 为常数 当a 1 a2 b1 b2 k c1 c2 时 作变量变换 u a2x b2y 将方程化为变量分离方程 du dx a2 b2 ku c1 u c2 可求解 当a 1 a2 b1 b2 时 作变换 X x Y y 其中 为直线 a 1x b1y c1 0 和直线 a2x b2y c2 0 在 xoy 平面的交点 将方程化为齐次方程dY dX a1X b1Y a2X b2Y g Y X 可求解 3 对于更一般类型dy dx f a1x b1y c1 a2x b2y c2 这里 a1 b1 c1 a2 b2 c2均为常数 当a 1 a2 b1 b2 c1 c2 k 常数 时 方程直接化为dy dx f k 有通解 y f k x c 收稿日期 2010 05 28 基金项目 安徽省教育厅自然科学研究基金项目 KJ2008B152 KJ2009B098 资助 作者简介 张海 男 安徽桐城人 安庆师范学院数学与计算科学学院副教授 博士 研究方向 泛函微分方程 分数阶微分方程 当a 1 a2 b1 b2 k c1 c2 时 作变量变换 u a2x b2y 将方程化为变量分离方程 du dx a2 b2f ku c 1 u c2 可求解 当a 1 a2 b1 b2 时 作变换 X x Y y 其中 为直线 a 1x b1y c1 0 和直线 a2x b2y c2 0 在 xoy 平面的交点 将方程化为齐次方程dY dX f a1X b1Y a2X b2Y fg Y X 可求解 4 对于方程dy dx f ax by c 这里 a b c均为常数 作变量变换 u ax by c 将方程化为 变量分离方程du dx a bf u 可求解 5 对于方程 yf mx y dx xg nx y dy 0 这里 m n 均为常数 作变量变换 u x y 将方程 化为变量分离方程du dx ug nu uf mu xg nu 可求解 6 对于方程 x 1 dy dx f x y 这里 为常数 作变量变换 u x y 使方程化为变量分离方程 du dx u f u x 可求解 7 对于方程 M x y x dx ydy N x y xdy ydx 0 其中M N 为关于x y 的齐次函数 作变量变换 u y x 化为变量分离方程du dx f u u2 1 x f u M x y M x y u N x y 可求解 8 对于 Bernoulli 方程dy dx P x y Q x y n 这里 P x Q x 为连续函数 n 0 1 为常数 当 y 0时用y n乘以原方程两边得到y ndy dx y 1 nP x Q x 作变量变换 z y1 n 使方程化为线性 微分方程dz dx 1 n P x z 1 n Q x 可求解 9 对于 Riccati 方程dy dx P x y 2 Q x y R x 当R x 恒为零时 Riccati 方程就是 Bernoulli 方程 可采用 8 中的变换求解 当 R x 不为零时 若 y x 为 Riccati 方程的一特解 作变量变换 z y y x 使方程化为一个关于 z 的 Bernoulli 方程dz dx P x z 2 2P x y x Q x z 可求解 10 对于一阶非齐次线性微分方程dy dx P x y Q x 若 Q x 0 则方程变为一阶齐次线性微 分方程dy dx P x y 有通解 y ce P x dx 若 Q x 0 对原方程作变量变换y c x e P x dx 求得待定 函数 c x Q x e P x dx dx c 代回变换 即得方程的通解 2 变量代换法求解二阶微分方程 1 对于二阶变系数齐次微分方程 d2y dx 2 p x dy dx q x y 0 1 设 y y1 0 是方程 1 的一特解 作变量变换 y y1 tdx 将方程化为一阶线性微分方程 y1 dt dx 2y 1 p x y1 t 0 可求解 2 对于二阶变系数线性非齐次微分方程 d2y dx 2 p x dy dx q x y f x 2 83 第 4 期 张海 谢秀娟 变量代换法求解常微分方程 当方程 2 满足q x 2p x q x q x 3 2 c1 为常数 时 作自变量代换 t c2q x dx c2为常数 3 则方程 3 可化为 c2q x d 2 y dt 2 cq x 2q x p x cq x dy dt q x y f x 4 方程 4 两边同除以 c2q x 得 d2y dt2 q x 2p x q x 2c2 q x 3 2 dy dt 1 c2 y f x c2q x 5 由于q x 2p x q x q x 3 2 c1 所以q x 2p x q x 2c2 q x 3 2 c1 2c2 c 常数 又 1 c 2为常数 由此可知 方 程 2 可化为二阶常系数线性微分方程d 2y dt 2 c dy dt 1 c2 y g t 3 变量代换法求解三阶微分方程 1 考虑三阶变系数齐次微分方程 x 6d 3y dx 3 a2x 5d 2y dx 2 a1x 4dy dx a0y 0 6 当 a1 6 和 a2 6 时 可作变换 x 1 t 则方程 6 可化为 d 3 y dx 3 6 a1 2a2 x 2dy dt 6 a2 x d 2y dt 2 a0y 0 7 将 a1 6 和 a2 6 代入 7 得到常系数齐次微分方程d 3y dx 3 a0y 0 2 考虑三阶变系数线性非齐次微分方程 d 3y dx 3 aG 3 G G d 2y dx 2 bG 2 3 G G 2 3 G y y R n 解的性态 我们通常将其与具有某些特殊性质的 特解联系在一起考虑 为研究方程组的特解y t 邻近的解的性态 作变量变换x y t 使方程 组化为dy dx f t x 从而使问题转化为讨论方程组零解邻近的解的性态 2 考虑全相平面上的轨线性态时 常用极坐标变换引入周期解与极限环来刻划全相平面上的轨线 性态 如研究平面一阶非线性驻定方程组 85 第 4 期 张海 谢秀娟 变量代换法求解常微分方程 dx dt x y x x 2 y2 dy dt x y y x 2 y 2 22 的全相平面的轨线性态 作极坐标变换 x rcos y rsin 从而使方程组化为 dr dt r 1 r 1 r d dt 1 经分析 可知 r 1 是稳定的极限环 7 函数变换法求解常微分方程 1 考虑函数变换法求解 Bernoulli 方程 设 dy dx P x y Q x y n 23 这里 n 0 1 是常数 P x Q x 为 x 的连续函数 假设方程 23 有形如 y x u x v x 的解 则有 dy dx u x v x u x v x 24 将上式代入方程 23 整理 得 u x v x P x v x Q x u n x vn x u x v x 25 若令 v x P x v x 则 Q x un x vn x u x v x 0 26 用分离变量法可求得 v x ce P x dx 若选取 c 1 则 v x e P x dx 将 v x e P x dx 代入 26 求得 u x 1 n Q x e n 1 P x dx c 1 1 n 于是 方程 23 的解为 y x u x v x e P x dx 1 n Q x e n 1 P x dx c 1 1 n 特别地 当 n 0时 得一阶线性非齐次方程dy dx P x y Q x 的解为 y x e P x dx Q x e P x dx c 这与用常数变易法求得的通解相一致 2 考虑函数变换法求 Riccati 方程的特解 设 dy dx P x y 2 Q x y R x 27 其中 P x Q x R x 是其中某个区间内的一阶可微函数 且 P x 0 设方程 27 有形如 y x u x v x 28 的解 则方程 27 可化为 u x v x P x v x R x p x u2 x v2 x u x v x 29 令 v x P x v x 求得v x ce P x dx 及u x R x v x p x u 2 x v x 令p x v x g x R x v x h x 则上式化为dy dx g x u2 x h x 此方程可通过公式法或观察法求解u x 则Riccati 方程的特解可表示出来 8 三角变换法求解常微分方程 在求积分时 当被积函数有形如 a2 x 2 a2 x 2 x 2 a2等形式时 可通过三角变换法求 解 在常微分方程中 遇到此类形式的问题时 我们也可考虑三角变换法 1 对于 Chebyshev 方程 d2y dx 2 x 1 x dy dx n2 1 x 2y 0 x 1 n 0 30 作三角变换 x sint 并求得dy dx d2y dt 2代入原方程 整理得d 2y dx 2 n 2y 0 由上式可解得 y c 1cosnt c2sinnt 所以 Chebyshev 方程的通解为 y c1cos narcsinx c2sin narcsinx 86 安庆师范学院学报 自然科学版 2010 年 2 对于三阶变系数微分方程 d3y dx 3 a2 x 1 x 2 d2y dx 2 a1 x 1 x 2 dy dx a0 1 x 2 2y 0 31 当原方程满足 a1 x 6x 2 2c2x c1 2 a2 x 6x c2 32 时 可作三角变换 x tant 并求得dy dt d2y dt2 d3y dt3 代入原方程 整理得 d3y dt3 a2 x 6tant d2y dt 2 a1 x 2a2 x tant 6tan 2t 2 dy dt a0y 0 由 32 可得 a1 x 2a2 x tant 6tan 2t 2 c 1 a2 x 6tant c2 从而 31 可简化为三阶常系数线性微分方程 d 3y dt 3 c2 d 2y dt 2 c1 dy dx a0y 0 9 Laplace 变换法求解常微分方程 Laplace 变换法主要是借助于拉普拉斯变换将常系数线性微分方程 组 转换成复变数 S 的代数方 程 组 通过一些代数运算 一般再利用拉普拉斯变换表 即可找出微分方程 组 的解 给定微分方程 d ny dx n a1 d n 1y dx n 1 any f x 33 及初始条件y 0 y0 y 0 y 0 y n 1 0 y n 1 0 其中 a1 a2 an是常数 而 f x 连续且满 足原函数的条件 如果 y t 是方程 33 的任意解 则 y t 及其各阶导数 y k t k 1 2 n 均是原函数 记 F s L f x 0 e sxf x dx 34 利用原函数微分性质 对方程 33 两端施行 Laplace变换 从而有A s Y s F s B s 其中A s B s 和 F s 都是已知多项式 由此 Y s F s B s A s 这就是方程 33 的满足所给初始条件的解 y x 的像函数 而 y x 可直接查 Laplace 变换 表计算求得 参考文献 1 王高雄 等 常微分方程 第三版 M 北京 高等教育出版社 2006 20 283 2 周尚仁 权宏顺 常微分方程习题集 M 北京 人民教育出版社 1980 38 127 3 Bartin Braun Differential Equations and T heir Applications M Berlin Springer Verlag 1993 87 148 4 全生寅 论解 N 阶常微分方程的 Laplace 变换法 J 青海大学学报 2000 18 5 61 63 5 米荣波 沈有建 汪洪波 三阶欧拉方程求解的简化常数变易方法 J 海南师范大学学报 2008 21 3 260 263 6 王彦海 一类高阶变系数线性微分方程的解法 J 陕西师范大学学报 1999 27 3 53 55 7 龚东山 刘岳巍 牛富俊 特征函数在高阶常微分方程特解计算中的应用 J 吉林师范大学学报 2008 30 4 8 10 8 刘继合 解变系数线性微分方程的特征方程法 J 四川师范大学学报 2002 25 5 149 150 Variable Substitution Method Solving the Different